论文部分内容阅读
本论文主要利用Hirota双线性方法来研究孤子方程的若干问题，特别是精确求解问题．内容主要涉及：构造和求解变系数KP方程及其可积性，如双线性Backlund变换、非线性叠加公式等；推导变系数KP方程多孤子解的Wronskian和Grammian行列式表示；推广Hirota方法，研究几类波动方程新的精确解-周期波解。
求解孤子方程的精确解一直是孤子理论中非常重要的问题。本文的研究从解的Hirota形式、Wronskian和Pfaffian等多种表示形式到精确解的推导两个方面着手，充分说明了双线性方法是孤子方程精确求解的强有力工具。又将Hirota双线性方法，Wronskian技巧与Backlund变换等求解方法的多样性和孤子方程的统一性有机地联系在一起，从而挖掘出更多的孤子本质属性。主要工作具体如下：
(一)．第二章首先给出双线性微分算子的定义及其基本性质。其次详细推导变系数KP方程Hirota形式的N-孤子解．然后构造变系数KP方程的双线性Backlund变换、非线性叠加公式和Lax对。
(二)．第三章首先介绍孤子方程的Wronskian形式解，其中包括Wronskian的有关性质和推导变系数KP方程的Wronskian行列式解。其次给出关于Pfaff式的基本性质，并求解变系数KP方程的Grammian行列式解，其证明过程中的解是由Grammian型的Pfaffian表示。
(三)．第四章分为三个部分，第一部分推广Hirota方法，以Boussi-nesq方程作为例子详实地介绍如何求得其新的精确解-周期波解，并以图示分析研究Boussinesq方程周期波解的一些性质；第二部分用同样的方法得到(2+1)维Boussinesq方程的周期波解，并通过长波极限法求得其有理解；最后部分是总结与讨论。