小度数Cayley图的同构问题研究

• 作 者: 徐鹏
• 机 构: 北京交通大学
• 出 处: 北京交通大学
• 发表日期: 2007年期
• 关键词: Cayley图 广义四元数群 同构映射

设S为有限群G的不含单位元1的子集，且S=S<-1>={s<-1>│ s ∈S}。群G关于S的cayley图Cay(G，S)是一个以G为顶点集合，以{{g，sg} │g ∈G，s∈S}为边集合的图。给定群G的不含单位元1的子集S。如果对于G的任意不含单位元1的子集S，都有Cay(G，S)≌Cay(G，T)当且仅当S<α>=T，其中α∈Aut(G)，那么称S为G的CI-子集，并称Cay(G，S)为CI-图。设m为正整数，称群G为m-CI-群，如果G的每个满足S-1=S和S≤m的子集S都是CI-子集，而称群G为弱m-CI-群，如果G的每个满足S<-1>=S和│S│≤m的生成子集S都是CI-子集。特别地，称│G│-CI-群G为CI-群。Cayley图的CI性质是Cayley图同构研究中的重要问题之一。至今已有许多学者对这个问题做了大量的工作．本文工作就是围绕Cayley图的CI性质展开的。设p为奇素数，首先证明了每个2p<2>阶群都是弱3-CI-群。应用该结果，还给出了2p<2>阶连通3度Cayley图的分类。其次，设G为4p阶群，S为G的不含单位元1的生成子集且S<-1>=S，│S│≤3。本文证明了Cayley图Cay(G，S)是非CI的当且仅当G={a,b│a<2p>=b<2>=1，b<-1>ab=a<-1>)，且S<α>={b,a,a<-1>}或{b,ba,ba<-1>}或{b,a

,a<2>b}，其中α∈Aut(G)。最后，证明广义四元数群Q<,4n>=(a，b│a<2n>=1，b<2>=a，b<-1>ab=a<-1>)(n≥2)的每个连通4度Cayley图同构于Cay(Q<,4n>，{a，a<-1>，b，b<-1>})或Cay(Q<,4n>,{b,b<-1>ab，(ab)<-1>})。进一步，当n=2时，这两个图都同构于完全二部图K<,4,4>。当n>2时，这两个图互不同构。由于Q<,4n>不能被一个元素或一个对合和一个阶大于2的元素生成，所以Q<,4n>是弱4-CI-群。