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摘要：灰色模型在变形监测数据处理中广泛使用，其原理是利用累加生成的数据而非原始序列数据建立一个微分方程形式的时间连续函数模型，并用这个函数模型来做出预测。本文用等步长GM（1，1）和非等步长GM（1，1）模型对实测的沉降数据进行预测，并对预测结果进行分析和精度评定，发现在原始观测数据采集周期不相等时，非等步长的模型预测结果优于等步长模型结果。
关键词：灰色模型 非等步长 时间加权
CHENGDU JIEDA TECH WLPROSE CO.LTD Chengdu 610083
一 引言
灰色系统理论是由我国原华中理工大学邓聚龙教授在20世纪80年代提出的[1]，主要是用来解决信息不完备的随机时间序列数据的数学方法。灰色预测法是利用累加生成的数据而非原始序列数据建立一个微分方程形式的时间连续函数模型GM（n，h） （n表示微分方程的阶数，h表示变量的个数），并以此做出预测。灰色模型中最常用的是一阶单变量灰色GM（1，1）模型，因此本文只讨论GM（1，1）模型。传统GM（1，1）灰色模型也存在局限：其在j建模过程中默认数据采集的时间间隔是相同的，但是在实际的变形监测中很多时候时间间隔并不相等。为此本文引入了用时间定权的非等步长的灰色模型GM（1，1），并将将两者结果进行对比发现：在原始观测数据采集周期不相等时，非等步长的模型结果优于等步长模型结果。
二 等步长GM（1，1）模型建立
2.1等步长GM（1，1）模型建立[1]
（1）原始數據的选取：
n为序列长度，是在变形监测过程通过实际测量得到的离散数据，如：沉降量、水平位移、竖直位移；本文的数据主要是沉降量。
（2）数据生成方法：
a.累加生成
对式子（1）中的进行一次累加，可以得到一个生成序列：
其中：
这个过程称为累加生成（1-AGO），累加法是在GM（1，1）模型中常用的方法。
b.累减生成
累减生成是累加过程的逆运算，对生成序列前后的两组数据进行差值运算。
在灰色模型建模过程中数据生成过程作用意义是：使灰色过程逐渐由灰变白，显化离散数列的积分特性。
（3）建立一元一阶线性微分方程，即计算灰色模型的白化方程的过程：
其中：和是灰参数。是通过最小二乘求解出的模型适用范围的发展系数和灰色作用量的常值估计量：
（4）求解时间函数
将求出的参数和带入微分方程，且令，可以得到时间函数：
（5）还原时间函数
时间函数是根据一次累加生成序列建立的预测模型，其计算的结果不能直接用于预测，需作逆累加生成处理来还原成GM（1，1）模型，从而得到我们需要的变形值，具体的过程见式子（4）。
2.1非等步长的GM（1，1）模型[2]
非等步长的GM（1，1）模型，建立模型基本与等步长的基本相同。仅仅只有数据生成和时间还原函数不同，将不同的部分表示如下。数据生成过程以相邻观测时间段为权，进行时间差加权1-AGO处理得到：
其中：
还原时间函数为：
2.3 GM（1，1）模型的精度检验[3]
GM（1，1）模型建立以后不能直接用于预测，必须对其拟合精度进行检验，只有当拟合精度达到一定的要求以后才可以用于预测。GM（1，1）模型的拟合精度检验的方法有三种：残差检验法、关联度检验法、后验差检验法，本文采用后验差检验法。
后验差检验法主要是根据原始序列均方差与残差绝对值序列均方差的比率及小误差概率，判定GM（1，1）模型的精度等级。具体步骤如下：
a分别计算原始序列均方差：
残差绝对值序列的均方差：
b.计算，C值越小，预测结果的误差离散程度小，预测的精度越高；反之，C越大，预测结果的误差离散程度大，预测的精度越低。
c.计算小误差概率，P越大，表明GM（1，1）模型的拟合精度越高。反之，P越小，表明模型的拟合精度越低。模型精度为：
、的精度标准参考表1。
三 实验分析
成都轨道交通18号线龙泉山隧道全长9.8公里，为穿山越岭隧道，采用双洞分修的方案（线间距30m），矿山法施工，隧道进口衔接“U”型敞口结构，出口衔接路基工程。该隧道穿越龙泉山含油气构造，为高瓦斯隧道，构造变形强烈，褶皱幅度大，断裂发育，变形监测、数据分析及预测显的尤为重要。本文以成都市龙泉山隧道建设过程中水准沉降量为例，选取其中1个沉降监测点2016年1月至6月中旬间采集的10次数据（数据见表2）进行建模分析。以前6组数据为离散原始序列进行等步长和非等步长建模，并进行残差精度检验，并对模型进行预测检验和精度评定（结果如表3和表4）。
通过表3中可得预测值等步长预测结果为：5.6985mm、6.8412mm、7.9345mm、9.2025mm；非等步长预测结果为：5.0723mm、6.1175mm、7.5712mm、8.8702mm。结合原始的第7到第10期的观测值，可以得出非等步长模型预测结果更加接近真实值。各组数据比较，不难看出非等时间间隔的观测数据在非等步长（以时间为权重）灰色模型的预报值比等步长GM（1，1）更趋近于真实值[4]。其中非等步长残差最大值是第10期为1.3302mm，最小值是第7期为-0.0977mm；其中等步长残差最大值是第10期为1.6625mm，最小值是第7期为0.5285mm。这说明随着预测时间的增加，预测数据与实测数据差距较大，即残差较大，可能不符合精度，所以在解算预测结果后必须进行精度检验[5]。最后为了检验种模型预测结果的可靠性，分别算出已知数据为4组、5组、6组、7组时两种模型预测结果的、值，并对预测结果进行精度评定，如表4。
从表4可得已知数据为4组、5组、6组、7组时非等步长模型的精度等级都到达了好的等级，而等步长的模型结果只有在已知数据达到6组后结果才达到好的等级。这说明非等步长仅有少量原始数据的情况下也能得到很好的预测结果[6]，而等步长只有在预测数据达到一定量之后才能得到较好的预测结果。根据实验结果可以得到：对非等时间间隔的观测数据的预测，非等步长模型明显优于等步长模型。
四 结论
GM（1，1）模型在短期时间预测效果较好，随着时间的延长，预测数据与实测数据（真实数据）差距较大，可能达不到精度要求，所以在解算预测结果后必须计算、，根据两者的值进行精度检验。对非等时间间隔的观测数据进行预测时，非等步长（以时间为权重）灰色模型的预报值比等步长GM（1，1）更趋近于真实值；非等步长（以时间为权重）灰色模型的预报精度较传统灰色模型有了进一步的提高。时间加权算法对原始数据为提高非等步长的预测更加准确，故具有较大的意义和一定的实用价值。
参考文献
[1]黄声享，蒋征.变形监测数据处理[M]，武汉大学出版社.2003.
[2]郭宗阳.灰色模型GM （1， 1）在变形监测中的应用[J].矿山测量，2009.9（2）：66-68.
[3]刘 斌，李俊芬，谭兆伟，胡乐银.非等步长灰色 GM（1，1）模型及其建筑物沉降预测中的应用[J].矿山测量，2008.10（4）：69-72.
[4]王性猛，岳东，杰曹奇.稳健灰色模型在建筑物沉降监测中的应用[J].勘察科学技术，2013（6）：44-46.
[5]秦晨西，汪达文.非等步长GM（1，1）灰色模型在建筑物变形监测中的应用[J].科技创新，2015（8）：28-30
[6]魏善明等，改进灰色模型GM（1，1）在高层建筑施工变形监测中的应用[J].矿山测量，2013.4（2）：84-86.
关键词：灰色模型 非等步长 时间加权
CHENGDU JIEDA TECH WLPROSE CO.LTD Chengdu 610083
一 引言
灰色系统理论是由我国原华中理工大学邓聚龙教授在20世纪80年代提出的[1]，主要是用来解决信息不完备的随机时间序列数据的数学方法。灰色预测法是利用累加生成的数据而非原始序列数据建立一个微分方程形式的时间连续函数模型GM（n，h） （n表示微分方程的阶数，h表示变量的个数），并以此做出预测。灰色模型中最常用的是一阶单变量灰色GM（1，1）模型，因此本文只讨论GM（1，1）模型。传统GM（1，1）灰色模型也存在局限：其在j建模过程中默认数据采集的时间间隔是相同的，但是在实际的变形监测中很多时候时间间隔并不相等。为此本文引入了用时间定权的非等步长的灰色模型GM（1，1），并将将两者结果进行对比发现：在原始观测数据采集周期不相等时，非等步长的模型结果优于等步长模型结果。
二 等步长GM（1，1）模型建立
2.1等步长GM（1，1）模型建立[1]
（1）原始數據的选取：
n为序列长度，是在变形监测过程通过实际测量得到的离散数据，如：沉降量、水平位移、竖直位移；本文的数据主要是沉降量。
（2）数据生成方法：
a.累加生成
对式子（1）中的进行一次累加，可以得到一个生成序列：
其中：
这个过程称为累加生成（1-AGO），累加法是在GM（1，1）模型中常用的方法。
b.累减生成
累减生成是累加过程的逆运算，对生成序列前后的两组数据进行差值运算。
在灰色模型建模过程中数据生成过程作用意义是：使灰色过程逐渐由灰变白，显化离散数列的积分特性。
（3）建立一元一阶线性微分方程，即计算灰色模型的白化方程的过程：
其中：和是灰参数。是通过最小二乘求解出的模型适用范围的发展系数和灰色作用量的常值估计量：
（4）求解时间函数
将求出的参数和带入微分方程，且令，可以得到时间函数：
（5）还原时间函数
时间函数是根据一次累加生成序列建立的预测模型，其计算的结果不能直接用于预测，需作逆累加生成处理来还原成GM（1，1）模型，从而得到我们需要的变形值，具体的过程见式子（4）。
2.1非等步长的GM（1，1）模型[2]
非等步长的GM（1，1）模型，建立模型基本与等步长的基本相同。仅仅只有数据生成和时间还原函数不同，将不同的部分表示如下。数据生成过程以相邻观测时间段为权，进行时间差加权1-AGO处理得到：
其中：
还原时间函数为：
2.3 GM（1，1）模型的精度检验[3]
GM（1，1）模型建立以后不能直接用于预测，必须对其拟合精度进行检验，只有当拟合精度达到一定的要求以后才可以用于预测。GM（1，1）模型的拟合精度检验的方法有三种：残差检验法、关联度检验法、后验差检验法，本文采用后验差检验法。
后验差检验法主要是根据原始序列均方差与残差绝对值序列均方差的比率及小误差概率，判定GM（1，1）模型的精度等级。具体步骤如下：
a分别计算原始序列均方差：
残差绝对值序列的均方差：
b.计算，C值越小，预测结果的误差离散程度小，预测的精度越高；反之，C越大，预测结果的误差离散程度大，预测的精度越低。
c.计算小误差概率，P越大，表明GM（1，1）模型的拟合精度越高。反之，P越小，表明模型的拟合精度越低。模型精度为：
、的精度标准参考表1。
三 实验分析
成都轨道交通18号线龙泉山隧道全长9.8公里，为穿山越岭隧道，采用双洞分修的方案（线间距30m），矿山法施工，隧道进口衔接“U”型敞口结构，出口衔接路基工程。该隧道穿越龙泉山含油气构造，为高瓦斯隧道，构造变形强烈，褶皱幅度大，断裂发育，变形监测、数据分析及预测显的尤为重要。本文以成都市龙泉山隧道建设过程中水准沉降量为例，选取其中1个沉降监测点2016年1月至6月中旬间采集的10次数据（数据见表2）进行建模分析。以前6组数据为离散原始序列进行等步长和非等步长建模，并进行残差精度检验，并对模型进行预测检验和精度评定（结果如表3和表4）。
通过表3中可得预测值等步长预测结果为：5.6985mm、6.8412mm、7.9345mm、9.2025mm；非等步长预测结果为：5.0723mm、6.1175mm、7.5712mm、8.8702mm。结合原始的第7到第10期的观测值，可以得出非等步长模型预测结果更加接近真实值。各组数据比较，不难看出非等时间间隔的观测数据在非等步长（以时间为权重）灰色模型的预报值比等步长GM（1，1）更趋近于真实值[4]。其中非等步长残差最大值是第10期为1.3302mm，最小值是第7期为-0.0977mm；其中等步长残差最大值是第10期为1.6625mm，最小值是第7期为0.5285mm。这说明随着预测时间的增加，预测数据与实测数据差距较大，即残差较大，可能不符合精度，所以在解算预测结果后必须进行精度检验[5]。最后为了检验种模型预测结果的可靠性，分别算出已知数据为4组、5组、6组、7组时两种模型预测结果的、值，并对预测结果进行精度评定，如表4。
从表4可得已知数据为4组、5组、6组、7组时非等步长模型的精度等级都到达了好的等级，而等步长的模型结果只有在已知数据达到6组后结果才达到好的等级。这说明非等步长仅有少量原始数据的情况下也能得到很好的预测结果[6]，而等步长只有在预测数据达到一定量之后才能得到较好的预测结果。根据实验结果可以得到：对非等时间间隔的观测数据的预测，非等步长模型明显优于等步长模型。
四 结论
GM（1，1）模型在短期时间预测效果较好，随着时间的延长，预测数据与实测数据（真实数据）差距较大，可能达不到精度要求，所以在解算预测结果后必须计算、，根据两者的值进行精度检验。对非等时间间隔的观测数据进行预测时，非等步长（以时间为权重）灰色模型的预报值比等步长GM（1，1）更趋近于真实值；非等步长（以时间为权重）灰色模型的预报精度较传统灰色模型有了进一步的提高。时间加权算法对原始数据为提高非等步长的预测更加准确，故具有较大的意义和一定的实用价值。
参考文献
[1]黄声享，蒋征.变形监测数据处理[M]，武汉大学出版社.2003.
[2]郭宗阳.灰色模型GM （1， 1）在变形监测中的应用[J].矿山测量，2009.9（2）：66-68.
[3]刘 斌，李俊芬，谭兆伟，胡乐银.非等步长灰色 GM（1，1）模型及其建筑物沉降预测中的应用[J].矿山测量，2008.10（4）：69-72.
[4]王性猛，岳东，杰曹奇.稳健灰色模型在建筑物沉降监测中的应用[J].勘察科学技术，2013（6）：44-46.
[5]秦晨西，汪达文.非等步长GM（1，1）灰色模型在建筑物变形监测中的应用[J].科技创新，2015（8）：28-30
[6]魏善明等，改进灰色模型GM（1，1）在高层建筑施工变形监测中的应用[J].矿山测量，2013.4（2）：84-86.