论文部分内容阅读
在奇异或近似奇异问题的研究中，人们发现奇异结构通常具有“低维”特性，也就是说，解在某些方向上变化很剧烈，而在其他方向上变化不明显.这时如果使用在各个方向上尺度可以灵活选取的各向异性网格，能够很好的提高计算效率.本文针对解具有奇异结构的静态问题，研究如何通过基于边的单元加密生成各向异性网格.从完全不同的出发点，发展出了两种有效的无结构网格上的加密策略。
第一种加密策略是基于误差梯度的，克服了目前许多算法需要重构高阶导数的困难.选取标准单元为参考单元，利用从参考单元到一般单元上的仿射变换的Jacobian矩阵与单元边向量的联系，得出了单元上的误差与单元边上的误差之间的关系.具体说来.对函数插值问题/椭圆界面问题，将H1插值误差/能量模误差的上界表示为各边上误差梯度投影之和.从而在理论上保证了选取误差投影量最大的那条边进行加密的正确性.正如投稿文章的审稿意见中所述，这种策略可以看作是Apel（）在结构网格上加密策略的推广，但本文的研究将Apel在特殊情况下一个有趣的各向异性加密的想法发展成为能够广泛应用的实际算法，是一个基本而重要的进步.与此同时，基于本文的工作，未来关于各向异性误差估计的研究.可能只需要提供单纯的标量型的误差估计量，无需其他更复杂的信息，就可以有效的指导各向异性加密。
第二种加密策略是受Li，Tang和Zhang[43，44]基于调和映射移动网格算法的启发而发展出来的.在局部区域内极小化度量网格质量的能量泛函，计算出单元虚拟移动后的新位置.由于新位置更能反应解的特征，通过分析单元新旧位置之间的变形，得到解变化比较剧烈的方向，最终选择与“剧变”方向最平行的边进行加密.由于解的各向异性的信息是隐含在单元的变形之中的，这一策略的优势在于，只需要给出单元上的误差这样一个估计量，不需要任何重构操作，就能生成合适的各向异性网格。
对上面的两种加密策略，作者均开发了二维情形和三维情形的程序代码，并且进行了系统的数值实验来验证理论分析，深度挖掘了算法可能的发展潜力。
1.首先用具有各向异性结构的函数插值问题来验证算法的有效性，包括具有层状接近奇性结构的函数、以及具有L2强间断和H1弱间断的函数，算例充分说明，对于接近奇性的函数，各向异性加密方法具有节约自由度上的优势；而对于具有间断奇性的函数，无论是函数值的间断还是导数的间断，各向异性加密都能够相对于各向同性加密提高收敛阶.（第5.1.1节和第5.2节）
2.对于具有强奇性的函数的插值实验表明，在将网格节点分布到跳跃位置的方法和使用各向同性局部加密方法均失效或者退化的情形下，各向异性算法仍然能够提高收敛阶.（第5.1.2节）
3.对于全局各向异性函数插值的数值实验说明，基于误差梯度的加密算法同样适用于全局各向异性的结构.（第5.3节）
4.作为实际应用，计算了嵌入界面问题（包括齐次和非齐次跳跃），选用简单的Zienkiewicz-Zhn（ZZ）[72]重构型误差估计子指导各向异性加密，能遗误差的数值表现和弱间断函数插值完全相同.特别的，用二次有限元求解嵌入界而问题时，各向异性加密在提高能量模误差收敛阶的同时，还有效的改善了各向同性加密时出现的L2误差收敛阶的退化现象[36].（第6章）
5.对于函数插值和求解嵌入界面问题，将分析和数值实验都推广到了三维情形，得到了和二维情形几乎一致的结果，并且在三维情形下，数值实验显示，由于收敛阶的提高，各向异性加密所带来的计算量的节省更加显著.（第7章）
6.对时谐Maxwell方程的棱单元离散格式进行了初步的基于边的误差分析.针对奇性问题简单的数值实验表明，各向异性加密方法对于电磁波方程也具有显著节省自南度、提高收敛阶的效果.（附录A）