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【摘要】在区间值直觉模糊正规子群的基础上,引入了区间值直觉模糊商群概念,并讨论了它们的一些性质,最后也研究了其同构定理。
【关键词】区间值直觉模糊正规子群;区间值直觉模糊商群
1983年,保加利亚数学家K.Atanassov[1]给出了直觉模糊集的概念，它极大地丰富了Zadeh模糊集理论。自然地直觉模糊子群和直觉模糊正规正规子群以及其商群的相关理论引起了众多学者的关注。文献[2-6]中就对直觉模糊群的一些理论做了研究。2008年李娟，张诚一 定义了直觉模糊商群，且利用集合套研究了直觉模糊子群和直觉模糊正规子群。继K.Atanassov提出了区间直觉模糊集之后,2007年詹建明[7]在他的论文里提出了区间值直觉模糊子群的概念,本文就是在区间值直觉模糊子群概念的基础上,引入了区间值直觉模糊商群概念,且讨论了其一些简单性质和同构定理。
1.预备知识
用符号I表示单位闭区间，即I=[0,1]，令[I]=α=[a,b]|a≤b,a,b∈I,其中[I]中的元素称为I的区间数。
定义1.1称映射A:G→[I],x→[A(x),A(x)]为G上的区间值模糊集（简称IVFS）,其中A,A∈F(G)(F(G)表示G上的模糊幂集)，且AA，G上的所有IVFS记为IVFS(G)。
定义1.2称=|x∈G为G上的区间值直觉模糊集，其中M(x)[0,1]与N(x)[0,1]是区间，且supM(x)+supN(x)≤1，x∈G, G 上的所有区间值直觉模糊子集构成的集合记为IVIFS[G]。
定义1.3设∈[I]×[I],i=1,2.规定
<α,β>=<α,β>α=α，β=β，<α,β>≤<α,β>α≤α，β≤β，<α,β><<α,β><α,β>≤<α,β>,但是<α,β>≠<α,β>
定义1.4设<α,β>∈[I]×[I],t∈T规定
<α,β>=<α,β>,<α,β>=<α,β>,<α,β>′=<β′,α′>
定义1.5设∈IVIFS[G],<α,β>∈[I]×[I]，称集合
=x∈G|M(x)≥α,N≤β为集合的<α,β>-截集。
性质1.1设，∈IVIFS[G],<α,β>∈[I]×[I],则
(∩)=∩,(∪)∪
定义1.6称=|x∈G为G上的区间值直觉模糊集,其中,M(x)[0,1]与N(x)[0,1]是区间,且supM(x)+supN(x)≤1，x∈G, G上的所有区间值直觉模糊子集构成的集合记为IVIFS[G].
定义1.7设G是群,G 上的一个区间值直觉模糊子集=|x∈G
如果满足:
(1) M(xy)≥minM(x),M(y), N(xy)≤maxN(x),N(y),x,y∈G;
(2)M(x)≥M(x),N(x)≤N(x),x∈G。
则称为G上的一个区间值直觉模糊子群。令IVIFG[G]表示群G上所有区间值直觉模糊子群构成的集合。
定义1.8设G是群,G上的一个区间值直觉模糊子群=|x∈U∈IVIFG[G],若还满足M(xyx)≥M(y), N(xyx)≤N(y),x,y∈G,则称为G上的一个区间值直觉模糊正规子群。令IVIFG[G]表示群G上所有区间值直觉模糊正规子群构成的集合。
2.区间值直觉模糊商群及其同构
定义2.1设是群,∈IVIFG[G] ,a∈G ,定义在G中元素a的区间值左﹑右陪集a和a分别为M(x)=M(ax),N(x)=N(ax)；M(x)=M(xa),N(x)=N(xa),x∈G.显然a，a 均为G的区间值直觉模糊子集,当∈IVIFNG[G]时,有a=a,a∈G。
定理2.1设G是群,∈IVIFG[G],则M(x)≤M（e)=[M(e),M(e)]且N(x)≥N（e)=[N(e),N(e)]。
证明：因为∈IVIFG[G]，所以 x∈G ,[M(e),M(e)]=M(e)=M(xx)≥minM(x),M(x)=M(x)，同理： [M(e),M(e)]=M(e)=M(xx)≤maxN(x),N(x)=N(x)即得证。
定理2.2 设G是群, ∈IVIFG[G],则 为G上的区间值直觉模糊正规子群的充要条件是:x,y∈G,M(xy)=M(yx),N(xy)=N(yx)。
证明:（必要性）由定义可直接得到。
(充分性)M(xyx)=M((xy)x)=M(x(xy))=M(y),同理N(xyx)=N((xy)x)=N(x(xy))=N(y),所以为G上的区间值直觉模糊正规子群。
定理2.3设G是群, ∈IVIFG[G],则 ∈IVIFNG[G]当且仅当 a∈G,M=M,N=N
证明：(必要性)由定义直接可得。
(充分性)对x,y∈G,因为M(xy)=（xM)(y)=(Mx)(y)=M(yx),同理:有N(xy)=（xN)(y)=(Nx)(y)=N(yx)。即∈IVIFNG[G],结论得证。
定理2.4 设G是群,∈IVIFG[G],则对x,y∈G,M=M且N=N的充分必要条件是M(xy)=M(e),N(xy)=N(e)。
证明：（必要性）M(xy)=M(y)=M(y)=M(yy)=M(e)。同理:N(xy)=N(y)=N(y)=N(yy)=N(e)。
(充分性)m∈G,则M(m)=M(xm)=M((xy)•(ym))≥M(xy)∧M(ym)=M(m)。
同理可得:M(m)=M(ym)=M((yx)•(xm))≥M(yx)∧M(xm)=M(m)。所以M=M,而且同理也可得N=N。
下面引进o,设∈IVIFNG[G],记G/=a|a∈G,对a,b∈G/令aob=(a•b),下面证明这样的定义的运算o是合理的。即运算o与代表元的选取无关,且是唯一确定的。规定：(e)=<[1,1],[0,0]>,e为G的单位元。
定理2.5 设G是群,∈IVIFNG[G],则对a,b,a,d∈G,a=c,b=d(a•b)=（c•d)。
证明:对x∈G,(M)(x)=M((a•b)•x)=M(b•a•x)=M(b•a•x)=M((b•a•c•d)(d•c•x））≥M(b•a•c•d)∧M(d•c•x）。
由定理2.4知M(b•a•c•d)=M（a•c•d)=M(a•c•d)=M(d•a•c•d)=M(a•c)=M(e)。∴（M)(x)≥M(e)∧M(d•c•x)=(M)(x)。
同理可得(M)(x)≥（M)(x),即(a•b)=（c•d)。
即上述定义运算o是合理的。
定义2.2设G是群,∈IVIFNG[G],则G/=a|a∈G关于运算：aob=ab作成一个群,称[(G/),o]为群G关于的区间直觉模糊商群。
定义2.3 设G是群, ∈IVIFG[G],∈IVIFNG[G],则称/为区间值直觉模糊子群关于的区间值直觉模糊商群。
定理2.6设G是群∈IVIFG[G],∈IVIFNG[G],则/∈IVIFG[（G/）]。若∈IVIFNG[G],则/∈IVIFG[（G/）].规定:/=|x∈G/,其中M(x)=∨M(t)|t=x,N(x)=∧N(t)|t=x。
证明：显然有/∈IVIFS[(G/)].设x,x∈G/,M((x)x)=M(xx)=∨M(t)|t=xx≥(∨M(t)t=x)∧(∨M(t)t=x)=(∨M(t)t=x)∧(∨M(t)t=x)=M(x)∧M(x)。同理:N((x)x) N(x)∨N(x)故/∈IVIFG[(G/)].令:f:G→G/,则f满同态。设x,x∈G,则f(xxx)=f(x)f(x)f(x)=yyy,y,y∈G/。故xxx∈f(yyy),xxx|f(x)=y,f(x)=yt|f(t)=yyy。M(yyy)=∨M(t)|t=yyy=∨M(t)|f(t)=yyy≥∨M(xxx)|f(x)=y,f(x)=y≥∨M(x)f(x)=y=M(x)|x=y.同理可得N(yyy)≤N(y)./∈IVIFNG[(G/]。
3.结束语
本文提出了区间值直觉模糊商群的概念，且主要对其同态、同构理论做了一些研究。在下一步的研究任务中，我们会利用集合套的有关知识对其进行讨论，以及区间值直觉模糊同态理论在多属性决策中的实际应用。
【参考文献】
［１］Atanassov K. Intuitionistic fuzzy sets [J].Fuzzy Sets and Systems,1986,20:87~96.
［２］李晓萍,王贵君. 直觉模糊群与它的同态像[J],模糊系统与数学,2000,14(1):45～50.
［３］李晓萍,赵建红. 直觉模糊正规子群与它的同态像特征[J],东北师范大学学报自然科学版,2004,36(1):27～33.
［４］姚炳学.直觉模糊正规子群与直觉模糊商群[J],数学理论与应用,2001,21(2) :73～77.
［５］林梦雷.直觉模糊群与它的诱导商群[J].厦门大学学报自然科学版,2006,45(2):157～161.
［６］李娟,张诚一.直觉模糊商群及其同构[J].模糊系统与数学,2008,22(5):84～89.
［７］詹建明.区间值直觉模糊超群[J],数学研究与评论,2007,27(4);755～761.
［８］陈梅琴,黄亦男,张诚一.区间值直觉模糊子群[J],海南师范大学学报自然科学版,2011,24(1):1～4.
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文
【关键词】区间值直觉模糊正规子群;区间值直觉模糊商群
1983年,保加利亚数学家K.Atanassov[1]给出了直觉模糊集的概念，它极大地丰富了Zadeh模糊集理论。自然地直觉模糊子群和直觉模糊正规正规子群以及其商群的相关理论引起了众多学者的关注。文献[2-6]中就对直觉模糊群的一些理论做了研究。2008年李娟，张诚一 定义了直觉模糊商群，且利用集合套研究了直觉模糊子群和直觉模糊正规子群。继K.Atanassov提出了区间直觉模糊集之后,2007年詹建明[7]在他的论文里提出了区间值直觉模糊子群的概念,本文就是在区间值直觉模糊子群概念的基础上,引入了区间值直觉模糊商群概念,且讨论了其一些简单性质和同构定理。
1.预备知识
用符号I表示单位闭区间，即I=[0,1]，令[I]=α=[a,b]|a≤b,a,b∈I,其中[I]中的元素称为I的区间数。
定义1.1称映射A:G→[I],x→[A(x),A(x)]为G上的区间值模糊集（简称IVFS）,其中A,A∈F(G)(F(G)表示G上的模糊幂集)，且AA，G上的所有IVFS记为IVFS(G)。
定义1.2称=
定义1.3设
<α,β>=<α,β>α=α，β=β，<α,β>≤<α,β>α≤α，β≤β，<α,β><<α,β><α,β>≤<α,β>,但是<α,β>≠<α,β>
定义1.4设<α,β>∈[I]×[I],t∈T规定
<α,β>=<α,β>,<α,β>=<α,β>,<α,β>′=<β′,α′>
定义1.5设∈IVIFS[G],<α,β>∈[I]×[I]，称集合
=x∈G|M(x)≥α,N≤β为集合的<α,β>-截集。
性质1.1设，∈IVIFS[G],<α,β>∈[I]×[I],则
(∩)=∩,(∪)∪
定义1.6称=
定义1.7设G是群,G 上的一个区间值直觉模糊子集=
如果满足:
(1) M(xy)≥minM(x),M(y), N(xy)≤maxN(x),N(y),x,y∈G;
(2)M(x)≥M(x),N(x)≤N(x),x∈G。
则称为G上的一个区间值直觉模糊子群。令IVIFG[G]表示群G上所有区间值直觉模糊子群构成的集合。
定义1.8设G是群,G上的一个区间值直觉模糊子群=
2.区间值直觉模糊商群及其同构
定义2.1设是群,∈IVIFG[G] ,a∈G ,定义在G中元素a的区间值左﹑右陪集a和a分别为M(x)=M(ax),N(x)=N(ax)；M(x)=M(xa),N(x)=N(xa),x∈G.显然a，a 均为G的区间值直觉模糊子集,当∈IVIFNG[G]时,有a=a,a∈G。
定理2.1设G是群,∈IVIFG[G],则M(x)≤M（e)=[M(e),M(e)]且N(x)≥N（e)=[N(e),N(e)]。
证明：因为∈IVIFG[G]，所以 x∈G ,[M(e),M(e)]=M(e)=M(xx)≥minM(x),M(x)=M(x)，同理： [M(e),M(e)]=M(e)=M(xx)≤maxN(x),N(x)=N(x)即得证。
定理2.2 设G是群, ∈IVIFG[G],则 为G上的区间值直觉模糊正规子群的充要条件是:x,y∈G,M(xy)=M(yx),N(xy)=N(yx)。
证明:（必要性）由定义可直接得到。
(充分性)M(xyx)=M((xy)x)=M(x(xy))=M(y),同理N(xyx)=N((xy)x)=N(x(xy))=N(y),所以为G上的区间值直觉模糊正规子群。
定理2.3设G是群, ∈IVIFG[G],则 ∈IVIFNG[G]当且仅当 a∈G,M=M,N=N
证明：(必要性)由定义直接可得。
(充分性)对x,y∈G,因为M(xy)=（xM)(y)=(Mx)(y)=M(yx),同理:有N(xy)=（xN)(y)=(Nx)(y)=N(yx)。即∈IVIFNG[G],结论得证。
定理2.4 设G是群,∈IVIFG[G],则对x,y∈G,M=M且N=N的充分必要条件是M(xy)=M(e),N(xy)=N(e)。
证明：（必要性）M(xy)=M(y)=M(y)=M(yy)=M(e)。同理:N(xy)=N(y)=N(y)=N(yy)=N(e)。
(充分性)m∈G,则M(m)=M(xm)=M((xy)•(ym))≥M(xy)∧M(ym)=M(m)。
同理可得:M(m)=M(ym)=M((yx)•(xm))≥M(yx)∧M(xm)=M(m)。所以M=M,而且同理也可得N=N。
下面引进o,设∈IVIFNG[G],记G/=a|a∈G,对a,b∈G/令aob=(a•b),下面证明这样的定义的运算o是合理的。即运算o与代表元的选取无关,且是唯一确定的。规定：(e)=<[1,1],[0,0]>,e为G的单位元。
定理2.5 设G是群,∈IVIFNG[G],则对a,b,a,d∈G,a=c,b=d(a•b)=（c•d)。
证明:对x∈G,(M)(x)=M((a•b)•x)=M(b•a•x)=M(b•a•x)=M((b•a•c•d)(d•c•x））≥M(b•a•c•d)∧M(d•c•x）。
由定理2.4知M(b•a•c•d)=M（a•c•d)=M(a•c•d)=M(d•a•c•d)=M(a•c)=M(e)。∴（M)(x)≥M(e)∧M(d•c•x)=(M)(x)。
同理可得(M)(x)≥（M)(x),即(a•b)=（c•d)。
即上述定义运算o是合理的。
定义2.2设G是群,∈IVIFNG[G],则G/=a|a∈G关于运算：aob=ab作成一个群,称[(G/),o]为群G关于的区间直觉模糊商群。
定义2.3 设G是群, ∈IVIFG[G],∈IVIFNG[G],则称/为区间值直觉模糊子群关于的区间值直觉模糊商群。
定理2.6设G是群∈IVIFG[G],∈IVIFNG[G],则/∈IVIFG[（G/）]。若∈IVIFNG[G],则/∈IVIFG[（G/）].规定:/=
证明：显然有/∈IVIFS[(G/)].设x,x∈G/,M((x)x)=M(xx)=∨M(t)|t=xx≥(∨M(t)t=x)∧(∨M(t)t=x)=(∨M(t)t=x)∧(∨M(t)t=x)=M(x)∧M(x)。同理:N((x)x) N(x)∨N(x)故/∈IVIFG[(G/)].令:f:G→G/,则f满同态。设x,x∈G,则f(xxx)=f(x)f(x)f(x)=yyy,y,y∈G/。故xxx∈f(yyy),xxx|f(x)=y,f(x)=yt|f(t)=yyy。M(yyy)=∨M(t)|t=yyy=∨M(t)|f(t)=yyy≥∨M(xxx)|f(x)=y,f(x)=y≥∨M(x)f(x)=y=M(x)|x=y.同理可得N(yyy)≤N(y)./∈IVIFNG[(G/]。
3.结束语
本文提出了区间值直觉模糊商群的概念，且主要对其同态、同构理论做了一些研究。在下一步的研究任务中，我们会利用集合套的有关知识对其进行讨论，以及区间值直觉模糊同态理论在多属性决策中的实际应用。
【参考文献】
［１］Atanassov K. Intuitionistic fuzzy sets [J].Fuzzy Sets and Systems,1986,20:87~96.
［２］李晓萍,王贵君. 直觉模糊群与它的同态像[J],模糊系统与数学,2000,14(1):45～50.
［３］李晓萍,赵建红. 直觉模糊正规子群与它的同态像特征[J],东北师范大学学报自然科学版,2004,36(1):27～33.
［４］姚炳学.直觉模糊正规子群与直觉模糊商群[J],数学理论与应用,2001,21(2) :73～77.
［５］林梦雷.直觉模糊群与它的诱导商群[J].厦门大学学报自然科学版,2006,45(2):157～161.
［６］李娟,张诚一.直觉模糊商群及其同构[J].模糊系统与数学,2008,22(5):84～89.
［７］詹建明.区间值直觉模糊超群[J],数学研究与评论,2007,27(4);755～761.
［８］陈梅琴,黄亦男,张诚一.区间值直觉模糊子群[J],海南师范大学学报自然科学版,2011,24(1):1～4.
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文