多用户或安全约束下若干信息论问题的研究：容量、误差指数、逆定理

• 作 者: 曹达明
• 机 构: 东南大学
• 出 处: 东南大学
• 发表日期: 2019年11期
• 关键词: 信息论

克劳德·香农在1948年发表的划时代论文“A Mathematical Theory of Communica-tion”，标志着信息论的诞生。时至今日，信息论已经从单一的理论论文发展到具有广泛研究领域的重要学科。一个毋庸置疑的重要贡献便是推动了通信理论的高速发展，从最初的信道容量定理衍生出包括网络信息论、网络编码、错误指数、强逆定理等重要的研究分支和研究方向，贡献了大量令人印象深刻的开创性结论。然而，信息论的贡献远不止此，事实上，信息论在统计学、概率论、密码学、认证理论等学科中都具有重要的贡献。因此，本论文基于信息论开展了面向多个领域中不同课题的理论研究。
　　一、针对编码缓存网络中的容量问题，考虑错误概率渐近趋于零的场景，研究了非对称缓存和链路下的两用户缓存问题。对于该问题，通过借鉴Tian的对称简化想法，本文给出了文件对称的缓存和传输编码方案的充分性和不失最优性。进而在对称编码方案和任意文件数量的场景下，以最坏情况下的传输时延为测度的系统性能得到了完整的刻画。此外，上述最优结论还被拓展到附加非对称率失真的缓存问题。
　　二、针对广播信道中的错误指数问题，考虑错误概率指数速率衰减的场景，研究了非对称广播信道的擦除指数问题。对于该问题，本文考虑了具有叠加编码结构的i.i.d.随机码簿和Forney形式的附加擦除选项的最优解码函数，并且利用形方法和大偏差理论给出了系综紧致的总错误和漏检错误指数。同时，相比于仅解码私有消息的最优函数，本文证明了解码消息组的最优解码函数也可以实现仅解码私有消息的关于总错误指数和漏检错误指数之间的最优权衡关系。
　　三、针对通信受限下的假设检验问题，考虑错误概率介于0到1之间的场景，研究了两跳网络中独立-相依假设检验的强逆定理问题。对于该问题，通过结合两个证明强逆定理的最新方法：1）由Liu-Handel-Verdu基于函数的不等式和马尔可夫半群的反向超缩不等式所提出的方法；2）由Tyagi-Watanabe基于变换测度方法和替换硬性的马尔可夫约束为软性的信息代价的想法所提出的方法，本文给出了关于第二类错误指数和通信速率之间的最优权衡关系的强逆定理结论。
　　四、针对密钥共享的容量问题，考虑错误概率渐近趋于零的场景，研究了基于相关信源和附加保密信道的密钥共享问题。对于该问题，本文推导得出该问题的最优密钥速率，并且证明了最优的密钥生成策略是联合使用密钥生成和密钥分发。通过对比两个方案：1）保密信道只用于密钥分发，称为分离方案；和2）保密信道“理想的”参与密钥生成，称为理想方案，本文说明了最优方案在保证保密性的条件下能够使得传输在保密信道的每比特提供大于1比特的密钥速率。
　　五、针对生物认证系统中的欺骗问题，考虑错误概率指数速率衰减的场景，研究了具有辅助信息的欺骗指数问题。对于该问题，本文通过给出可达性和逆定理证明完整地刻画了成功欺骗的概率指数和认证系统中允许的失真阈值之间的最优权衡关系。该证明基于该欺骗攻击问题和编解码端都有辅助信息的率失真问题之间的对偶关联，其中可达性证明是基于从率失真问题的编码方案构造出来的欺骗函数，和逆定理是通过构造一个矛盾的率失真可达方案从而反证结论。