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摘 要：自然科学，特别是数学中的新发现大都是从猜想、估计开始的，这些猜想经过大量实践验证，再经过严密的论证推理，获得定律、定理等理论.猜想是对研究的对象或问题进行观察、实验、分析、比较、联想、类比、归纳等，依据已有的材料和知识作出符合一定的经验与事实的推测性想象的思维形式。数学猜想是数学研究的一个科学方法，也是数学发展的一种重要形式。
关键词：数学猜想；合情推理；论证推理
一、定义
数学中，从推理的结果来区分，有论证式推理和推测式推理.前者通常叫证明，所得结论是可靠的；后者所得的结论是不能最终肯定的，只能叫猜想或假设.前一种推理又称论证推理，后一种推理又称合情推理或似真推理.
数学被人们看作是一门论证科学.然而这仅仅是它的一个方面.以最后确定的形式出现的定型的数字；好像是仅含证明的纯论证性的材料.然而，数学的创造过程是与任何其他知识的创作过程一样.在证明一个数学定理之前，你先得猜测这个定理的内容；在你完全做出详细证明之前，你先推测证明的思路，你先得把观察到的结果加以综合然后加以类比，得一次又一次地进行尝试.数学家创造性工作的成果是论证推理，即证明，但是这个证明是通过合情推理，通过猜想而发现的.数学事实首先是被猜想，然后是被证实，猜想与证明是两个彼此联系的环节，缺一不可，这就是所谓“言之成理，持之有据”。
可见，猜想方法是根据某些已知的事实材料和数学知识，通过理论思维的能动作用，对未知量及其关系所做出的一种猜测的推断科学方法。
二、猜想的重要形式
在数学发展的历史上，曾经有过许多著名的猜想，如歌德巴赫猜想、费马猜想、欧拉猜想（36名军官问题）、黎曼猜想、比勃巴赫猜想和四色猜想等。这些猜想，有的经过长期努力得到了证明，那么猜想是怎样在某些事实的基础上，借助于逻辑思维而逐步形成的呢？这主要是在观察和比较的基础上通过归纳和类比形成的。高斯说他的许多发现都是靠归纳法取得的，拉普拉斯说，在数学里，发现直理的主要工具也是归纳与类比。
（一）由归纳方法提出的猜想
这是指运用归纳法，对研究对象或问题从一定数量的個例、特性上进行观察、分析，从而得出有关命题的形式、结论或方法的猜想。
如：观察下列关系式
12=3×4 1122=33×34
111222=333×444……
猜想
=
（二）由类比而产生的猜想
运用类比的方法，比较两个对象或问题的想似性，可以得出数学新命题或新方法的猜想。
如：x∈R，y∈R，x2+y2≥2xy
类比到三元：猜想：x∈R，y∈R，z∈R，x3+y2+z2≥3xyz.
类比到n元：猜想：xi∈R，i=1，2……n，
（三）由直观而产生的猜想
一张地图，为了区别相邻的区域或国家，需要用不同的颜色，那么一张地图究竟需要几种颜色呢？这就是由直观而产生的著名“四色猜想”，即对任何地图来说，只要四种颜色就可以了，但这未被证明，只是在直观基础上形成的一个猜想。
三、数学研究中的猜想方法
数学常被看成是一门系统的演绎科学，在数学研究中往往完全集中于严密的论证，以培养逻辑演绎能力，这种倾向具有很大的片面性，其实从数学的形成过程看，它更像是一门经验性的归纳科学，把目光放得更广些，严格地说，除数学和论证逻辑（其实它也是数学的一个分支）外，所有的知识都是由一些猜想所构成的。如果想培养自己具有全面的数学素质，这种素质是使自己去迎接21世纪的挑战的话，那么在数学解题教学中，应该认识到，发现和创新比命题的严格论证更重要，因为前者标志着人的创造力，意味着人在复杂的现象面前是否具有足够的主观动性去发现真理，发现通向真理的道路，而后者从某种意义上说仅仅是一个时间问题，在数学研究中有必要给猜想以足够的重视，波利亚说：“数学家的创造性工作成果是论证推理，即证明；但是这个证明是通过合情推理，通过猜想而发现的，只要数学的学习过程稍能反映出数学的发明过程的话，那么就应当让猜测、合情推理占有适当的位置，数学猜想是数学研究的一个科学方法，也是数学发展史的一种重要形式。”
（一）通过猜想，探求问题的结果
某些数学问题，其结论未经直接给出，这就需要我们去探求，恰当地通过归纳或类比，根据一定数量的事实建立猜想，常常能较快地找到结论。
如：试证明具有下列形式的数是两个连续整数的乘积：Nn= 对于这个问题，我们很自然地取几个较简单的数加以观察：
当n=1时，N1=12=3×4；当n=2时，N2=1122=33×34；当n=3时，N3=111222=333×334……
通过归纳，得到猜想：
Nn=
证明：
可见，以上猜想是正确的。
再如：已知，，
且
试证：数列或者对任意自然数n都满足，或者对任意自然数n都满足。
本题的结论并不明确，直接证明不易，不妨先就数列的前两项作一试验。
当n=1时，有
于是，不难得到：
若，则；
若，则；于是，猜想：
若，则；
若，则；
一般地，有
由于，由数列到的定义可知：
所以与的符号相同，于是本题只要根据下列分类加以证明：
（1）当时，证明；
（2）当时，证明
而这是容易通过数学归纳实现的。
（二）通过猜想，探索解题的方法
当面临一个生疏的或是非常规的数学问题时，数学能力较低往往表现一种肓目而没有目标的运算及胡乱而无系统的求解企图，而數学能力较强则总是进行有目的，系统的尝试，并作出有利于证实结论的策略的假设，在研究数学问题时，首先通过直觉和想象，运用归纳、类比等方法，对解题方法形成猜想，这是数学研究中必须遵循的一条规则。 如，已知，求证：。
本题如果企图从已知条件中导出用两个字母（如b、c）表示第三个字母（如a）的显式，然后通过代入法证明，这显然是行不通的，让我们来观察题目信息中具有的特点，我们会发现：无论是已知关系式，或是所要求证明的关系式，都是关于a、b、c的轮换式，因为如果将已知条件化为：
①
那么，此式的左边的因式也必然是关于的轮换式，不妨考虑一次的，三次的、等，稍经尝试，就会发现及是不大可能的，那么是可能的因式吗？考虑到=0，中有两互为相反数，在这种情况下，所求证的结论成立.因此将①式变形为②式K=0是关于解决本题的方法的一个合理的猜想，事实上，①式变形的结果就是K=1时的②式，于是本题就迎刃而解。
（三）通过猜想，发现新的命题
在数学研究中，运用归纳，类比等方法，通过猜想去发现新的命题，如果所发现的命题未被否定，最终证明是正确的，那么，这个命题就成为“定理”。
如考虑以下定理：
已知ΔABC，则 ①
这个定理的证明过程是：
∵，
∴
通过类比，猜想：已知四边形ABCD，
则 ②……
由①，②，通过归纳，猜想：已知n边形A1A2……An，
則 ③
可以证明②、③都是正确的，由②再作类比，得到猜想：已知ΔABC，则 ④
由①，④，通过归纳，再得猜想：
已知ΔABC，则⑤
猜想：④，⑤也都是正确的，综合③与⑤，还可进一步提出猜想：
已知为n边形，则
再如：考虑定理：在平面内，若两条直线平行于第三条直线，则这两条直线平行。
试通过升维类比，将直线（一部分或全部）对应地变为空间的平面，提出猜想，建立新的命题，并确定这些命题的真假性。
将一部分或全部平面内的直线升维为空间的平面，可以得到以下六个立体几何新命题：
（1）若两条直线平行于第三条直线，则这两条直线平行（真命题）。
（2）若一条直线平行于另一条直线以及一个平面，则另一条直线与这个平面平行（真命题）。但必须添加已知条件：另一条直线不在平面内。
（3）若一条直线平行于两个平面，则这两个平面平行（假命题）。
（4）若一个平面平行于两条直线，则这两条直线平行，（假命题）。
（真命题，但必须添加已知条件：这条直线不在另一平面内）。
（5）若两个平面平行于第三个平面，则这两个平面平行（真命题）。
四、优、缺点
（1）有些猜想是不正确的。
（2）猜想要经过大量实践验证，再经过严密的论证推理，才能获得结论。
（3）猜想能夠发现新命题。
（4）猜想能够找到解题方向。
参考文献：
[1]G.波利亚著.数学与猜想[M].北京：科学出版社，1984.128.
[2]戴再平著.数学方法与解题研究[M].北京：高等教育出版社，1996.65-68.
[3]任樟辉著.数学思维论[M].南宁：广西教育出版社，1984.28-30.
[4]姜启源著.数学模型[M].北京：高等教育出版社，1993.48.
[5]丘瑞立，邹泽民著.中学数学方法论[M].南宁：广西教育出版社1999.56.
作者简介：
杨朝东（1976—），男，汉族，广西钦州市灵山县人，灵山县沙坪中学教师，研究方向：教育研究性学术文章。
关键词：数学猜想；合情推理；论证推理
一、定义
数学中，从推理的结果来区分，有论证式推理和推测式推理.前者通常叫证明，所得结论是可靠的；后者所得的结论是不能最终肯定的，只能叫猜想或假设.前一种推理又称论证推理，后一种推理又称合情推理或似真推理.
数学被人们看作是一门论证科学.然而这仅仅是它的一个方面.以最后确定的形式出现的定型的数字；好像是仅含证明的纯论证性的材料.然而，数学的创造过程是与任何其他知识的创作过程一样.在证明一个数学定理之前，你先得猜测这个定理的内容；在你完全做出详细证明之前，你先推测证明的思路，你先得把观察到的结果加以综合然后加以类比，得一次又一次地进行尝试.数学家创造性工作的成果是论证推理，即证明，但是这个证明是通过合情推理，通过猜想而发现的.数学事实首先是被猜想，然后是被证实，猜想与证明是两个彼此联系的环节，缺一不可，这就是所谓“言之成理，持之有据”。
可见，猜想方法是根据某些已知的事实材料和数学知识，通过理论思维的能动作用，对未知量及其关系所做出的一种猜测的推断科学方法。
二、猜想的重要形式
在数学发展的历史上，曾经有过许多著名的猜想，如歌德巴赫猜想、费马猜想、欧拉猜想（36名军官问题）、黎曼猜想、比勃巴赫猜想和四色猜想等。这些猜想，有的经过长期努力得到了证明，那么猜想是怎样在某些事实的基础上，借助于逻辑思维而逐步形成的呢？这主要是在观察和比较的基础上通过归纳和类比形成的。高斯说他的许多发现都是靠归纳法取得的，拉普拉斯说，在数学里，发现直理的主要工具也是归纳与类比。
（一）由归纳方法提出的猜想
这是指运用归纳法，对研究对象或问题从一定数量的個例、特性上进行观察、分析，从而得出有关命题的形式、结论或方法的猜想。
如：观察下列关系式
12=3×4 1122=33×34
111222=333×444……
猜想
=
（二）由类比而产生的猜想
运用类比的方法，比较两个对象或问题的想似性，可以得出数学新命题或新方法的猜想。
如：x∈R，y∈R，x2+y2≥2xy
类比到三元：猜想：x∈R，y∈R，z∈R，x3+y2+z2≥3xyz.
类比到n元：猜想：xi∈R，i=1，2……n，
（三）由直观而产生的猜想
一张地图，为了区别相邻的区域或国家，需要用不同的颜色，那么一张地图究竟需要几种颜色呢？这就是由直观而产生的著名“四色猜想”，即对任何地图来说，只要四种颜色就可以了，但这未被证明，只是在直观基础上形成的一个猜想。
三、数学研究中的猜想方法
数学常被看成是一门系统的演绎科学，在数学研究中往往完全集中于严密的论证，以培养逻辑演绎能力，这种倾向具有很大的片面性，其实从数学的形成过程看，它更像是一门经验性的归纳科学，把目光放得更广些，严格地说，除数学和论证逻辑（其实它也是数学的一个分支）外，所有的知识都是由一些猜想所构成的。如果想培养自己具有全面的数学素质，这种素质是使自己去迎接21世纪的挑战的话，那么在数学解题教学中，应该认识到，发现和创新比命题的严格论证更重要，因为前者标志着人的创造力，意味着人在复杂的现象面前是否具有足够的主观动性去发现真理，发现通向真理的道路，而后者从某种意义上说仅仅是一个时间问题，在数学研究中有必要给猜想以足够的重视，波利亚说：“数学家的创造性工作成果是论证推理，即证明；但是这个证明是通过合情推理，通过猜想而发现的，只要数学的学习过程稍能反映出数学的发明过程的话，那么就应当让猜测、合情推理占有适当的位置，数学猜想是数学研究的一个科学方法，也是数学发展史的一种重要形式。”
（一）通过猜想，探求问题的结果
某些数学问题，其结论未经直接给出，这就需要我们去探求，恰当地通过归纳或类比，根据一定数量的事实建立猜想，常常能较快地找到结论。
如：试证明具有下列形式的数是两个连续整数的乘积：Nn= 对于这个问题，我们很自然地取几个较简单的数加以观察：
当n=1时，N1=12=3×4；当n=2时，N2=1122=33×34；当n=3时，N3=111222=333×334……
通过归纳，得到猜想：
Nn=
证明：
可见，以上猜想是正确的。
再如：已知，，
且
试证：数列或者对任意自然数n都满足，或者对任意自然数n都满足。
本题的结论并不明确，直接证明不易，不妨先就数列的前两项作一试验。
当n=1时，有
于是，不难得到：
若，则；
若，则；于是，猜想：
若，则；
若，则；
一般地，有
由于，由数列到的定义可知：
所以与的符号相同，于是本题只要根据下列分类加以证明：
（1）当时，证明；
（2）当时，证明
而这是容易通过数学归纳实现的。
（二）通过猜想，探索解题的方法
当面临一个生疏的或是非常规的数学问题时，数学能力较低往往表现一种肓目而没有目标的运算及胡乱而无系统的求解企图，而數学能力较强则总是进行有目的，系统的尝试，并作出有利于证实结论的策略的假设，在研究数学问题时，首先通过直觉和想象，运用归纳、类比等方法，对解题方法形成猜想，这是数学研究中必须遵循的一条规则。 如，已知，求证：。
本题如果企图从已知条件中导出用两个字母（如b、c）表示第三个字母（如a）的显式，然后通过代入法证明，这显然是行不通的，让我们来观察题目信息中具有的特点，我们会发现：无论是已知关系式，或是所要求证明的关系式，都是关于a、b、c的轮换式，因为如果将已知条件化为：
①
那么，此式的左边的因式也必然是关于的轮换式，不妨考虑一次的，三次的、等，稍经尝试，就会发现及是不大可能的，那么是可能的因式吗？考虑到=0，中有两互为相反数，在这种情况下，所求证的结论成立.因此将①式变形为②式K=0是关于解决本题的方法的一个合理的猜想，事实上，①式变形的结果就是K=1时的②式，于是本题就迎刃而解。
（三）通过猜想，发现新的命题
在数学研究中，运用归纳，类比等方法，通过猜想去发现新的命题，如果所发现的命题未被否定，最终证明是正确的，那么，这个命题就成为“定理”。
如考虑以下定理：
已知ΔABC，则 ①
这个定理的证明过程是：
∵，
∴
通过类比，猜想：已知四边形ABCD，
则 ②……
由①，②，通过归纳，猜想：已知n边形A1A2……An，
則 ③
可以证明②、③都是正确的，由②再作类比，得到猜想：已知ΔABC，则 ④
由①，④，通过归纳，再得猜想：
已知ΔABC，则⑤
猜想：④，⑤也都是正确的，综合③与⑤，还可进一步提出猜想：
已知为n边形，则
再如：考虑定理：在平面内，若两条直线平行于第三条直线，则这两条直线平行。
试通过升维类比，将直线（一部分或全部）对应地变为空间的平面，提出猜想，建立新的命题，并确定这些命题的真假性。
将一部分或全部平面内的直线升维为空间的平面，可以得到以下六个立体几何新命题：
（1）若两条直线平行于第三条直线，则这两条直线平行（真命题）。
（2）若一条直线平行于另一条直线以及一个平面，则另一条直线与这个平面平行（真命题）。但必须添加已知条件：另一条直线不在平面内。
（3）若一条直线平行于两个平面，则这两个平面平行（假命题）。
（4）若一个平面平行于两条直线，则这两条直线平行，（假命题）。
（真命题，但必须添加已知条件：这条直线不在另一平面内）。
（5）若两个平面平行于第三个平面，则这两个平面平行（真命题）。
四、优、缺点
（1）有些猜想是不正确的。
（2）猜想要经过大量实践验证，再经过严密的论证推理，才能获得结论。
（3）猜想能夠发现新命题。
（4）猜想能够找到解题方向。
参考文献：
[1]G.波利亚著.数学与猜想[M].北京：科学出版社，1984.128.
[2]戴再平著.数学方法与解题研究[M].北京：高等教育出版社，1996.65-68.
[3]任樟辉著.数学思维论[M].南宁：广西教育出版社，1984.28-30.
[4]姜启源著.数学模型[M].北京：高等教育出版社，1993.48.
[5]丘瑞立，邹泽民著.中学数学方法论[M].南宁：广西教育出版社1999.56.
作者简介：
杨朝东（1976—），男，汉族，广西钦州市灵山县人，灵山县沙坪中学教师，研究方向：教育研究性学术文章。