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Hilbert零点定理是交换代数中的一个经典结果,到目前已经有许多证明方法,可是这些证明大都不能显式的给出系数多项式的次数的一个上界,这称为“有效Hilbert零点”问题(具体叙述见§1.2).该问题目前已经有比较好的结果,见[5][6].相应的,J.F.Ritt在微分代数中给出Hilbert零点定理的微分版本,我们称之为“微分Hilbert零点定理”(定理1.3).自然地,我们可以考察微分版本的“有效Hilbert零点”问题.到目前为止,该问题已知的结果只有一个[1].特别地,[1]证明了:
对于微分多项式f及有限个微分多项式的集合F,如果有f∈{F},那么使得f∈√(F(≤t(F,f))))成立的最小微分阶数t(F,f)满足:
t(F,f)≤A(m+8,max(n,H(F∪f),D(F∪f)))
其中,D(F∪f)代表微分多项式集合F∪f中全体多项式全次数的最大值,hi(F)=ordyi(F),H(F)=max1≤i≤nhi(F).m代表微分算子个数.A(-,-)代表Ackermann函数,具体定义见§1.3.
本文主要有如下两个结果:
1,我们通过把[1]证明中用到的增长受控的Dicksonian序列看成长度相同的“坏列”(引理3.1),从而可以用[2]中命题5.2,即本文中命题2.1,代替[1]中的命题7和引理8,即本文中的命题2.2和引理2.3,并最终改进了上述结果.我们证明了如下结果(定理3.2):
当m=1,max{H(F∪f),D(F∪f))}足够大时,
t(F,f)≤A(7,max(n,H(F∪f),D(F∪f))+2).
根据Ackermann函数的性质,我们的结果在m=1情形下要优于[1]中结果.
2,我们指出[1]中上述结果实际上已经给出了特殊情形下的Ritt微分指标的一个上界(定理3.3).