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非线性扩散方程，作为一类重要的抛物型偏微分方程，有深刻物理背景，是自然界中广泛存在的扩散现象的一种数学抽象.非线性扩散方程涉及了很多数学或是数学物理方面的科学研究领域，比如渗流理论及生物群体动力学等领域都提出了这类方程，其中最基本但也是相当重要的类型是以
(6)u/(6)t=△um
为代表的Newton渗流方程和以
(6)u/(6)t=div(|▽u|p-2▽u)
为代表的非Newton渗流方程.这两个方程共同的特点是都具有退化性，即分别在u=0和|▽u|=0时退化.由于这类具退化性的非线性方程比线性方程和不具退化性的拟线性方程更能够反映某些物理实际，因此，早在三十多年前就吸引了国内外众多的数学工作者的注意力，他们致力于有关这类方程的理论和应用方面的研究，包括解的存在性、唯一性、渐近性以及Blow-up性质等等，相应这方面的文献也有很多，可参见[1],[2],[3],[8],[19]等等.
在对解性质的研究中，Blow-up性质的研究长期以来受到了许多数学工作者的重视，而且获得了非常丰富的研究成果.下面我们来回顾一下这方面的研究成果.
对抛物型方程解Blow-up性质的研究起源于如下的具非线性源的线性扩散方程
(6)u/(6)t=△u+f(x,u,t).(1)
Fuiita于1966年就研究了该方程当f(x.u.t)=up时的Cauchy问题[5].证明了指数p满足一定条件下的整体解Blow-up性质.1985年，Friedman与McLeod在[7]中研究了方程(1)在区域Ω×[0.T]上具Dirichlet零边值问题径向解的Blow-up现象，其中Ω是Rn的有界区域，(6)Ω∈C2.f(s)是一个连续可微的正函数，初值函数ψ≥0.且ψ∈Cx((Ω)).ψ=0在(6)Ω上.他们就f(u)的两种典型情形，即f(u)分别等于eu以及(u+λ)p，p＞1，λ≥0时解的爆破点的存在性.
后来，一些作者就相应方程(1)的一维情形
(6)u/(6)t=uxx+f(u)(2)
的初边值问题做了细致的研究.1990年，Alberto与Bressan[9]讨论了f(u)=eu时在区域[-1，1]×[0，T)上的Dirichlet零边值问题.在这篇文章里对初值的要求就没有那么严格，他们指出，只要初值适当地大，则该问题的解u将在有限时间T爆破，而爆破时间T依赖于初值.1997年，NorikoMizoguchi和EijiYanagida[10]研究了方程(2)当f(u)=|u|p-1u(p＞1)时的Cauchy问题解的Blow-up.他们得到p满足一定条件下的解的Blow-up性质.
上述研究大多是针对Dirichlet零边值问题或是Cauchy问题或是线性扩散而进行的，而其余类型的初边值问题的研究结果就相对地少了一些.1993年，王明新在[12]中讨论了带有非线性边界条件的非线性抛物型方程初边值问题
(6)u/(6)t=▽(uq-1▽u)-um.(x.t.)∈Ω(0,T).
(6)u/(6)v=up.(x.t)∈(6)Ω×(0,T).
u(x,0)=u0(x)＞0.x∈Ω.
的整体解存在的条件.其中，Ω(C)Rn有界，(6)Ω适当光滑，v是边界单位外法向.其主要结论是：
i)当p+q≤2时，该问题有整体；
ii)当p+q＞2且m≤1时，对于大初值，该问题的解在有限时间Blow-up：对于小初值，该问题有整体解.
值得注意的是，一些作者将区域边界进行了分割，研究了具混合边值条件的方程解的Blow-up性质.1997年，Hu.Bei和Yin.Hong-Ming[15]利用Green函数法讨论了如下具非线性边界条件的线性方程Dirichlet-Neumann问题
(6)u/(6)t=▽u.(x,t)∈Ω×(0,t).
(6)u/(6)v=up.(x,t)∈Г1×(0,t).
u(x，t)=0.(x,t)∈Г2×(0,t).
u(x,0)=u0(x)≥0.x∈Ω.
其中，t＞0.Ω是R22中的扇形区域，且边界分段光滑，v是边界单位外法向，Г1.Γ2是两个非空的，且Γ1∪Γ2=(6)Ω.其主要结论是(其中pc(Ω)＞1)：
i)当1＜p＜pc时，该问题的所有正解在有限时间Blow-up：
ii)当p＞pc时，对足够小的初值，该问题存在整体解.
2002年，JuntangDing在[1]中研究了具非线性源，边界条件是线性的半线性反应扩散方程混合边值问题
(6)u/(6)t=△u+f(x，u,|▽u|2，t)，(x，t)∈D×(0,T).
u=0.(x，t)∈Г1×(0,T).
(6)u/(6)n=0.(x,t)∈Г2×(0,T).
u(x，0)=u0(x)≥0,≠0，(x，t)∈D.
其中D是RN的有界区域，(6)D充分光滑，Г1∪Г2=(6)D.0＜T＜+∞,(6)u/(6)n表示外法向导数，f关于各个变量是C1的.他的主要研究方法是采用一个非线性变换v=-ut+βuα,在一定的条件假设下，结合所研究的问题推导出v满足的具混合边值的抛物方程，利用Hopf最大值原理得到了一个微分不等式，从而进一步得到了光滑解的Blow-up时间T.他所得到的这一Blow-up性质是在区域D一个子集D1={x|x∈D,u0(x)≠0}上的局部性质，也就是说在一定条件下，只要初值大于零，方程的解必然在有限时间Blow-up.
本文将注意力集中在Newton渗流方程和非Newton渗流方程混合边值问题解的Blow-up性质的研究.
第一部分我们讨论如下的发展型p-Laplace方程的混合边值问题
(6)u/(6)t=div(|▽u|p-2▽u)+f(x,u,t)，(x,t)∈QT.
u=0.(x，t)∈Г1×(0,T).
(6)u/(6)n=0.(x,t)∈Г2×(0,T).
u(x,0)=u0(x)，x∈D
解的Blow-up性质，其中p≥2.D是RN中的有界区,(6)D充分光滑，0＜T＜+∞，QT=D×(0，T)，Г1uГ2=(6)D.(6)u/(6)n表示外法向导数，u0(x)≥0，但u0(x)≠0，f(x,u，t)∈C1((D)×R×[0,T]).且存在函数g(u)∈C1(R)，使得0＜f≤g(u).
由于上述问题中方程的退化性，我们首先运用抛物正则化的方法得到了该问题的逼近解uε，利用经典的抛物方程的理论，我们对逼近解做了一些必要的估计，通过一个极限过程我们最终得到了该问题广义解的局部存在性.其次，利用Gronwall不等式等工具，我们得到了上述问题广义解的唯一性.
最后，受到JuntangDing[1]中方法的启发，我们对正则化问题采用相同的非线性变换vε=-uεt+βuαε(其中α,β满足一些必要的条件)，由先前所做的必要的估计，通过对逼近解取极限，我们得到了非线性变换v=-ut+βuα在分布意义下满足的抛物方程.利用抛物型方程的极值原理及强极值原理，我们导出了一个对于证明该问题十分关键的微分不等式，从这个不等式出发，我们讨论了这一具有混合边界条件问题解的Blow-up.并得到了Blow-up时间T*的一个上界.
文章的第二部分讨论渗流方程如下的混合边值问题
(6)u/(6)t=▽um+f(x，u，t),(x,t)∈QT.
u=0，(x，t)∈Г1×(0,T).
(6)u/(6)n=0.(x,t)∈Г2×(0,T).
u(x,0)=u0(x).x∈D.
其中m≥1.问题涉及的其他条件如第一部分所述.
我们仍采取抛物正则化方法来得到该退化性问题的逼近解uε.并对逼近解作了一些必要的估计，通过对逼近解取极限，我们得到了该问题广义解的局部存在性.然而，此时若继续延用JuntangDing在[1]中所述的那个变换来进一步讨论这一问题解的Blow-up性质，我们却遇到了实质性的困难.因此，在这一部分中，为了克服方程主部的非线性性和退化性所带来的困难，我们对这个变换做了必要的调整，即采用非线性变换vε=-m(uε2+ε)m-1/2uεt+βuε9(其中α，β分别满足一些必要的条件)并将之运用到正则化问题中，利用先前所作的一些必要的估计，通过对逼近解取极限，得到了在分布意义下非线性变换v=-(um)t+βu9。所满足抛物方程，为了克服混合边值条件所带来的困难，我们利用经典的抛物方程的极值原理和强极值原理，得到了一个关键的微分不等式，从而进一步论证了解u(x.t)在有限时间t=T*的Blow-up性质.值得注意的是，这种Blow-up性质也是相对D的一个子集D′={x|x∈D.u0(x)≠0}的局部性质，即在一定条件下无论初值的零点区域有多大，只要在局部大于零，甚至这个“局部”是一个很小的区域，那么以这个初值沿着时间t发展，方程的解必在有限时间内Blow-up.