保正型及其h-变换

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狄氏型(Dirichlet form)理论在解析位势论和马氏过程理论之间架起了一座桥梁.它在位势理论,马氏过程,随机微分方程,Malliavin算法,量子场论等许多相关领域都有应用.1971年,Fukushima首次建立了正则狄氏型和一类马氏过程之间的对应关系.自此,狄氏型理论取得了快速发展.在1990年代,人们发展了拟正则狄氏型理论,拟正则半狄氏型理论,拟正则保正型理论等.  拟正则的保正型是L2(E; m)空间上的一类具有强制性的非负双线性型。它对应的半群和对偶半群仅仅具有保正性,而不一定有次马氏性.所以,需要应用h-变换将其变为一个半狄氏型才能建立一类马氏过程与保正型之间的某种对应关系.所以,可知这个马氏过程依赖于h-变换的选择,称这个马氏过程为h-马氏过程.因此,一个自然而重要的问题是:对同一个保正型,经过不同的h-变换得到的不同马氏过程具有哪些不变的量或性质.这篇博士论文便是围绕这个问题展开的.  在这篇论文中我们在状态空间上构造了与h-变换的选择无关的伪转移核,在右连续函数空间上构造了一簇与时间有关但与h-变换的选择无关的伪概率测度流及相关σ-域流.我们证明坐标过程关于伪概率测度流及相关σ-域流具有类似于马氏过程的某些性质——伪马氏性,并由此构建了伪马氏过程.它与保正型相对应,与h-变换的选择无关.进一步,我们讨论了伪马氏过程类似于强马氏性的性质,建立了保正型的位势论与伪马氏过程的位势论之间的对应关系,并且讨论了保正型的光滑测度分别与h-马氏过程的可加泛函和伪马氏过程的可加泛函之间的关系.各章具体内容如下:  在第一章中,我们介绍了问题背景以及有关保正型和h-变换的基础知识.  在第二章中,我们首先构造了伪转移核,并证明伪转移核与h-变换的选择无关.然后,在右连续函数空间上构造了伪概率测度流及相关σ-域流,并证明坐标过程关于伪概率测度流及相关σ-域流具有伪马氏性,最后还讨论了伪马氏过程的伪强马氏性.  在第三章中,我们首先讨论了伪马氏过程的位势论,然后讨论了保正型的位势论与伪马氏过程的位势论之间的对应关系,最后讨论了保正型的光滑测度与h-马氏过程的可加泛函之间的关系.  在第四章中,我们讨论了在某种意义下伪转移核,伪概率测度流及相关σ-域流,光滑测度与可加泛函之间的关系都与h-变换的选择无关.
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