论文部分内容阅读
径向基函数（ Radial Basis Function）不仅从本质上具有用一元函数表示多元函数的特点，而且在计算机上有明显的计算简单的优点，因此在散乱数据拟合逼近中有着广泛的应用。用径向基函数求偏微分方程数值解的方法称之为径向基无网格法，主要分为径向基函数插值法和径向基函数拟插值法。本文围绕径向基函数拟插值在偏微分方程数值解中的应用展开讨论。 径向基函数的研究起始于径向基函数插值，前期的径向基函数插值的研究主要集中于散乱数据的拟合逼近，直到Kansa于1990年首次成功的用MQ函数解偏微分方程之后，径向基函数插值法作为求偏微分方程数值解的一种无网格方法得到了广泛的关注，然而在求解的过程中需要解一个线性方程组，有时为了追求高精度，需要增加节点密度，会导致插值矩阵的条件数增大，甚至奇异，导致结果不稳定，即具有不确定性，为此人们转向径向基函数拟插值的研究，用这种方法解偏微分方程，不需要求解矩阵的逆，只要拟插值格式构造的好，就可以达到理想的效果，所以近些年来关于拟插值的研究成为了一个热点。 本文讨论了径向基函数拟插值的相关理论，方法以及在偏微分方程数值解中的应用。在实际应用中，研究的函数通常是定义在有界区域内，边界条件的处理就显得非常重要，文章中通过构造插值多项式来处理边界，数值试验表明这种新的拟插值算子对函数本身和高阶导数都有很好的逼近效果。之后将这种格式应用于一维非线性薛定谔方程和电磁场模型中的波动方程的数值解中。具体处理办法是：首先利用差分格式对时间导数进行离散，然后再用拟插值算子对空间导数进行逼近，从而得到原方程的近似离散方程。随后给出了具体的数值试验，在试验中径向基函数选用的是全局的MQ函数和Gauss函数，通过比较，最终数值结果表明：我们的方法简单易行，而且具有较高的精度。最后对本文工作做了总结并对下一步工作提出了展望。