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多个体系统是一类重要的复杂系统。由于多个体系统具有广泛的应用价值以及深刻的自然和社会基石出,多个体系统在这些年来受到了广泛的关注。多个体系统中的一类典型的问题称之为一致性问题,它探讨的是系统在何种条件下可以保证系统中个体的状态趋于一致。事实上,对于离散系统的一致性问题而言,其大多数都可以被归结为凸性多个体系统。所谓凸性多个体系统指的是系统的下一个时刻的状态可以被包含在系统当前邻居状态的凸组合中的一类系统,Moreau在2005年已经指出([69]),凸性多个体系统涵盖了一大类的多个体系统并可以通过集值Lyapunov函数的方法加以解决。然而,实际中却存在着大量的非凸多个体系统,对该类系统的研究不能通过简单地构造一般的Lyapunov函数的方法加以解决,于是就需要我们探索新的方法与技术来解决这一类问题。鉴于此,文本引入了几类非凸多个体系统并探讨了这些系统的一致性问题,给出了若干这些系统的一致性条件,并给出了这些系统的潜在应用实例。
本文的主要贡献如下:
1.通过在个体之间的通讯协议上引入一类非线性函数,给出了一类非线性多个体系统。对于连续时间的多个体系统而言,分析系统一致性的最常用方法就是构造二次Lyapunov函数或者其它的光滑Lyapunov函数。然而当系统中带有切换拓扑的时候,Olshevsky等人在[72]中证明了在一定条件下带有切换拓扑的离散多个体系统不存在一个公共的二次Lyapunov函数,Brayton和Tong又在[52]中进一步指出在一定条件下甚至不存在一个光滑的Lyaounov函数。基于此,我们通过引入一些凸分析的方法,分别在无穷联通和联合联通的条件下证明了该系统的一致性,并进一步指出文中所给出的模型并不满足Moreau所提出的凸性条件。
2.为了更好地解释自然界中团簇一致性的产生机理,提出了一个离散多个体系统。该类多个体系统与已有的多个体系统最大的不同在于系统中的每个个体都不含有自环,亦即为每个个体在产生下一个时刻的状态时总是不利用自身当前的信息。我们证明了如果系统的联通拓扑的周期不为1,那么系统即可以实现团簇一致性。同时我们还指出,如果系统中任何一个个体被引入一个自圈,那么系统将不再能实现团簇一致。
3.通常处理带有切换拓扑的离散时问多个体系统的方法是基于Wolflowitz的无穷随机矩阵乘积理论([110]),然而,实际中有很多的多个体系统并不能简单归结为无穷随机矩阵的乘积问题,而是广义随机矩阵的乘积问题,即行和为1但不一定非负的矩阵,这就使得我们必须去寻找其它的方法来处理这一类问题。我们以一类简单的离散二阶系统为例,通过适当构造一多面体范数,发展了一种处理广义随机矩阵乘积收敛性的方法。同时,根据这种方法,我们得出了使得该二阶系统实现一致性的若干充分条件。我们还进一步指出,该系统中的同步状态轨迹值不再是一个固定的常数,而是一个具有一定速度的线性轨迹。
4.提出了一类多个体系统的构型(或称为编队)控制问题:凸性保持问题。所谓凸性保持问题即:如何为系统中的每个个体设计控制器以使得系统状态的凸包的顶点在系统的演化过程中始终保持为凸包的顶点。该问题的一个类似问题即为多个体系统包含问题,即如何设计控制器让跟随者进入领导者所构成的凸包内部,从如上定义来看,凸性保持问题可以被视为包含问题的一个反问题,即领导者如何形成一个凸包将跟随者包含在内。我们通过引入计算几何中的一些方法,设计了一个能实现凸性保持的控制律,并通过仿真验证了所提出的算法。