论文部分内容阅读
一、立几教学中模型的作用
1.用于引进学习立体几何的方法和意义
立体几何的第一节课，我一改以往平铺直叙地介绍概念及公理体系的做法，一开始就让学生准备常见的玩具“游戏棒”与“橡皮泥”，用来制作立体几何的教学模型，从而提高了学生学习兴趣和动手能力，收到了较好的教学效果.
先做一个“游戏”：
“用6根等长的游戏棒能不能拼成4个全等的正三角形?”由于学生的思考范围还囿于平面几何，较难完成.这时，我引导学生先用三根在桌上拼成一个正三角形ABC，剩下三根一端分别放在A，B，C三点，另一端在空间，汇合于一点D即成.这一看似很“轻松”的汇合，无声地告诉了学生学习立体几何必须要有空间的概念.
2.用于概念的引入和深化
例1．“斜线在平面上的射影及直线和平面所成的角”的概念教学.
取一张硬纸片，用一根红色“游戏棒”穿过硬纸片上C点（如图1），在该游戏棒上任找一点A，用橡皮泥固定A点，用另一根黄色游戏棒穿过A与硬纸片垂直（不穿透）.再用一根与BC一样长的绿色游戏棒，固定在B，C两端之间.这样，针对各种颜色的游戏棒指出表示什么线、什么角，进而引出概念.然后，将游戏棒AC绕C点旋转，使AB长度不变，B移到B′点，经过几次“旋转”，便可得到课本第26页的定理的三个结果.
3.用于定理（结论）的归纳、证明
例2.“三垂线定理”的教学.
我让学生在课前用游戏棒与硬纸片做好如图2的模型，上课时不着急直接给出三垂线定理，而让学生用一根游戏棒放在平面 内（图3中的a），使该游戏棒与AB垂直.然后提问：“a与PB是何种位置关系？所成的角是多少度？”让学生思考几分钟后，引导学生在B点处再放一根棒a′与a平行，（可用B点的橡皮泥固定），用三角板的直角去测a′与BP两根棒所成的角.这样，学生从感性上认识到BP与a′垂直再到BP与a垂直，从而引导学生总结归纳出“三垂线定理”及证明.证明之后，再让学生在平面 上平移a，观察其他几种图形，得出“三垂线定理”图形的其他情形，拓宽学生的思路.
4.用于侧面面积公式的推证
例3.“正棱锥侧面面积”的教学.
让学生做一个正五棱锥（如图4），其中PA用两根游戏棒合在一起.上课后让学生将A点处的橡皮泥分开，展放在一个平面上（如图5），其展开图的面积，就是棱锥的侧面积，它由五个全等等腰三角形组成.故求其中一个等腰三角形的面积，再乘以5就得棱锥的侧面积.得到公式后，再让学生将展开图恢复到棱锥，加以比较，总结规律，为今后求棱台的侧面积打下基础.
二、构造立体模型解决其他学科分支问题
对某些代数、三角题，我们可从“条件”与“结论”的特征入手，联想与之有关的立体几何知识，构造立体模型，然后由几何体的性质，得到解题途径，构造立体模型法是立体几何知识的逆用，属于逆向思维方法．
【证明】如图，在三棱锥P-ABC中，PA=a，PB=b，PC=c，∠APB=∠BPC=∠CPA=60°，则
在△ABC中，∵AB+BC＞AC，
【点评】本例若用代数法就难以入手，而用构造立体模型法就易如反掌．
例2、已知α、β、γ都是锐角，且cos2α+cos2β+cos2γ=1．求
【分析】由已知条件可以联想到长方体的一个性质：若长方体的一条对角线与从它的一个端点出发的三条棱的夹角分别为α、β、γ，则cos2α+cos2β+cos2γ=1．因此，可作一个长方体，使它的一条对角线与从这条对角线的一个端点出发的三条棱所成角为α、β、γ，然后用锐角正切的定义，把tgα、tgβ、tgγ表示成三条棱长的代数式，用代数不等式知识去证．
【证明】如图2-27，作长方体A1B1C1D1-ABCD，使∠B1BD1=α，∠A1B1D=β，则由长方体的性质，得cos2α+cos2β+cos2∠D1BC=1．
1.用于引进学习立体几何的方法和意义
立体几何的第一节课，我一改以往平铺直叙地介绍概念及公理体系的做法，一开始就让学生准备常见的玩具“游戏棒”与“橡皮泥”，用来制作立体几何的教学模型，从而提高了学生学习兴趣和动手能力，收到了较好的教学效果.
先做一个“游戏”：
“用6根等长的游戏棒能不能拼成4个全等的正三角形?”由于学生的思考范围还囿于平面几何，较难完成.这时，我引导学生先用三根在桌上拼成一个正三角形ABC，剩下三根一端分别放在A，B，C三点，另一端在空间，汇合于一点D即成.这一看似很“轻松”的汇合，无声地告诉了学生学习立体几何必须要有空间的概念.
2.用于概念的引入和深化
例1．“斜线在平面上的射影及直线和平面所成的角”的概念教学.
取一张硬纸片，用一根红色“游戏棒”穿过硬纸片上C点（如图1），在该游戏棒上任找一点A，用橡皮泥固定A点，用另一根黄色游戏棒穿过A与硬纸片垂直（不穿透）.再用一根与BC一样长的绿色游戏棒，固定在B，C两端之间.这样，针对各种颜色的游戏棒指出表示什么线、什么角，进而引出概念.然后，将游戏棒AC绕C点旋转，使AB长度不变，B移到B′点，经过几次“旋转”，便可得到课本第26页的定理的三个结果.
3.用于定理（结论）的归纳、证明
例2.“三垂线定理”的教学.
我让学生在课前用游戏棒与硬纸片做好如图2的模型，上课时不着急直接给出三垂线定理，而让学生用一根游戏棒放在平面 内（图3中的a），使该游戏棒与AB垂直.然后提问：“a与PB是何种位置关系？所成的角是多少度？”让学生思考几分钟后，引导学生在B点处再放一根棒a′与a平行，（可用B点的橡皮泥固定），用三角板的直角去测a′与BP两根棒所成的角.这样，学生从感性上认识到BP与a′垂直再到BP与a垂直，从而引导学生总结归纳出“三垂线定理”及证明.证明之后，再让学生在平面 上平移a，观察其他几种图形，得出“三垂线定理”图形的其他情形，拓宽学生的思路.
4.用于侧面面积公式的推证
例3.“正棱锥侧面面积”的教学.
让学生做一个正五棱锥（如图4），其中PA用两根游戏棒合在一起.上课后让学生将A点处的橡皮泥分开，展放在一个平面上（如图5），其展开图的面积，就是棱锥的侧面积，它由五个全等等腰三角形组成.故求其中一个等腰三角形的面积，再乘以5就得棱锥的侧面积.得到公式后，再让学生将展开图恢复到棱锥，加以比较，总结规律，为今后求棱台的侧面积打下基础.
二、构造立体模型解决其他学科分支问题
对某些代数、三角题，我们可从“条件”与“结论”的特征入手，联想与之有关的立体几何知识，构造立体模型，然后由几何体的性质，得到解题途径，构造立体模型法是立体几何知识的逆用，属于逆向思维方法．
【证明】如图，在三棱锥P-ABC中，PA=a，PB=b，PC=c，∠APB=∠BPC=∠CPA=60°，则
在△ABC中，∵AB+BC＞AC，
【点评】本例若用代数法就难以入手，而用构造立体模型法就易如反掌．
例2、已知α、β、γ都是锐角，且cos2α+cos2β+cos2γ=1．求
【分析】由已知条件可以联想到长方体的一个性质：若长方体的一条对角线与从它的一个端点出发的三条棱的夹角分别为α、β、γ，则cos2α+cos2β+cos2γ=1．因此，可作一个长方体，使它的一条对角线与从这条对角线的一个端点出发的三条棱所成角为α、β、γ，然后用锐角正切的定义，把tgα、tgβ、tgγ表示成三条棱长的代数式，用代数不等式知识去证．
【证明】如图2-27，作长方体A1B1C1D1-ABCD，使∠B1BD1=α，∠A1B1D=β，则由长方体的性质，得cos2α+cos2β+cos2∠D1BC=1．