论文部分内容阅读
本学位论文主要研究了Kirchhoff型非线性椭圆方程所对应的能量泛函的L2约束极小化问题，利用变分法结合能量估计我们系统讨论了极小化问题极小可达元的存在性、非存在性及其关于相关参数的集中行为等. 考虑下面的含非局部项的非线性Kirchhoff型椭圆方程在给定L2范数条件下解的存在性问题，即:{-（a+b∫RN|▽u|2dxΔu+V（x）u=β|u|pu+λu，x∈RN，∫RN u2dx=1，(1)其中参数a，b,β为正常数，位势函数V（x）≥0，p∈（0，2*-2），其中2*=+∞(若N=1，2);2*=2N/N-2（若N≥3）.由拉格朗日乘子原理（见本文第2章中的引理2.2）知，为了得到方程(1)的解，我们只需研究方程(1)所对应的约束变分极小化问题:dβ(p)∶=inf{Eβp(u)∶u∈H且∫RNu2dx=1}，(2)其中H为适当的函数空间，能量泛函Eβp(·)定义为Eβp(u)a/2∫RN|▽u|2dx+b/4(∫RN|▽u|2dx)2+1/2∫RNV(x)u2dx-β/p+2∫RN|u|p+2dx，u∈H.(3)对于不同的参数a，b,β,p以及位势函数V（x），我们分三章对约束极小化问题(2)分别进行相关的研究. 在第3章中对于a,b＞0，β＞0且空间维数N≤4的情形我们对问题(2)进行了讨论.首先，当问题(2)中的位势函数V（x）≡0时，我们证明了关于参数β存在一个临界值βp≥0，使得该值成为问题(2)极小可达元存在和非存在的门槛值.其次，当位势函数V(x)≥0且V(x)≠0时，对于给定的不同参数β＞0以及p∈(0，8/N]，我们证明了问题(2)极小可达元存在性和非存在性的结果.并且在弄清问题(2)极小可达元存在性的前提下，对于固定的参数β＞0，我们进一步讨论了当指标p靠近质量临界指标8/N时极小可达元的渐近行为. 在问题(1)中，当b=0，则问题(1)就退化为和Bose-Einstein凝聚相关的Gross-Pitaevskii(GP)方程，对于b=0的情形，Guo及其合作者对问题(2)进行了大量的研究，证明了问题(2)极小可达元存在性和非存在性结果.并且对于具有不同形状零点集的位势函数V(x)，讨论了当参数β充分靠近某个临界值时问题(2)极小可达元的集中行为，并建立了极小能量dβ(p)的精确估计.我们在第3章中，对于b＞0的情形，证明了问题(2)极小可达元的存在性和非存在性结果，在此基础上，我们进一步讨论了非线性增长指标p趋近质量临界指标时，极小化问题可达元的渐近（爆破）行为.在第4章中，对于满足一般条件的位势函数V（x），我们研究了当参数b＞0靠近0时，问题(2)极小可达元的集中行为. 在第5章中我们考虑了问题(2)在b=0的情形.在该情形下，针对一类零点集为椭圆形状的位势函数V（x），我们证明了当β靠近相应的临界值时，问题(2)的极小可达元在位势函数V（x）零点集的长轴端点处集中.