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摘要：目前，参加国内外数学建模竞赛的大学生已经是很大的群体，利用数学建模竞赛，能够开拓数学建模课程教学的思路和方法。本文通过对利用大学生数学建模竞赛推动数学建模课程教学工作的改革和现状阐述，探索有效开展数学建模的路径，以此推动数学建模教学工作取得满意的效果。
关键词：数学模型 Matlab CT技术 量纲分析O141.4-4；
中图分类号：G642 文献标识码：A 文章编号：1009-5349（2018）12-0016-02
一、背景介绍
人类漫长的进化过程中，不断地认识世界和改造世界。从数学的角度来说，认识世界就是数学建模，改造世界就是优化即求极值。数学建模课程进入我国大学较晚，1987年，我国才有第一本数学建模教材，开设数学建模课程的高校自1993年开始至今从仅有几所增加到几十所，并向非数学专业推广。1992年教育部高等教育司和中国工业与应用数学学会主办了第一届全国大学生数学建模竞赛（简称国赛），得到了大学生的响应以及高校教师的支持。据不完全统计，现在全国每年有30个省市1000多所高校，2万多队参加国赛。在国赛的感召下，各省、市及许多高校纷纷组织竞赛，很多高校学生自发成立数学建模协会，开展各种形式的活动。甚至，现在很多中学生也成立了数学建模协会，参加数学建模竞赛。现在数学建模的形式有：一年一度的全国大学生数学建模竞赛、美国大学生数学建模竞赛（简称美赛）以及各地区及高校组织的数学建模竞赛。正式出版的数学建模教材及参考书已达200多本。[1，2，3，4，5]数学建模进入高校20多年，已从星星之火发展为现在的燎原之势。
由于大学生数学建模竞赛越来越普及，参加的学生越来越多，范围越来越大，参赛学生的专业、知识水平也有较大变化，数学建模教学内容及教学方法也发生了较大变革。
二、数学建模教学内容及方法的改革
数学建模课程通常分两部分：理论课及实验课。理论课采用数学模型教材，实验课采用数学软件教程（Matlab版本）。
数学模型，我们以高等教育出版社姜启源、谢金星及叶俊版主编的《数学模型》为例，从第三版到第四版，保持了原教材的基本结构和風格，作了几项较大的改动。[1]（1）删去了一些明显过时、不和时宜的案例，如录像机计数器的用途、动物的身长与体重的关系、汽车的刹车距离以及广告中的学问等8个案例。增加了一些实用性较强、具有时代特色、生活气息浓烈的案例，例如：如何施救药物中毒、光盘的数据容量、CT（计算机断层成像，Computed Tomography的缩写）技术的图像重建、学生作弊现象的调查和估计以及进攻与撤退的抉择、“一口价”的战略等博弈模型。（2）改写、合并、调整了很多案例及章节。其中有公平的席位分配、消费者的选择、生产者的决策、人口的预测和控制、原子弹爆炸的能量估计等。例如，公平的席位分配，由第三版的初等模型第一节，调整到第四版的离散模型第四节。消费者的选择，重写了开头，增加了两个易于引起人们兴趣的例题：例1征销售税还是征收入税，例2价格补贴给生产者还是消费者以及两段评注。这样做使此模型可以推广，进而用到实变函数论、拓扑学等数学工具，理论性更强，两个例题又贴近人们的生活，让人感觉到数学建模需要高深的理论，又能解决实际问题，激发学生的学习兴趣。第三版的初等模型中的量纲分析（Dimensional Analysis）与无量纲化，调整到第四版的代数方程与差分方程模型中的原子弹爆炸的能量估计与量纲分析。第三版中的量纲分析与无量纲化，理论推导过多，而举例单摆运动、航船的阻力及抛射问题，缺乏时代感，令年轻的大学生感到乏味，所以大多数高校都将此节作为阅读内容。很多学生都感受到了知识的力量，知道掌握了知识，可以“管中窥豹”，以至于量纲分析模型不再是枯燥无味的，变得生动形象起来。由此可见选对案例的重要性，有些学生对模型不感兴趣，不是模型的问题，而是案例太古老，脱离实际。第三版中的简单优化模型中的最优价格调整为生产者的决策，从原来仅仅用微分法求出最优价格，改为介绍了四个模型：最大利润模型、最优定价模型、投资费用一定下的产值最大模型、产值最大与费用最小的对偶关系。提高了理论深度、广度，用到了运筹学的一些知识。第四版微分方程模型中的人口预测和控制与第三版相比，将第三版的如何预报人口增长合并到人口预测和控制模型，既有数据如1949—2010中国人口数据、1790—2000美国人口数据及1625—1999世界人口数据，又有模型详细分类，如指数增长模型、阻滞增长模型—logistic模型、模型的参数估计、检验和预报及考虑年龄结构和生育模式的人口模型以及理论推导，这样模型更完美。
数学软件教程，我们以高等教育出版社赵静、但琦等主编的教材《数学建模与数学实验》为例，从第三版到第四版，作了较多改进[2]：（1）删去了整数规划、动态规划、组合数学、匹配及覆盖、最小费用流等内容；（2）增加了现在大学生数学建模竞赛常用的统计分析、模糊综合评判、四种人工智能算法（遗传算法、模拟退火算法、蚁群算法及神经网络算法）。（3）对有些保留的内容作了适当修改，更新了原来陈旧的建模案例，充实了案例，使教材内容更加丰富。
传统的数学教学，教师靠粉笔和黑板传授知识，学生靠纸和笔学习知识。而数学建模教学，不能以老师传授知识为主，而应当以学生动手为主，考查实际问题，借助计算机，利用适当的数学软件（主要是MATLAB）求解。
由于MATLAB软件更新较快，过去很多利用MATLAB无法求解的问题，例如利用CNN（卷积神经网络）解决人脸识别问题，现在已经可以解决，甚至可以编程在GPU上运行，加快了运行速度。有鉴于此，过去对数学软件仅要求会编简单的程序，现在对编程能力的要求大大提高了，不仅作图、计算、数据分析这些基本要求要达到，还要求人工智能编程及尚未进入数学软件教材的CNN及最优控制编程也要会。 三、我校数学建模教学的现状
有人说只要写入教科书就过时了，这句话虽然偏激，但是也有很多合理的成分。由于教材更新较慢，而现实世界变化太快，教师只有及时更换案例才能引起学生的兴趣。虽然第四版有较大变化，但有些模型为了吸引学生的注意力，我们增加了案例。如代数方程与差分方程模型中的减肥计划——节食与运动，我们增加了明星减肥的例子；概率模型中我们增加了官员贪污现象的调查和估计例子。第四版刚刚增加的模型，如光盘的数据容量，已经过时，我们将它删去了。针对校园常见的现象——大学生恋爱现象，布置学生网上问卷调查，我们增加了大学生恋爱模型。针对近年来刚刚出现的白杨絮问题，让学生查资料、实地考察阜阳市白杨树的分布情况，提出了白杨絮治理模型。
以上这些改变，使大学生们感到数学建模课程离现实很近，既有趣又有用，不再乏味、枯燥，很少再有学生翘课，教师课前再也不需要点名。常常有其他学院的学生前来蹭课、提前占位的现象，数学建模课变成明星课，甚至数学建模教室变得与各个高校都有的图书馆、考研通宵教室及学生恋爱的小树林一样知名。
近5年来，我校学生参加国赛、美赛，取得了优异的成绩。通过数学建模竞赛，既锻炼了学生，也提高了教师的数学建模教学能力，形成了一支精干的教练队伍，他们成为数学建模课程教学的主力军。
综上所述，数学建模，作為一门理论与现实世界联系最密切的数学课程，本应生动、活泼，具有鲜明的时代特征，带有五彩斑斓的现实气息。它的背景知识已经远超一门课的范围，正像生活的万花筒，无所不包，我们要不断地探索、改革，才能适应时代的要求。
数学建模具有魔力，只要接触，一生再也不可能把它忘掉，它将成为我们对待人生的一种态度：人生就像数学建模，我们追求它的最终目的，更在意沿途的风景。（求解过程，即编程实现。）
参考文献：
[1]姜启源，谢金星，叶俊.数学模型（第四版）[M].高等教育出版社，2018.
[2]赵静，但琦，严尚安，杨秀文.数学建模与数学实验（第四版）[M].北京：高等教育出版社，2014.
[3]谭永基，俞文魮.数学模型[M].上海：复旦大学出版社，2003：9.
[4]边馥萍，侯文华，梁冯珍.数学模型方法与算法（第四版）[M].北京：高等教育出版社，2005.
[5]朱道元.研究生数学建模精品案例[M].北京：科学出版社，2014.
责任编辑：杨国栋
关键词：数学模型 Matlab CT技术 量纲分析O141.4-4；
中图分类号：G642 文献标识码：A 文章编号：1009-5349（2018）12-0016-02
一、背景介绍
人类漫长的进化过程中，不断地认识世界和改造世界。从数学的角度来说，认识世界就是数学建模，改造世界就是优化即求极值。数学建模课程进入我国大学较晚，1987年，我国才有第一本数学建模教材，开设数学建模课程的高校自1993年开始至今从仅有几所增加到几十所，并向非数学专业推广。1992年教育部高等教育司和中国工业与应用数学学会主办了第一届全国大学生数学建模竞赛（简称国赛），得到了大学生的响应以及高校教师的支持。据不完全统计，现在全国每年有30个省市1000多所高校，2万多队参加国赛。在国赛的感召下，各省、市及许多高校纷纷组织竞赛，很多高校学生自发成立数学建模协会，开展各种形式的活动。甚至，现在很多中学生也成立了数学建模协会，参加数学建模竞赛。现在数学建模的形式有：一年一度的全国大学生数学建模竞赛、美国大学生数学建模竞赛（简称美赛）以及各地区及高校组织的数学建模竞赛。正式出版的数学建模教材及参考书已达200多本。[1，2，3，4，5]数学建模进入高校20多年，已从星星之火发展为现在的燎原之势。
由于大学生数学建模竞赛越来越普及，参加的学生越来越多，范围越来越大，参赛学生的专业、知识水平也有较大变化，数学建模教学内容及教学方法也发生了较大变革。
二、数学建模教学内容及方法的改革
数学建模课程通常分两部分：理论课及实验课。理论课采用数学模型教材，实验课采用数学软件教程（Matlab版本）。
数学模型，我们以高等教育出版社姜启源、谢金星及叶俊版主编的《数学模型》为例，从第三版到第四版，保持了原教材的基本结构和風格，作了几项较大的改动。[1]（1）删去了一些明显过时、不和时宜的案例，如录像机计数器的用途、动物的身长与体重的关系、汽车的刹车距离以及广告中的学问等8个案例。增加了一些实用性较强、具有时代特色、生活气息浓烈的案例，例如：如何施救药物中毒、光盘的数据容量、CT（计算机断层成像，Computed Tomography的缩写）技术的图像重建、学生作弊现象的调查和估计以及进攻与撤退的抉择、“一口价”的战略等博弈模型。（2）改写、合并、调整了很多案例及章节。其中有公平的席位分配、消费者的选择、生产者的决策、人口的预测和控制、原子弹爆炸的能量估计等。例如，公平的席位分配，由第三版的初等模型第一节，调整到第四版的离散模型第四节。消费者的选择，重写了开头，增加了两个易于引起人们兴趣的例题：例1征销售税还是征收入税，例2价格补贴给生产者还是消费者以及两段评注。这样做使此模型可以推广，进而用到实变函数论、拓扑学等数学工具，理论性更强，两个例题又贴近人们的生活，让人感觉到数学建模需要高深的理论，又能解决实际问题，激发学生的学习兴趣。第三版的初等模型中的量纲分析（Dimensional Analysis）与无量纲化，调整到第四版的代数方程与差分方程模型中的原子弹爆炸的能量估计与量纲分析。第三版中的量纲分析与无量纲化，理论推导过多，而举例单摆运动、航船的阻力及抛射问题，缺乏时代感，令年轻的大学生感到乏味，所以大多数高校都将此节作为阅读内容。很多学生都感受到了知识的力量，知道掌握了知识，可以“管中窥豹”，以至于量纲分析模型不再是枯燥无味的，变得生动形象起来。由此可见选对案例的重要性，有些学生对模型不感兴趣，不是模型的问题，而是案例太古老，脱离实际。第三版中的简单优化模型中的最优价格调整为生产者的决策，从原来仅仅用微分法求出最优价格，改为介绍了四个模型：最大利润模型、最优定价模型、投资费用一定下的产值最大模型、产值最大与费用最小的对偶关系。提高了理论深度、广度，用到了运筹学的一些知识。第四版微分方程模型中的人口预测和控制与第三版相比，将第三版的如何预报人口增长合并到人口预测和控制模型，既有数据如1949—2010中国人口数据、1790—2000美国人口数据及1625—1999世界人口数据，又有模型详细分类，如指数增长模型、阻滞增长模型—logistic模型、模型的参数估计、检验和预报及考虑年龄结构和生育模式的人口模型以及理论推导，这样模型更完美。
数学软件教程，我们以高等教育出版社赵静、但琦等主编的教材《数学建模与数学实验》为例，从第三版到第四版，作了较多改进[2]：（1）删去了整数规划、动态规划、组合数学、匹配及覆盖、最小费用流等内容；（2）增加了现在大学生数学建模竞赛常用的统计分析、模糊综合评判、四种人工智能算法（遗传算法、模拟退火算法、蚁群算法及神经网络算法）。（3）对有些保留的内容作了适当修改，更新了原来陈旧的建模案例，充实了案例，使教材内容更加丰富。
传统的数学教学，教师靠粉笔和黑板传授知识，学生靠纸和笔学习知识。而数学建模教学，不能以老师传授知识为主，而应当以学生动手为主，考查实际问题，借助计算机，利用适当的数学软件（主要是MATLAB）求解。
由于MATLAB软件更新较快，过去很多利用MATLAB无法求解的问题，例如利用CNN（卷积神经网络）解决人脸识别问题，现在已经可以解决，甚至可以编程在GPU上运行，加快了运行速度。有鉴于此，过去对数学软件仅要求会编简单的程序，现在对编程能力的要求大大提高了，不仅作图、计算、数据分析这些基本要求要达到，还要求人工智能编程及尚未进入数学软件教材的CNN及最优控制编程也要会。 三、我校数学建模教学的现状
有人说只要写入教科书就过时了，这句话虽然偏激，但是也有很多合理的成分。由于教材更新较慢，而现实世界变化太快，教师只有及时更换案例才能引起学生的兴趣。虽然第四版有较大变化，但有些模型为了吸引学生的注意力，我们增加了案例。如代数方程与差分方程模型中的减肥计划——节食与运动，我们增加了明星减肥的例子；概率模型中我们增加了官员贪污现象的调查和估计例子。第四版刚刚增加的模型，如光盘的数据容量，已经过时，我们将它删去了。针对校园常见的现象——大学生恋爱现象，布置学生网上问卷调查，我们增加了大学生恋爱模型。针对近年来刚刚出现的白杨絮问题，让学生查资料、实地考察阜阳市白杨树的分布情况，提出了白杨絮治理模型。
以上这些改变，使大学生们感到数学建模课程离现实很近，既有趣又有用，不再乏味、枯燥，很少再有学生翘课，教师课前再也不需要点名。常常有其他学院的学生前来蹭课、提前占位的现象，数学建模课变成明星课，甚至数学建模教室变得与各个高校都有的图书馆、考研通宵教室及学生恋爱的小树林一样知名。
近5年来，我校学生参加国赛、美赛，取得了优异的成绩。通过数学建模竞赛，既锻炼了学生，也提高了教师的数学建模教学能力，形成了一支精干的教练队伍，他们成为数学建模课程教学的主力军。
综上所述，数学建模，作為一门理论与现实世界联系最密切的数学课程，本应生动、活泼，具有鲜明的时代特征，带有五彩斑斓的现实气息。它的背景知识已经远超一门课的范围，正像生活的万花筒，无所不包，我们要不断地探索、改革，才能适应时代的要求。
数学建模具有魔力，只要接触，一生再也不可能把它忘掉，它将成为我们对待人生的一种态度：人生就像数学建模，我们追求它的最终目的，更在意沿途的风景。（求解过程，即编程实现。）
参考文献：
[1]姜启源，谢金星，叶俊.数学模型（第四版）[M].高等教育出版社，2018.
[2]赵静，但琦，严尚安，杨秀文.数学建模与数学实验（第四版）[M].北京：高等教育出版社，2014.
[3]谭永基，俞文魮.数学模型[M].上海：复旦大学出版社，2003：9.
[4]边馥萍，侯文华，梁冯珍.数学模型方法与算法（第四版）[M].北京：高等教育出版社，2005.
[5]朱道元.研究生数学建模精品案例[M].北京：科学出版社，2014.
责任编辑：杨国栋