【摘 要】
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低秩矩阵优化问题在统计、控制与系统识别、机器学习、信号与图像处理、组合优化、金融、量子计算等诸多领域具有广泛而重要的应用.本论文基于秩函数的因子变分刻画,提出了低秩矩阵优化的列l2,0正则因子模型,并研究了求解这类非凸非光滑优化问题的有效算法,以此来丰富低秩矩阵优化的计算方法.论文首先通过研究列l2,0正则因子模型的MPEC形式的全局精确罚,导出一族等价的DC正则代理;然后研究了DC正则代理模型、
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低秩矩阵优化问题在统计、控制与系统识别、机器学习、信号与图像处理、组合优化、金融、量子计算等诸多领域具有广泛而重要的应用.本论文基于秩函数的因子变分刻画,提出了低秩矩阵优化的列l2,0正则因子模型,并研究了求解这类非凸非光滑优化问题的有效算法,以此来丰富低秩矩阵优化的计算方法.论文首先通过研究列l2,0正则因子模型的MPEC形式的全局精确罚,导出一族等价的DC正则代理;然后研究了DC正则代理模型、列l2,0正则因子模型、以及Frobenius范数正则因子模型的稳定点集的性质及它们全局最优解集间的等价性,并刻画列l2,0正则和Frobenius范数正则因子模型的局部最优解集间的等价性;在此基础上,建立了三种正则因子模型的稳定点到真实解的误差界、并刻画了它们的目标函数在其全局最优解集上的指数1/2的Kurdyka-Lojasiewicz（KL）性质.这些工作详见论文的第三章.论文的第四章提出了求解列l2,0正则因子模型的两种交替极小化算法（PAM和HPAM）,并针对光滑且梯度Lipschitz连续的损失函数,证实这两种算法所产生的迭代点序列整体收敛到稳定点,同时将两种算法应用于求解非均匀采样的矩阵填充问题.通过与求解Frobenius范数正则因子模型的ALS算法和求解最大范数正则凸模型的ADMM在合成和真实数据的测试比较,表明PAM和HPAM无论是根据计算时间、还是解的质量都具有更好的性能.论文第五章基于等价DC正则代理、通过每步应用对偶半光滑牛顿法求解带邻近项的加权l2正则问题提出了邻近交替极小化算法（PAMSN）.对此算法,文中证明了所产生的迭代点列整体收敛到代理问题的稳定点,并证实当极限点的最小非零元大于某个门槛值时,它也是列l2,0正则因子问题的稳定点.通过将此算法应用于求解非均匀采样矩阵填充问题、并与第四章提出的PAM和HPAM进行数值比较,表明算法PAMSN产生的解通常具有更好的质量,尽管所需的计算时间会比PAM和HPAM多.
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