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流体动力学方程（组）作为刻画物质运动的宏观模型，是我们认识与理解自然现象的一类重要的非线性偏微分方程.它一直占据数学物理界的核心研究领域.如:Boussi-nesq方程能够描述大气与海洋运动中最显著的两个特征:旋转和分层.它有着极强的物理背景和数学意义，引起了研究者的广泛关注. 近年来，Boussinesq方程的研究取得了很大进展，尤其二维次临界和临界情形的研究已经达到了一个很满意的状态.最近，通过建立速度场的增长估计和利用方程的结构，二维各向异性Boussinesq方程的整体正则性问题也得以解决.而三维Boussinesq弱解的唯一性和光滑解的整体适定性依然是一个公开问题.为了更好的理解对流项在流体运动中的影响，人们也考虑了具有特殊结构的流体（如:轴对称无旋流体）. 本文主要致力于研究各向异性Boussinesq方程的Cauchy问题.利用方程的耦合结构，轴对称流的性质以及非Lipschitz向量场的导数损失估计，我们建立了一些三维具有轴对称结构各向异性Boussinesq方程的整体适定性理论;利用Fourier局部化技术和速度场的增长估计，我们对粗糙初值建立了二维各向异性非线性Boussinesq方程的整体适定性.另外，我们也考虑了流体动力学方程其它一些相关模型.研究了三维不可压Navier-Stokes方程弱解的正则性准则、高维可压Navier-Stokes-Poisson方程在Lp框架下小解的整体适定性、分数阶Keller-Segel系统在临界Fourier-Herz空间中的不适定性等问题. 本文具体内容如下: 第二章回忆Littlewood-Paley理论的一些基本知识.同时给出了一些预备引理和交换子估计.最后，我们回顾一下轴对称流体的代数和几何性质. 第三章研究三维水平耗散Boussinesq方程的Cauchy问题.在假设初始值是轴对称无旋的情形下，通过利用方程的耦合结构和水平方向上的光滑效应，我们证明了解的整体适定性.这里的一个重要因素是利用轴对称流体的结构和调和分析的技巧，我们首次建立了ur/r与ωθ/r的代数关系. 第四章继续研究三维各向异性Boussinesq系统的Cauchy问题.在假设轴对称初值ρ0(r，z)的支集与轴（Oz）不相交的条件下，我们证明了三维水平黏性Boussinesq系统的整体适定性.由输运方程的性质，我们首先建立了ρ/r的增长估计.再结合水平方向上的光滑效应，我们进一步建立了估计‖ω(t)‖√L:=sup2≤p＜∞‖ω(t)‖LP(R3)/p√p＜∞，此意味着‖▽u(t)‖L3/2:=sup2≤p＜∞‖▽u(t)‖Lp(R3)/p√p＜∞.然而，空间L3/2似乎容许了太强的奇性阻止我们获得（ρ，u）的高阶正则性.为此，利用微局部化技术和水平方向上的光滑效应，我们开发了时空估计sup2≤p＜∞∫t0‖▽u((τ))‖Lp(R3)/√p(τ)＜∞. 由此，通过建立时空Log型不等式，我们就获得了解的整体适定性. 第五章研究三维不可压Navier-Stokes方程弱解的正则性准则.由不可压流的性质，我们首先建立了经由一个元素Λγiuj（γ∈[0，1]且i，j∈{1，2，3}）描述的Leray-Hopf弱解的正则性准则，即 ∫T0‖Λγiuj（(τ)）‖βLαd(τ)＜∞，（α，β)∈F.这里F是指标（α，β)的集合，且∧i:=√-(6)2i.这就推广和改进了有关Leray-Hopf弱解正则性准则方面的结果，包括C.Cao和E.S.Titi(Arch.Ration.Mech.Anal.202(2011)919-932)的工作.更重要的，通过利用Bony仿积分解，我们给出了如下端点情形(α=∞)的正则性准则，∫T0‖Λγi（τ）‖8/3-2γ(B)0∞,2d(τ)＜∞，γ∈]0，1]，或∫T0‖uj（(τ)）‖8/3BMO dτ＜∞，其中，i，j∈{1，2，3}. 在第六章，我们首先来研究二维垂直耗散非线性Boussinesq方程的大解的整体适定性.接下来，我们考虑高维可压Navier-Stokes-Poisson方程在Lp框架下小解的整体适定性.再者，我们还建立了分数阶Keller-Segel模型在临界Fourier-Herz空间中的不适定性.