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本文分两部分.第一部分研究齐次Dirichlet边界条件下，具有梯度项平方增长的半线性抛物方程的双线性零能控性和相应的时间最优控制的存在性;第二部分研究齐次Neumann边界条件下，半线性抛物方程稳态解的双线性能控性和相应的最优控制的存在性. 值得指出的是，对非线性函数关于状态变量的增长阶没有任何限制.这与控制变量施加在右端自由项时所得结果有本质不同. 综合运用了Hopf-Cole变换，椭圆与抛物方程解的先验估计，上下解方法和分段控制思想，并结合前人关于控制成本的估计证明了本文的主要结果.