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复杂流体的研究在物理学、化学、材料学、生物学以及很多交叉学科中都起着重要的作用.这类特殊流体涵盖的范围很广泛.本文所研究的流体的复杂性主要在于它们是各向异性的并往往是多尺度的.所使用的工具是对基于偏微分方程的数学模型的数值模拟.这些流体的各向异性和多尺度会使得宏观流体中各点处的应力张量不同于普通流体,而这些形式特殊的应力张量是宏观和微观联系的纽带,也是决定复杂流体性质的主要因素.具体说来,以下三种流体是本文的研究对象:
1.丝状相液晶(Nematic liquid crystal).在液晶流体里面,由分子排列的有序性决定的微观结构和宏观性质是非常重要的.丝状项液晶是最简单的液晶流体,它的分子排列只在一个方向上具有有序性.当组成流体的分子较大时,遵从运动学规律的大分子运动对微观结构和宏观性质的影响也是不可以忽略的.本文所采用的弹性连续模型描述了这两方面的信息,在描述宏观流体的Navier-Stokes方程中,体现为包含微观信息的应力张量.通过数值模拟和定量定性分析的方式,本文重点考查了大分子丝状相液晶的运动学性质.
2.两相流体.这里的两相流体指的是牛顿流体和液晶流体的混合物,在这种混合流体中,除了上述液晶流体中的弹性势能外,还有一个两种流体之间的界面所包含的能量.在模拟两相流体的时候,这些都是需要考虑的因素.
3.包含红细胞的血液.红细胞的形状和形变问题是生物学和医学领域里非常重要的问题.相场模型在描述包含红细胞的血液时具有很大的优势,借助于全局的相场函数,可以很容易地追踪界面位置和得到红细胞的形状,而不需要考虑局部性态.红细胞界面的存在使得在界面附近,流体变为各向异性的,这在相场模型里体现为界面附近的一个非零的特殊应力张量.对它的数值模拟,也具有很重要的意义.本文给出了全三维情况下的数值模拟格式.
谱方法是具有高精度和高效率等优点的数值计算方法,它在处理光滑性较好的函数时,具有天生的优势.本文在模拟上述三种复杂流体时所采用的模型,均对奇性和间断做了松弛和光滑化处理,因此,在数值模拟时,本文均采用了谱方法.
本文的第一章简单介绍了所用到的谱方法.在第二章中,对描述大分子丝状相液晶的“1+2”模型,基于Legendre-Galerkin谱方法,采用一些技巧解决了高阶多项式项的精确积分问题,设计了满足离散的能量定律的数值算法,提高了数值模拟的精度、效率以及可靠性和稳定性.通过考察在剪切流体下的分子排列情况,对于动力学输运项对整个系统的影响,给出了数值上的解释和一些定量分析.并且通过数值模拟,证明了一些液晶动力学中的数量关系.在第三章中,把第二章所用的模型推广到“2+2”的情形,对第二章得到的结果采用有限元方法进行了验证,证明了第二章所用简单模型的合理性和可靠性.第四章是对两相流体的数值模拟,在这一章中,采用Fourier和Chebyshev谱方法模拟了气泡上升过程和丝状相液晶液滴的形状.通过数值方法模拟的气泡上升过程,与物理实验上观察到的现象相吻合.采用完整模型模拟的丝状相液晶液滴的形状,与已有的简化模型的数值结果进行了对比,尽管观察到了一些不同的现象,但这些现象都是定量上的不同,定性上与简化模型完全相同,此模拟证明了简化模型的合理性.在第五章中,对于包含红细胞的血液,考察的具体问题是红细胞通过毛细血管时的形变情况.此时物理区域的形状是不规则的,本文的办法是将不规则的物理区域映射到一个规则的柱状的计算区域上.在这个计算区域上,可以对描述血液的各函数在方位坐标方向做傅立叶变换,将系统分解为一系列二维区域上的方程组,这些方程组,互相之间没有联系,可以很容易地并行化求解.在这个数值算法里面,最重要的是第一步的网格映射.基于共形映射和二维区域的模的概念,本章给出了一种谱方法的实现.本章也对整个算法做了描述和介绍.