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上世纪40年代，代数拓扑学的一些概念与方法被引入到纯代数领域，形成了一种新的理论.逐渐地，这种新的理论被发展成代数学中的一个新的方向，称之为同调代数.它的兴起对于群，李代数与可结合环的研究都起到了非常重要的作用.与经典环论不同，现代环论的发展始终与模及模范畴紧密结合在一起.同调代数的兴起无论是在方法上还是在思想上，都对现代环论的发展产生了重大的影响.各种同调维数的定义，计算及其性质的讨论都是环论中用到同调方法的重要方面.同调代数的主要研究内容包括:利用同态与张量积函子以及它们的导出函子，运用投射模，内射模以及平坦模的分解理论，应用最近发展的覆盖和包络理论，借助于各种同调不变量（如各种同调维数）对各种代数结构进行研究，并找出它们在相关领域的作用. 维数的研究一直是同调理论的核心部分，吸引着人们对它进行各种深入地研究.比如可以对环和模的多种分解式定义不同的维数，如投射维数，内射维数和平坦维数.同时，对给定的环R，也可以对其上的一些模的某一种同调维数取上确界，从而得到相应的整体维数.这样，我们可以从外部来刻画环的整体特征，并对环进行分类.因此，研究环与模的同调维数有着重要的意义和广泛的应用. 在模和代数的同调不变量这个热门话题中，有限维数是重中之重.当R是Artin代数时，众所周知的有限维数猜想fin.dim(RR)=Fin.dim(RR)一般是不成立的，甚至二者的差可以任意大.然而，第二有限维数猜想即fin.dim(RR)＜∞目前还仍然是一个未解决的问题.这个猜想涉及到许多同调猜想，与著名的Nakayama猜想和广义Nakayama猜想紧密相关，并且吸引着许多代数学者.数学家们在这方面做了许多工作，研究了很多特殊类别的Artin代数的有限维数，得出了在某些条件下，fin.dim(RR)＜∞成立.但是，关于有限维数猜想的问题仍然是开放的，这吸引着我们对它进行更深入的探究. 关于有限表现维数，自从其问世以来，有限表现性的讨论就成为环论的热门课题之一.应用这种维数来研究环和模（特别是凝聚环）是一种重要方法.表现维数作为有限表现维数的推广，我们通过其可衡量出一个模是否有无限的有限表现，也可衡量出一个环是否为诺特的，有限表现维数的一些好的结果也可以推广到表现维数上来. 本文主要研究下面几类特殊代数的有限维数和表现维数问题. 在第2章中，我们主要研究广义幂级数环的有限维数.主要用到了同调代数中的技巧和方法，来探讨R-模M的某些性质对于[[RS，≤]]-模[[MS，≤]]是否成立，研究了M和[[MS，≤]]之间的关系，并对其上的表现维数进行了初步的探讨.在第3章中，我们对多项式环的表现维数进行了研究.首先，我们得到了R，R[x]为凝聚环时，MR与MR[x]的表现维数之间的关系;其次，通过构造M[x]的投射分解，得到了MR的表现维数等于M[x]R[x]的表现维数;最后，得到了R，R[x]为凝聚环时，R与R[x]的表现维数之间的关系等结论. 在第4章中，我们主要考虑形式幂级数环.由于形式幂级数环为多项式环的推广，我们试着将第3章中的主要定理在形式幂级数环上进行论证，并进行了更深一步的研究，得到一些有趣的结果.如R，R[[x]]为凝聚环时，MR与M[[R]]的表现维数之间的关系以及R与R[[x]]的表现维数之间的关系等结论. 在第5章中，我们研究了环与模的表现维数，主要是右凝聚环的表现维数，得到了右凝聚环R与循环右R-模，R的右理想，单R-模，R的极大右理想的表现维数之间的关系.另外我们还讨论了三角矩阵环上模的表现维数，研究了表现维数的换环定理，并进一步导出了商环和子环的换环定理，同时在以上研究的基础上，对环R的模与环R[x]的模之间的表现维数的关系做了补充.