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非线性物理学在自然科学中扮演着非常重要的地位，很多学科如光纤通信、流体力学、天体物理、生命科学等都涉及到非线性问题。正因如此，求解非线性方程变得非常必要。令人遗憾的是非线性方程并没有一种固定的解法，它根据方程的不同而有所变化。不过随着非线性科学的进展以及一些数学软件如mathematic、maple的出现，使得一些新的处理非线性方程的方法和技巧大量出现。
量子自旋系统的模型有多种多样，目前比较常见的模型有海森堡(Heisenberg)自旋铁磁链模型和伊辛(Ising)自旋链模型，海森堡自旋模型能够描述量子点，核自旋和电子自旋，是一个有效的物理模型。它描述的一维铁磁链涉及到了非线性方程，即非线性薛定谔方程。科学家们投入了大量的精力去寻求它的有效解法。成功的得到了一维铁磁链的各种形式的孤子解。
Gross-Pitaevskii方程(GPE)是玻色爱因斯坦凝聚中的一个非常重要的非线性物理模型，它是用来描述凝聚体物质波的方程。而对于GPE的求解，更是格外重要。尤其是近年来玻色爱因斯坦凝聚实验的逐步成熟，使得人们愈发想求得GPE的解析解。由于非线性物理学的逐步完善，关于GPE的求解方法也变得更加丰富。如今，对高维GPE的求解方法以及对玻色爱因斯坦凝聚中激发的孤子动力学性质的研究的激发已经成为当前物理学中的研究热点之一。
本论文的工作主要有两部分:第一部分是把海森堡模型的哈密顿两精确至准六次项，求解具体形式的解析解。第二部分是用改进的F展开法和齐次平衡法求解在非对称势阱下三维的GPE。并对所求的孤子解的动力学性质进行分析和讨论。所取得的成果如下:
(1)通过精确至准六次项，发现当铁磁体各项同性时准六次项不能忽略。因为即使各项同性也能够得到孤子解。
(2)利用改进的F展开法和齐次平衡法，考虑三体相互作用，求解了GPE的孤子解和三角函数解。
(3)对所求得的孤子进行了讨论，发现可以通过控制散射系数来控制孤子的形状，得到不同类型的孤子。讨论了在非对称势阱下孤子动力学性质，并画图进行了对比分析。结果表明势阱对孤子的形成和稳定性有着很大的影响。