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本文综合利用分析、代数和几何拓扑方法,研究了球面间的调和映射问题和非负曲率黎曼流形上的向量丛何时可以配备截面曲率非负的完备度量.
文章主要分为两部分.第一部分主要研究球面间的λp特征映射.p次球面调和映射是欧氏空间之间的p次齐次调和多项式在球面上的限制.而λp特征映射是一个常能量密度的调和映射.在第二章第三节，我们从已有的球面间的特征映射出发，利用Ueno[52]和Tang[49]的结果，用正交乘法和等参多项式构造新的特征映射；在第四节，我们给出了球面间特征映射的分类性结果，证明了S4到自身的full的λ2特征映射的刚性定理.即任意一个从S4到S4的full的λ2特征映射，在相差正交变换的意义下，就是Cartan三次等参多项式的梯度映射在球面上的限制.而且，用一种完全不同的方法，给出了Veronese映射刚性定理的另一种证明；在第五节，我们研究球面特征映射的存在性问题，利用K-理论和上同调群的Gysin序列，给出S2n-k到Sn之间存在λp特征映射的条件.
第二部分我们主要研究是否非负曲率黎曼流形上的所有向量丛都有截面曲率非负的完备度量.这一问题是由Yau(1982)提出的，Cheeger，Walschap，Ozaydin等人都有过一些工作.我们对此做了部分解答.在第三章的第三节，用K-理论研究实射影空间RPn和复射影空间CPn上的向量丛，并利用ONeill关于黎曼浸没的著名公式来构造非负截面曲率的完备度量，证明了射影空间乃至齐性空间上有些向量丛的全空间可以赋予截面曲率非负的完备度量.Cheeger证明了秩为1的对称空间挖掉一个球体后，具有一个非负曲率度量.在第四节，我们研究了该命题的逆命题，证明了一个n维连通闭流形M在挖掉一个球体后，如果具有非负曲率度量，则M的mod2上同调环同构于秩一紧致对称空间Sn，RPn，CPn/2，HPn/4或CaP2的对应的上同调环.