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[摘要] 在实际应用中，人们常常基于季节调整数据做单位根及协整检验。他们认为季节调整剔除了季节相关性并且不会产生任何副作用，但是实际情况并非如此。本文针对X-12-ARIMA季节调整程序从理论和应用的角度阐述季节调整方法对单位根及协整检验的影响。以日本的消费和收入数据为例，对ADF方法、PP方法和HEGY方法的检验结果进行了对比。
[关键词] 季节调整 单位根 协整
一、X-12季节调整的基本原理
二十世纪以来，随着经济统计信息在收集及发布上的增长及系统化，大量的工作致力于构建季节调整方法来剔除经济时间序列中的季节性。季节调整方法基于构成因素分解剔除原始数据中季节性因素，美国的X-11程序以及它的升级版本X-12-ARIMA程序使用最为广泛。
在这些季节调整程序中，经济时间序列常常被分解为几个相互正交的构成因素：趋势-循环因素、季节因素和不规则因素。常用的是下面四类模型:乘法模型;加法模型;对数加法模型;拟加法模型。在乘法模型中，假定时间序列由趋势项-循环、季节因素以及不规则因素组成，即
（1）
其中，、和分别表示趋势项-循环（经济周期）、季节因素以及不规则因素。X-12-ARIMA季节调整程序的处理过程大体可以分为建模、季节调整和诊断三个阶段[参见Findley等(1998)]。基于移动平均法，X-12-ARIMA通过几次迭代对数据进行分解，每一次对组成因子的估算都进一步精化。根据各种季节调整的目的，可以选择不同的计算方式，在计算过程中可根据数据中随机因素的大小，采用不同长度的移动平均。在不做选择的情况下，也能根据事先编入的统计基准，按数据的特征自动选择默认的计算方式。
已有大量的文献主要是对季节调整的原理、滤子的形式和性能等进行研究，随着对季节单位根、协整研究的不断深入，季节调整对序列的单位根和协整检验会产生怎样的影响引起越来越多的关注。
二、对单位根检验的影响
在默认选项下，X-11季节调整滤子近似等价于一个线性滤子[Young(1968),Ghysels等(1996)]。假定用一个已知线性滤子对数据进行滤波，定义 (T+1)×(T+k+l+1)滤子矩阵F如下
（2）
其中是双边滤子的权数。通过矩阵F将一个样本容量为T+k+l+1的数据集过滤为一个有T+1个观测值的数据集。对于数据定义滤波后的数据集和滤波前的数据集yU=Uy，其中。
假若滤子是一个对称的双边滤子(v-i=vi）并且 ，则它满足:（1)关于常数和时间趋势具有不变性；（2）当其滤子矩阵F作用于季节哑变量后，将得到一个常数矩阵，元素为季节均值之和。将滤子表示为滞后算子的多项式，有。从而，v(1)=1的对称滤子可以消除序列中确定性季节因素的影响。
我们考虑如下回归估计式
yt=ayt-1+εt（3）
（未）过滤数据的自回归参数估计量为
i=U或F （4）
1.数据生成过程为单位根过程
如果数据生成过程为
yt=yt-1+zt（5）
其中是一个平稳可逆（允许具有季节性）的ARMA过程。从而，有
yFt-1=v(L)yt-1+v(L)zt=yFt-1+ωt（6）
其中，是一个平稳可逆的ARMA过程。则当时，有（依概率收敛）。由(6)式有，
从而
同理，[参见Phillips(1986)]。可见，当数据生成过程含有单位根时，随着样本容量增加，估计量与均收敛于1。因此，采用过滤后的数据进行估计不会产生渐近偏差。
虽然统计量T(－1)与T(－1)的极限分布不同，这是因为变换后的误差项相关结构与变换前是不同的，并且扰动过程zt与wt的方差也是不同的。但是采用过滤前和过滤后数据所得的Dickey-Fuller和Phillips-Perron 统计量的渐近分布是相同的[见Fuller（1996）]，这是因为，扰动过程zt与wt均满足（对其部分和）应用泛函中心极限定理的各种条件；在这两个统计量计算过程中均对误差的结构进行了修正从而有效地消除了渐近分布对误差的相关性的依赖[参见Phillips（1986），Phillips和Perron（1988）等]。
单位根检验统计量的渐近分布不受数据是否被过滤的影响，并非意味着单位根检验统计量的有限样本分布也不受影响。Ghysels和Perron（1993）的拟合结果表明，采用过滤前和过滤后数据所得的单位根检验统计量的有限样本分布可能完全不同。这种偏倚在单位根检验中具有实际意义。当原始数据的季节滞后项之间具有相关性时，若采用X-11滤子，则除非自回归模型的阶数不小于季节周期，否则回归系数的偏移是固有的。当滞后阶数小于季节周期时，尽管季节调整（可能不完全）排除了数据在季节频率上的自相关，但是它在自相关函数中产生了一个（不会渐近消失的）偏倚。对于Dickey-Fuller类单位根检验，为了避免统计量的偏移，自回归式的阶数至少与季节周期一样长。因此，数据的季节调整并不能容许自回归阶数的降低。由于使用季节调整后数据进行单位根检验时需要自回归阶数至少与季节周期一样长，因此有理由预期根据原始数据进行单位根检验的功效要大于使用季节调整后数据时单位根检验的功效。实际上，在绝大多数基于季节调整数据所做的Dickey-Fuller（1981）检验中，并未遵循这一规则。他们认为季节调整剔除了季节性相关性并且不会产生任何副作用，而采用了较短的滞后阶数。这样做的结果使得单位根检验的功效降低。
2.数据生成过程为平稳ARMA过程
当过程yt是一个平稳可逆的ARMA过程时，回归式 (3)中参数的估计的极限
（7）
其中为过程yt的滞后j期的自协方差。对于过滤后的数据，同理有
（8）
令m表示对称多项式v(L)的阶数，则有
（9）
将的渐近偏倚记作，利用(7)式—(8)式可得
（10）
当给定原始序列yt的协方差结构时，我们可以通过(10)式计算 的渐近偏倚。Ghysel 和Perron(1993)证明在线性X-11滤子情形下检验统计量发生渐近偏倚，并且这种偏倚是正的，即 的极限大于 的极限。这种向上的偏移使得采用滤波后数据进行单位根检验的检验功效降低。
Ericsson, Hendry 和Tran(1994)证明当对称双边滤子的权和为1时，滤波对协整关系没有影响，而且检验统计量的渐近分布也不发生改变。此结果不仅适用于单方程协整方法而且可以推广至向量协整方法。上述结论是渐近成立的，在实际应用中小样本下滤波可能对协整检验产生严重影响。Ericsson等（1994）在对英国货币需求方程的实证研究中，证实了这种现象的确存在。
参考文献:
[1]Dickey, D.A. and W.A. Fuller(1981), “Likelihood Ratio Statistics for Autoregressive Time Series with a Unit Root,” Econometrica 49,1057～1072
[2]Fuller, W. A. (1996), Introduction to Statistical Time Series, New Yoke: Whey 2nd ed
[关键词] 季节调整 单位根 协整
一、X-12季节调整的基本原理
二十世纪以来，随着经济统计信息在收集及发布上的增长及系统化，大量的工作致力于构建季节调整方法来剔除经济时间序列中的季节性。季节调整方法基于构成因素分解剔除原始数据中季节性因素，美国的X-11程序以及它的升级版本X-12-ARIMA程序使用最为广泛。
在这些季节调整程序中，经济时间序列常常被分解为几个相互正交的构成因素：趋势-循环因素、季节因素和不规则因素。常用的是下面四类模型:乘法模型;加法模型;对数加法模型;拟加法模型。在乘法模型中，假定时间序列由趋势项-循环、季节因素以及不规则因素组成，即
（1）
其中，、和分别表示趋势项-循环（经济周期）、季节因素以及不规则因素。X-12-ARIMA季节调整程序的处理过程大体可以分为建模、季节调整和诊断三个阶段[参见Findley等(1998)]。基于移动平均法，X-12-ARIMA通过几次迭代对数据进行分解，每一次对组成因子的估算都进一步精化。根据各种季节调整的目的，可以选择不同的计算方式，在计算过程中可根据数据中随机因素的大小，采用不同长度的移动平均。在不做选择的情况下，也能根据事先编入的统计基准，按数据的特征自动选择默认的计算方式。
已有大量的文献主要是对季节调整的原理、滤子的形式和性能等进行研究，随着对季节单位根、协整研究的不断深入，季节调整对序列的单位根和协整检验会产生怎样的影响引起越来越多的关注。
二、对单位根检验的影响
在默认选项下，X-11季节调整滤子近似等价于一个线性滤子[Young(1968),Ghysels等(1996)]。假定用一个已知线性滤子对数据进行滤波，定义 (T+1)×(T+k+l+1)滤子矩阵F如下
（2）
其中是双边滤子的权数。通过矩阵F将一个样本容量为T+k+l+1的数据集过滤为一个有T+1个观测值的数据集。对于数据定义滤波后的数据集和滤波前的数据集yU=Uy，其中。
假若滤子是一个对称的双边滤子(v-i=vi）并且 ，则它满足:（1)关于常数和时间趋势具有不变性；（2）当其滤子矩阵F作用于季节哑变量后，将得到一个常数矩阵，元素为季节均值之和。将滤子表示为滞后算子的多项式，有。从而，v(1)=1的对称滤子可以消除序列中确定性季节因素的影响。
我们考虑如下回归估计式
yt=ayt-1+εt（3）
（未）过滤数据的自回归参数估计量为
i=U或F （4）
1.数据生成过程为单位根过程
如果数据生成过程为
yt=yt-1+zt（5）
其中是一个平稳可逆（允许具有季节性）的ARMA过程。从而，有
yFt-1=v(L)yt-1+v(L)zt=yFt-1+ωt（6）
其中，是一个平稳可逆的ARMA过程。则当时，有（依概率收敛）。由(6)式有，
从而
同理，[参见Phillips(1986)]。可见，当数据生成过程含有单位根时，随着样本容量增加，估计量与均收敛于1。因此，采用过滤后的数据进行估计不会产生渐近偏差。
虽然统计量T(－1)与T(－1)的极限分布不同，这是因为变换后的误差项相关结构与变换前是不同的，并且扰动过程zt与wt的方差也是不同的。但是采用过滤前和过滤后数据所得的Dickey-Fuller和Phillips-Perron 统计量的渐近分布是相同的[见Fuller（1996）]，这是因为，扰动过程zt与wt均满足（对其部分和）应用泛函中心极限定理的各种条件；在这两个统计量计算过程中均对误差的结构进行了修正从而有效地消除了渐近分布对误差的相关性的依赖[参见Phillips（1986），Phillips和Perron（1988）等]。
单位根检验统计量的渐近分布不受数据是否被过滤的影响，并非意味着单位根检验统计量的有限样本分布也不受影响。Ghysels和Perron（1993）的拟合结果表明，采用过滤前和过滤后数据所得的单位根检验统计量的有限样本分布可能完全不同。这种偏倚在单位根检验中具有实际意义。当原始数据的季节滞后项之间具有相关性时，若采用X-11滤子，则除非自回归模型的阶数不小于季节周期，否则回归系数的偏移是固有的。当滞后阶数小于季节周期时，尽管季节调整（可能不完全）排除了数据在季节频率上的自相关，但是它在自相关函数中产生了一个（不会渐近消失的）偏倚。对于Dickey-Fuller类单位根检验，为了避免统计量的偏移，自回归式的阶数至少与季节周期一样长。因此，数据的季节调整并不能容许自回归阶数的降低。由于使用季节调整后数据进行单位根检验时需要自回归阶数至少与季节周期一样长，因此有理由预期根据原始数据进行单位根检验的功效要大于使用季节调整后数据时单位根检验的功效。实际上，在绝大多数基于季节调整数据所做的Dickey-Fuller（1981）检验中，并未遵循这一规则。他们认为季节调整剔除了季节性相关性并且不会产生任何副作用，而采用了较短的滞后阶数。这样做的结果使得单位根检验的功效降低。
2.数据生成过程为平稳ARMA过程
当过程yt是一个平稳可逆的ARMA过程时，回归式 (3)中参数的估计的极限
（7）
其中为过程yt的滞后j期的自协方差。对于过滤后的数据，同理有
（8）
令m表示对称多项式v(L)的阶数，则有
（9）
将的渐近偏倚记作，利用(7)式—(8)式可得
（10）
当给定原始序列yt的协方差结构时，我们可以通过(10)式计算 的渐近偏倚。Ghysel 和Perron(1993)证明在线性X-11滤子情形下检验统计量发生渐近偏倚，并且这种偏倚是正的，即 的极限大于 的极限。这种向上的偏移使得采用滤波后数据进行单位根检验的检验功效降低。
Ericsson, Hendry 和Tran(1994)证明当对称双边滤子的权和为1时，滤波对协整关系没有影响，而且检验统计量的渐近分布也不发生改变。此结果不仅适用于单方程协整方法而且可以推广至向量协整方法。上述结论是渐近成立的，在实际应用中小样本下滤波可能对协整检验产生严重影响。Ericsson等（1994）在对英国货币需求方程的实证研究中，证实了这种现象的确存在。
参考文献:
[1]Dickey, D.A. and W.A. Fuller(1981), “Likelihood Ratio Statistics for Autoregressive Time Series with a Unit Root,” Econometrica 49,1057～1072
[2]Fuller, W. A. (1996), Introduction to Statistical Time Series, New Yoke: Whey 2nd ed