【摘 要】
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在这篇博士学位论文中,我们研究泛函在无穷远处的临界群C(f,∞)的计算问题,以及所得结果对半线性、拟线性椭圆边值问题的应用.我们首先对有限维空间上的C-泛函建立两个引理,
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在这篇博士学位论文中,我们研究泛函在无穷远处的临界群C<,*>(f,∞)的计算问题,以及所得结果对半线性、拟线性椭圆边值问题的应用.我们首先对有限维空间上的C<1>-泛函建立两个引理,它们实际上完全描述了有上界或有下界的泛函在无穷远处的行为.利用这两个引理,在Bartsch-Li建立的在无穷远处的Gromoll-Meyer理论的基础上,我们研究一类渐近二次泛函在无穷远处的临界群与它在无穷远处的Morse指标和零度的关系,得到类似于孤立临界点处的临界群的相应结果.接下来,我们从Morse理论的角度来考察著名的Lyapunov-Schmidt约化方法,证明了原泛函与约化后的泛函在无穷远处的临界群是同构的.于是结合上面的两个引理,我们能精确地计算原泛函在无穷远处的临界群.这些结果属于局部Morse理论的范畴.在后半部分,我们运用上面的抽象结果,以及大范围Morse理论和其他临界点理论,研究一些半线性椭圆共振问题的多重解的存在性,以及一些渐近线性或超线性p-Laplacian方程的解的存在性或多重性.我们的结果大大改进了近期文献中的一些工作.
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