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计算是小学数学的重要内容，它占据了整个小学数学的学习阶段;计算还是学生数学能力发展的一项必备的技能，计算能力的培养贯穿学生一生数学学习的始终，计算能力的差异直接影响学生学习数学的兴趣、方法等。实施课程改革以来，随着数学课时数的减少，学生学习计算的时间也跟着减少，笔者身为一线数学教师，发现学生的计算能力有明显下降的趋势。本文以四年级上册“三位数乘两位数的笔算乘法”出现的错误为例，深入分析学生的计算错误，并针对不同的情况提出相应的应对策略，不断提高学生的计算能力，做到轻负高质。
一、缘起
“三位数乘两位数的笔算乘法”是人教版四年级上册的内容，笔者在教学本块内容时对于本班的学生是非常有信心的，因为本班学生在一、二、三年级每个学期的计算比赛中成绩都不错，几乎都在年级段前2名，计算的基础比较扎实，又因为三年级下册两位数乘两位数的乘法笔算内容学生掌握得也不错，他们已经有一定的算理和算法的基础。所以笔者把本节课的目标定位为“理解算理，掌握算法，能正确计算三位数乘两位数”，以为定能轻松完成。结果学生交上来的作业错误率很高，并没有想象中的好。跟平行班的教师（我们学校有8个平行班）交流后发现，他们教学的学生也存在这样的情况。于是笔者对小学的计算教学的教材做了一番梳理，然后又对本校学生的计算能力做了检测，发现学生的计算能力下降趋势明显，并且计算能力的下降给学生的数学学习带来了一系列的影响：计算速度慢或计算易错，使得课堂学习效率大大降低;学生由于怕计算出错对学习数学兴趣不高;等等。
二、新老教材的对比
笔者把所使用的人教版义务教育课程标准试验教材（下称“新教材”）和老教材进行比较，发现新教材的计算例题有所减少。具体见下图：
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新教材中真正属于“纯笔算”教学内容的就是笔算部分的例1和例2两个例题，而在老教材中除了一般的三位数乘两位数的笔算为一个例题，相当于新教材的例1外，其中包含有因数的中间有0、因数的末尾有0、“两位数×三位数”等特殊的题型，是学生学习的难点所在，老教材会将它们再独立开设一个课时加以教学。这样一比较，除去练习的量，新教材中数学例题的课时已减少2课时，学生学习计算的时间也就相应减少了。类似的情况在新教材中并不少见，所以作为一线教师应该不受教材的束缚，而是根据班级的教学实际、出错率高的计算内容，有针对性地增加教学内容和教学时间。纵观我们的计算教学，个人觉得要适当增加的计算教学内容还有：在教学五年下册的分数加减法的内容时可增加分数和小数的加减法混合运算;在六年级上册教学分数乘法时增加分数与小数乘法的一步计算;在六年级上册还可增加分数与小数的混合运算的教学……因为这些计算内容在学生解决问题时常常用到。
三、学生计算的错误成因及对策
错误成因一：知识性错误
计算的知识性错误包括口算错误和计算方法的错误。口算错误常见的有学生在计算时容易将乘法的计算方法和加法的计算方法混淆在一起，如4 2=8、2 3=6等，都用了乘法口诀来计算加法，如图1;有的在计算时出现了口诀混乱的现象，如三六十六、六九四十五等，如图2;还有的口算错误是进位出错，如计算三位数乘两位数连续进位时，满几十就要进几，学生都很容易口算出现错误，如图3。三位数乘两位数处处要用到口诀进行计算，处处要用到口算，如计算三位数乘两位数的笔算时往往需要口算多次乘、多次加才能得到最终的结果，这么多次的口算只要有一次不小心，结果就是错。例如759×48，就需要六次乘、九次加的口算，才能得到最终的结果。计算方法的错误是指在计算过程中因方法不对而产生的计算错误。学会计算法则是学生进行计算的“标准依据”，在三位数乘两位数的计算中，学生方法出错的主要原因之一是算理不清，如图4;还有因数末尾或中间有0的乘法，对0的处理不是很清楚，也很容易出错，如图5。
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[对策]重口算，重法则
口算是学生必须掌握的一项基本功，学生的口算能力直接影响学生后续的数学学习，要引起一线数学教师高度的关注。由于现代计算器和计算机的逐步普及，逐渐影响到了小学生的口算能力，因此教师不能因为新课程对计算能力的要求降低而轻视口算。从学生计算出错的结果来看，很多学生就“栽”在了口算上。所以教师要重视口算，丝毫不能放松，建议在每堂课前都留出一点时间（三分钟左右）进行口算练习，练习的形式可以是听算、基本题的口算、视算等，内容可以是和三位数乘两位数有关联的口算，当场比赛，当场校对，评比口算前六名，以此来鼓励学生和训练学生的口算能力。在口算时，还可以教给学生一些细致的方法，如学生口算时容易忘记进过来的“几”，于是笔者和学生一起发明了连续进位记录法，这样算起来有“依据”，如图6。在笔算时进“几”及时记在旁边，用一个小小数字把每次相乘的满几十进“几”记录在旁边，注意要排列整齐，这样和下次乘得的积相加时就不容易出错或者漏加;在计算两个积相加时，如遇到满十进一，可以直接写在竖式中但也要注意写小一些，不能干扰到其他的数据，或者做一个自己能明白的记号也可以。在两积相加时，注意渗透凑整十的数学思想，如9和1先加，8和2先加，等等，如图6的第一个例子在算最后的加法时就可以凑十的先算，这样不容易错。另外要重视加强计算法则的教学，不但要关注学生经历体验过程，更要关注学生对计算法则的理解，并要求学生会用计算法则描述自己竖式的计算过程。计算法则是学生进行三位数乘两位数计算的“依据”，所以在计算后，不但让学生会做，还要让学生会说，达到能够用数学语言描述计算的过程。
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错误成因二：认知性错误
认知性错误是指学生在计算过程中因不当的思维方法和学习策略而引发的错误，从形态上分析属于过程性错误。如在教学计算因数末尾有0的乘法时，在教师引导算法多样化的面前，有些学生感到眼花缭乱，不知道该选用哪一种方法，说到底还是对于算法多样化的过分追求惹的祸。可以发现，在过分追求算法多样化的教学面前，学生绞尽脑汁思考各自的算法，教学时间也花了不少，但是最后在选择自己喜欢的算法时，还有很多学生仍旧用自己开始时的方法，对于学生的个人发展来说并没有真正的算法多样化，还是个人的算法单一化。甚至有的学生在这么多的算法面前眼花缭乱，最后不知用何方法计算，把张三和李四的方法搅在一起，所以在练习时不断出错也就不足为奇了。 [对策]明算理，练扎实
经常会听到教师说：“你还有不同的方法吗？你喜欢哪一种方法就用哪一种方法计算。”真的可以如此吗？那么简便计算的优势如何体现？笔者认为可以让学生通过对比不同的计算方法积累丰富的感性知识，但在这些感性知识中要学会抽象出数学的本质——计算的法则，并用来指导学生的计算。计算法则不一定要让学生背出来，但是要让学生知其然更要让学生知其所以然，学生会结合自己的计算过程用数学语言描述计算的整个过程。通过与学生的交流，发现有部分学生出错的原因之一就是因为受到了加法的干扰，他们还没有真正明白算理。由于笔者认为学生有基础了，所以课上的重点就没有放在理解算理上，而是放在了算法上，还可能在教学三年级的两位数乘两位数的一开始就忽略了学生对算理的理解。其实乘法计算的算理本质是“位值制、十进制”，具体的算法是“相同数位对齐，从个位乘起，用第二个因数的个位和十位分别去乘第一个因数每一位上的数，哪一位乘得的积满几十就向前一位进几，计算前一位时应该先乘后加”。教师在教学时可以制作合适的课件来辅助说明算理，数形结合、横式和竖式结合等。可能有的教师认为，花尽心思让学生理解算理有些小题大做，因为有的学生即使不理解算理也会计算，但是这样的学生是靠死记硬背获得知识的，他们没有体验到知识的形成过程，这对于学生的数学能力的培养是极其不利的。正如郑毓信教授所说：“如果我们未能实现活动的内化，包括思维中的必要重构，就根本不可能发展任何真正的数学思维。”在浙江省小学数学教学建议30条中，明确指出“一、二年级一节课要留给学生10～15分钟练的时间”，对于三位数乘两位数这样的计算课，更应该留给学生充足的练的时间，要充分处理好新授课与练习课的有机整合。在练习课中可以有针对性地巩固一种比较基本的方法，如练习计算因数末尾有0的乘法时，就要强调把0省略不乘的这种简便的竖式的书写和计算方法。特别注意的是，教师应该多关注学习能力弱的学生，把发言的机会多留给这些“弱势群体”，提高他们的计算能力，使他们保持学习数学的积极性。
错误成因三：心源性错误
心源性错误是指学生在解题过程中因不当的态度和习惯而引发的错误，从形态上分析属于意向性错误。心源性错误的表现形态：惰性心理、粗心大意、过度紧张、不够坚韧、过于自我。态度决定一切！过度的轻视心理容易导致大面积的错误，过度的畏难心理也会导致计算出错。还有一种是惰性心态，家庭作业用计算器代替了自己的笔算过程，学生的计算能力自然就下降了。
[对策]重习惯，提能力
检验是马虎的克星，要让学生养成算后认真检查验算的习惯，把检验当作计算题练习中不可或缺的重要环节。教师也应该教给学生灵活机智的验算方法，如重算法、估算法、互逆验算法等。同时针对学生的作业教师采用奖励机制，例如根据学生平时的计算练习结果用五角星来奖励：一次作业全对可加一颗星，有进步可以加一颗星，学期结束或者中期让学生用得到的五角星换成适当的虚拟人民币并举行拍卖会，这样学生会在不知不觉中认真做好每道题。其次，良好的学习习惯还包括清晰的书写。因为我校是书法特色学校，平时就非常强调学生作业的书写，每个学期会不定期抽查部分学生的作业，书写清楚漂亮、格式规范的学生作业会定期进行展出，学校有专门的展出优秀学生作业的平台，所以在这一块学生的错误率不高。但是学生对草稿纸就没有那么重视了，有的学生把草稿写在手上，有的学生打草稿是顺手牵羊，逮着什么就用什么写，书边、桌面、甚至手心等。这样的结果可想而知，错误率很高。于是笔者每个学期举行一次学生的“草稿纸”评比，展出一批优秀的草稿纸，相信对学生规范打草稿也有不小的促进作用。再者，订正是一种效果极佳的矫正性学习，要求每一位学生备一个“错题集”（建立错题集不是简单地将题目和答案抄录下来，更重要的是要在题目的下面分析出现错误的原因和预防类似错误出现的方法）。对于“错题集”还可以适当地增加一些功能，让“错误”变得更加清晰。比如，标注出“概念错误”“思路错误”“理解错误”“审题错误”等错误原因;开展学生出题活动，针对错题档案出几道易错题进行解题比赛……学生的参与热情很高，收获也很多，从而起到事半功倍的效果。
四、取得效果
经过近一年的实践活动，学生的计算能力明显提升，学习数学的积极性也很高。在本学期的期末年段过关考试中，本班学生计算出错率明显低于别的班级，取得了第一名的好成绩，更重要的是大部分学生已经养成了良好的计算习惯，如仔细审题，算后及时检验，打草稿规范有序，基本能独立自觉地建“错题集”等，相信这些学习好习惯会让学生不断进步，受益一生。
计算能力的提升是一个持续性训练和提高的过程。一线教师要不断努力，找到有效的教学方法，使学生明算理、懂算法、提技能，为学生以后更好的学习数学打下扎实的基础！
（责编 金 铃）
一、缘起
“三位数乘两位数的笔算乘法”是人教版四年级上册的内容，笔者在教学本块内容时对于本班的学生是非常有信心的，因为本班学生在一、二、三年级每个学期的计算比赛中成绩都不错，几乎都在年级段前2名，计算的基础比较扎实，又因为三年级下册两位数乘两位数的乘法笔算内容学生掌握得也不错，他们已经有一定的算理和算法的基础。所以笔者把本节课的目标定位为“理解算理，掌握算法，能正确计算三位数乘两位数”，以为定能轻松完成。结果学生交上来的作业错误率很高，并没有想象中的好。跟平行班的教师（我们学校有8个平行班）交流后发现，他们教学的学生也存在这样的情况。于是笔者对小学的计算教学的教材做了一番梳理，然后又对本校学生的计算能力做了检测，发现学生的计算能力下降趋势明显，并且计算能力的下降给学生的数学学习带来了一系列的影响：计算速度慢或计算易错，使得课堂学习效率大大降低;学生由于怕计算出错对学习数学兴趣不高;等等。
二、新老教材的对比
笔者把所使用的人教版义务教育课程标准试验教材（下称“新教材”）和老教材进行比较，发现新教材的计算例题有所减少。具体见下图：
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新教材中真正属于“纯笔算”教学内容的就是笔算部分的例1和例2两个例题，而在老教材中除了一般的三位数乘两位数的笔算为一个例题，相当于新教材的例1外，其中包含有因数的中间有0、因数的末尾有0、“两位数×三位数”等特殊的题型，是学生学习的难点所在，老教材会将它们再独立开设一个课时加以教学。这样一比较，除去练习的量，新教材中数学例题的课时已减少2课时，学生学习计算的时间也就相应减少了。类似的情况在新教材中并不少见，所以作为一线教师应该不受教材的束缚，而是根据班级的教学实际、出错率高的计算内容，有针对性地增加教学内容和教学时间。纵观我们的计算教学，个人觉得要适当增加的计算教学内容还有：在教学五年下册的分数加减法的内容时可增加分数和小数的加减法混合运算;在六年级上册教学分数乘法时增加分数与小数乘法的一步计算;在六年级上册还可增加分数与小数的混合运算的教学……因为这些计算内容在学生解决问题时常常用到。
三、学生计算的错误成因及对策
错误成因一：知识性错误
计算的知识性错误包括口算错误和计算方法的错误。口算错误常见的有学生在计算时容易将乘法的计算方法和加法的计算方法混淆在一起，如4 2=8、2 3=6等，都用了乘法口诀来计算加法，如图1;有的在计算时出现了口诀混乱的现象，如三六十六、六九四十五等，如图2;还有的口算错误是进位出错，如计算三位数乘两位数连续进位时，满几十就要进几，学生都很容易口算出现错误，如图3。三位数乘两位数处处要用到口诀进行计算，处处要用到口算，如计算三位数乘两位数的笔算时往往需要口算多次乘、多次加才能得到最终的结果，这么多次的口算只要有一次不小心，结果就是错。例如759×48，就需要六次乘、九次加的口算，才能得到最终的结果。计算方法的错误是指在计算过程中因方法不对而产生的计算错误。学会计算法则是学生进行计算的“标准依据”，在三位数乘两位数的计算中，学生方法出错的主要原因之一是算理不清，如图4;还有因数末尾或中间有0的乘法，对0的处理不是很清楚，也很容易出错，如图5。
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[对策]重口算，重法则
口算是学生必须掌握的一项基本功，学生的口算能力直接影响学生后续的数学学习，要引起一线数学教师高度的关注。由于现代计算器和计算机的逐步普及，逐渐影响到了小学生的口算能力，因此教师不能因为新课程对计算能力的要求降低而轻视口算。从学生计算出错的结果来看，很多学生就“栽”在了口算上。所以教师要重视口算，丝毫不能放松，建议在每堂课前都留出一点时间（三分钟左右）进行口算练习，练习的形式可以是听算、基本题的口算、视算等，内容可以是和三位数乘两位数有关联的口算，当场比赛，当场校对，评比口算前六名，以此来鼓励学生和训练学生的口算能力。在口算时，还可以教给学生一些细致的方法，如学生口算时容易忘记进过来的“几”，于是笔者和学生一起发明了连续进位记录法，这样算起来有“依据”，如图6。在笔算时进“几”及时记在旁边，用一个小小数字把每次相乘的满几十进“几”记录在旁边，注意要排列整齐，这样和下次乘得的积相加时就不容易出错或者漏加;在计算两个积相加时，如遇到满十进一，可以直接写在竖式中但也要注意写小一些，不能干扰到其他的数据，或者做一个自己能明白的记号也可以。在两积相加时，注意渗透凑整十的数学思想，如9和1先加，8和2先加，等等，如图6的第一个例子在算最后的加法时就可以凑十的先算，这样不容易错。另外要重视加强计算法则的教学，不但要关注学生经历体验过程，更要关注学生对计算法则的理解，并要求学生会用计算法则描述自己竖式的计算过程。计算法则是学生进行三位数乘两位数计算的“依据”，所以在计算后，不但让学生会做，还要让学生会说，达到能够用数学语言描述计算的过程。
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错误成因二：认知性错误
认知性错误是指学生在计算过程中因不当的思维方法和学习策略而引发的错误，从形态上分析属于过程性错误。如在教学计算因数末尾有0的乘法时，在教师引导算法多样化的面前，有些学生感到眼花缭乱，不知道该选用哪一种方法，说到底还是对于算法多样化的过分追求惹的祸。可以发现，在过分追求算法多样化的教学面前，学生绞尽脑汁思考各自的算法，教学时间也花了不少，但是最后在选择自己喜欢的算法时，还有很多学生仍旧用自己开始时的方法，对于学生的个人发展来说并没有真正的算法多样化，还是个人的算法单一化。甚至有的学生在这么多的算法面前眼花缭乱，最后不知用何方法计算，把张三和李四的方法搅在一起，所以在练习时不断出错也就不足为奇了。 [对策]明算理，练扎实
经常会听到教师说：“你还有不同的方法吗？你喜欢哪一种方法就用哪一种方法计算。”真的可以如此吗？那么简便计算的优势如何体现？笔者认为可以让学生通过对比不同的计算方法积累丰富的感性知识，但在这些感性知识中要学会抽象出数学的本质——计算的法则，并用来指导学生的计算。计算法则不一定要让学生背出来，但是要让学生知其然更要让学生知其所以然，学生会结合自己的计算过程用数学语言描述计算的整个过程。通过与学生的交流，发现有部分学生出错的原因之一就是因为受到了加法的干扰，他们还没有真正明白算理。由于笔者认为学生有基础了，所以课上的重点就没有放在理解算理上，而是放在了算法上，还可能在教学三年级的两位数乘两位数的一开始就忽略了学生对算理的理解。其实乘法计算的算理本质是“位值制、十进制”，具体的算法是“相同数位对齐，从个位乘起，用第二个因数的个位和十位分别去乘第一个因数每一位上的数，哪一位乘得的积满几十就向前一位进几，计算前一位时应该先乘后加”。教师在教学时可以制作合适的课件来辅助说明算理，数形结合、横式和竖式结合等。可能有的教师认为，花尽心思让学生理解算理有些小题大做，因为有的学生即使不理解算理也会计算，但是这样的学生是靠死记硬背获得知识的，他们没有体验到知识的形成过程，这对于学生的数学能力的培养是极其不利的。正如郑毓信教授所说：“如果我们未能实现活动的内化，包括思维中的必要重构，就根本不可能发展任何真正的数学思维。”在浙江省小学数学教学建议30条中，明确指出“一、二年级一节课要留给学生10～15分钟练的时间”，对于三位数乘两位数这样的计算课，更应该留给学生充足的练的时间，要充分处理好新授课与练习课的有机整合。在练习课中可以有针对性地巩固一种比较基本的方法，如练习计算因数末尾有0的乘法时，就要强调把0省略不乘的这种简便的竖式的书写和计算方法。特别注意的是，教师应该多关注学习能力弱的学生，把发言的机会多留给这些“弱势群体”，提高他们的计算能力，使他们保持学习数学的积极性。
错误成因三：心源性错误
心源性错误是指学生在解题过程中因不当的态度和习惯而引发的错误，从形态上分析属于意向性错误。心源性错误的表现形态：惰性心理、粗心大意、过度紧张、不够坚韧、过于自我。态度决定一切！过度的轻视心理容易导致大面积的错误，过度的畏难心理也会导致计算出错。还有一种是惰性心态，家庭作业用计算器代替了自己的笔算过程，学生的计算能力自然就下降了。
[对策]重习惯，提能力
检验是马虎的克星，要让学生养成算后认真检查验算的习惯，把检验当作计算题练习中不可或缺的重要环节。教师也应该教给学生灵活机智的验算方法，如重算法、估算法、互逆验算法等。同时针对学生的作业教师采用奖励机制，例如根据学生平时的计算练习结果用五角星来奖励：一次作业全对可加一颗星，有进步可以加一颗星，学期结束或者中期让学生用得到的五角星换成适当的虚拟人民币并举行拍卖会，这样学生会在不知不觉中认真做好每道题。其次，良好的学习习惯还包括清晰的书写。因为我校是书法特色学校，平时就非常强调学生作业的书写，每个学期会不定期抽查部分学生的作业，书写清楚漂亮、格式规范的学生作业会定期进行展出，学校有专门的展出优秀学生作业的平台，所以在这一块学生的错误率不高。但是学生对草稿纸就没有那么重视了，有的学生把草稿写在手上，有的学生打草稿是顺手牵羊，逮着什么就用什么写，书边、桌面、甚至手心等。这样的结果可想而知，错误率很高。于是笔者每个学期举行一次学生的“草稿纸”评比，展出一批优秀的草稿纸，相信对学生规范打草稿也有不小的促进作用。再者，订正是一种效果极佳的矫正性学习，要求每一位学生备一个“错题集”（建立错题集不是简单地将题目和答案抄录下来，更重要的是要在题目的下面分析出现错误的原因和预防类似错误出现的方法）。对于“错题集”还可以适当地增加一些功能，让“错误”变得更加清晰。比如，标注出“概念错误”“思路错误”“理解错误”“审题错误”等错误原因;开展学生出题活动，针对错题档案出几道易错题进行解题比赛……学生的参与热情很高，收获也很多，从而起到事半功倍的效果。
四、取得效果
经过近一年的实践活动，学生的计算能力明显提升，学习数学的积极性也很高。在本学期的期末年段过关考试中，本班学生计算出错率明显低于别的班级，取得了第一名的好成绩，更重要的是大部分学生已经养成了良好的计算习惯，如仔细审题，算后及时检验，打草稿规范有序，基本能独立自觉地建“错题集”等，相信这些学习好习惯会让学生不断进步，受益一生。
计算能力的提升是一个持续性训练和提高的过程。一线教师要不断努力，找到有效的教学方法，使学生明算理、懂算法、提技能，为学生以后更好的学习数学打下扎实的基础！
（责编 金 铃）