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该文以凸体为研究对象,具体涉及到五方面的内容:凸体的形状匹配与凸体的形心;凸体的X-射线;有关平面凸体几何量的完全不等式系统;凸体的投影和截面对凸体本身的推断;组合几何与凸优化.1)凸体的形状匹配与凸体的形心;形心是一个几何体某种意义下的中心,很多几何体的重要性质可以通过形心来刻画.2)凸体的X-射线;X-射线通过不同密度的物质,其衰减程度是不一样的.通过相同密度的物质,其衰减程度与X-射线在物体内所走过的路程成正比.在研究问题时,通常是一种(近似均匀)密度的物体K置于另一种(近似均匀)密度的物质中,此时,X-射线的衰减在数学上可抽象并简化为物体K的每一条弦长.人们关心如何由X-射线来确定原物体K,包括需要多少个方向以及怎样的方向可把K确定,能确定时,又该如何具体的将K构造出来.如果现有几个方向的X-射线不足以确定原物体,通过他们能得到K的什么信息?该文研究了两个方向的X-射线的信息与平面凸体K的关系.3)有关平面凸体几何量的完全不等式系统;每个平面凸体K都对应着六个几何量:K的面积A,周长p,内接圆的半径r,外接圆的半径R,直径d,宽度w.这些量之间会互相制约.著名的等周不等式4πA≤p<2>就刻画了面积A与周长p的制约关系.一般地,人们感兴趣于联系着几个几何量的不等式及其极值集-值得等号成立的凸体.4)凸体的投影和截面对凸体本身的推断;设K为n维Euclidean空间E中的凸体,如果知道K在一些k(k≤n)维子空间上的信息,人们试图对K本身做出一些推断.如,若知道K在每一个k(k≤n)维子空间上的投影,则K将被完全确定.再如,设原点在K的内部,若过原点的任意k维子空间与K的交都是k维球,则K本身就为n维球.