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“数学广角”是人教版小学数学教材特有的单元。因为是新增设的内容，所以可以借鉴的教学经验和指导方法比较少，在教学实践中也出现了一些偏差：由于目标不明，有的把“数学广角”上成了简单的游戏活动课或传统的应用题教学课；由于思维含量比较高，有的上完课后有很大一部分学生作业不会……这说明有不少具体问题需要进一步明确。如：目标如何定位?与传统的应用题教学究竟有怎样的关系?教材的编排特点能给我们什么启示……笔者通过进一步研读《数学课程标准(实验稿)》(以下简称《标准》)及人教版实验教材，对“数学广角”的教学目标、教学内容进行梳理和分析，试图结合一些教学实践对这一内容的教材编排谈一些认识与思考，以期抛砖引玉。
一、课程目标与定位
我们知道，数学思想方法是数学知识的重要组成部分，也是一个人数学素养的基本内容。《标准》在总体目标中也明确指出：“通过义务教育阶段的数学学习，使学生能够获得适应未来社会生活和进一步发展所必需的重要数学知识以及基本的数学思想方法与必要的应用技能。”因此，使每位学生能初步感受一些基本的数学思想方法是“数学广角”的主要教学目标之一。
《标准》在教材编写建议中明确提出：“根据学生已有经验、心理发展规律以及所学内容的特点，一些重要的数学概念与数学思想应采用逐步渗透、深化、螺旋上升的方式编排。”基于这样的指导意义，人教版实验教材关于“数学广角”单元的编排思路，主要是通过一些比较简单的事例渗透一些重要的数学思想方法，让学生在解决问题的过程中主动尝试从数学的角度寻求解决问题的策略，经历猜想、实验、推理等数学探索活动的过程，逐步增加学生解决实际问题的经验和能力，体会一些重要的数学思想方法。
二、与传统应用题教学的关系
“数学广角”不同于传统的应用题教学，它并不是传统意义上应用题教学的代名词。传统的应用题虽然也注重联系实际，但主要是作为帮助学生理解数学知识的一种手段，呈现的大多是答案唯一的问题，往往缺乏开放性。传统的应用题也重视培养学生解决简单问题的能力，但主要是看能否解答书上的问题，教学中更多关注的是学生的解题能力，学生的解题过程很大程度上成了“理解数量关系——搜寻记忆的图式——运用对应图式作解答”的一个过程。而“数学广角”强调体验和抽象的过程，呈现的问题更具有开放性与挑战性。在解决问题的过程中，学生不能依靠简单的模仿和记忆，而是需要积极思考，不断对信息进行加工与处理，通过观察、操作、猜想、实验、抽象等一系列的数学活动，使他们在提高数学思维水平的同时，体会到一些重要的数学思想方法。例如三年级上册的“数学广角”，教材安排了有关衣服的搭配问题：有2件上装和3件下装，让学生找出不同的穿法；讨论有关中国队参加世界杯足球赛时，小组比赛的场次问题：4个国家一共要踢几场比赛?教材利用学生身边的事例引出数学问题，使学生通过观察、猜测、操作、交流等活动，找出简单事物的排列数和组合数。同时，初步培养学生观察、操作、分析及推理的能力和有序地、全面地思考问题的能力，增强用数学方法解决实际问题的意识。
三、教材的编排特点及启示
人教版宴验教材除了重视在基础知识的教学中加强渗透外，还在每一册专门增设“数学广角”单元，向学生呈现一些重要的数学思想方法。具体编排如下表：
册数 单元数 内容
第一册 第五单元 分类
第二册 第八单元 找规律
第三册 第八单元 简单的排列组合逻辑推理
第四册 第九单元 找规律
第五册 第九单元 排列组合
第六册 第九单元 重叠问题、等量代换
第七册 第七单元 运筹学
第八册 第八单元 植树问题
第九册 第七单元 编码问题
第十册 第七单元 找次品
第十一册 第七单元 鸡兔同笼问题
第十二册 第五单元 抽屉原理
笔者发现“数学广角”在每一个学段都有不同的要求。在第一学段要求以“操作实践”为主题，考虑到这一阶段学生储备的数学知识比较零碎，已有的生活经验不够丰富，因此引导学生通过“操作实践”的活动来展开探究，使他们体验到现实生活中隐含着数学知识，同时初步培养他们观察、操作及归纳推理的能力。第二学段要求以“抽象建模”为主题，考虑到学生经过第一阶段的学习，已有了一定的数学知识和解决简单问题的经验，也有了一定的逻辑思维能力，因此在继续强调实践与经验的基础上，增强“抽象建模”的要求。这样，不仅使学生理解并初步掌握一些数学思想与模型，而且提高了他们用数学知识解决实际问题的能力，逐步形成有序、严密抽象思考问题的意识和习惯。
另外，人教版教材编排这些内容有以下一些特点，通过对这些特点的进一步分析和梳理，从中获得了不少启示。
1 密切联系生活。
启示之一：教学要基于学生的生活
翻开教材我们不难发现，“数学广角”的内容都是源于学生熟悉的生活事例。如在联欢会装饰中寻找规律、在服装搭配中渗透排列组合思想、在烙饼和烧水中渗透运筹思想、在猜书活动中培养合情推理能力、在邮政编码与身份证号码中感悟编码思想等，使原来比较抽象、深奥的数学思想方法有了丰富的现实背景。情境中的元素、课后的练习题，也都是学生在生活中比较熟悉的、生动有趣的素材。如第三册教材“数学广角”的练习题呈现了穿衣服、乒乓球比赛、拍球游戏等问题情境；第七册教材通过烙饼、沏茶的问题解决体会运筹思想后，设计了厨师炒菜、感冒吃药的练习；第十一册教材学习鸡兔同笼问题后，在练习中安排了租船、植树活动、篮球赛记分等习题……这样编排体现了“学生的数学学习内容应是现实的、有意义的、富有挑战性的”理念，使数学更贴近学生的生活实际，有利于激发他们对数学的好奇心和求知欲，帮助他们建构知识、加深理解。同时，也启示我们：有效的数学学习活动应建立在学生已有的生活经验基础上，教师的“教”应该基于学生的生活经验进行。
根据小学生的心理特点和认知规律可知，小学生很容易对比较熟悉的、现实且有意义的学习材料产生学习积极性，进而能深入探究，在深刻理解数学思想方法的同时，还可以逐步提高数学思维能力。为了能更清楚地说明上述观点，现以第五册“数学广角”的例1(排列组合)为例：
师：这是小红的妈妈为小红准备的一些衣裤(2件上装，3条裤子)。妈妈让小红自己搭配着穿，怎么知道有几种不同的穿法呢?你能帮帮她吗?
生：试试看不就知道了。
师：请每位同学自己动手摆一摆服装图片，你能搭配出几种不同的穿法?(学生动手操作，教师巡视指导)
师：把你的搭配方法告诉小组同学。看一看，谁能把所有的穿法都搭配出来?(学生合作交流) 生1：我们组认为有6种穿法。先确定第1件衣服。用它分别与3条裤子搭配，这是3种穿法；然后再来确定第2件衣服，用它也与3条裤子分别搭配，这又是3种穿法，所以共有6种穿法。
生2：我们组也认为有6种穿法。先确定第1条裤子分别配2件上衣，这是2种穿法；再用第2条裤子分别配2件上衣，又是2种穿法；最后用第3条裤子来搭配2件上衣，还是2种穿法，所以一共有2 2 2=6(种)穿法。
生1：还可以用算式2×3=6(种)表示
生2：不用摆，连线也可以的。
一个搭配衣裤的生活问题，巧妙地把学生带入到了美丽的数学课堂，使学生积极地投身于数学思考与合作交流之中。这样的教学，源于学生的生活实际，符合学生的认知水平，有利于数学活动的有效开展。实践证明，这样的教学激发了学生内在的求知欲，通过操作、观察、交流等活动，不仅使他们获取了六种不同的搭配方法，而且理解了有序思考、全面考虑问题的数学思考方法，为提高学生的数学能力奠定了基础。
2 突出解决问题。
启示之二：让学生经历探索数学知识的过程
围绕问题的解决，让学生经历探索数学的过程，进而使学生理解数学思想方法和提高数学思维能力，这是人教版小学数学宴验教材编排“数学广角”的又一特点。解决问题是数学活动的核心，但解决问题并不等于解题。对学生的发展而言，解决问题的核心是需要学生通过观察、思考、猜测、交流、推理等富有思维成分的活动来弄明事理，同时可以培养学生从数学的角度提出问题、理解问题的意识和能力，学会与人合作、分享，帮助他们形成一些基本的解题策略。比如：结合重叠问题渗透集合思想；结合植树问题、鸡兔同笼问题培养学生有序地、全面地思考问题的意识，使他们体会到解题策略的多样化；通过找次品的问题来渗透优化思想，扩充分析问题的思考方法等。下面以第八册教材“数学广角”的例1为例：
这一例题是关于一条路上两端都要栽树的植树问题，教材用四幅图来呈现学生探索解决问题的思考过程。我们发现，教材在编排时十分注意给学生提供积极思考、充分参与数学活动的时间和空间，使学生有更多的机会去亲历探索、操作实践，与同学交流和分享。同时，也很明确地告诉我们，在教学时要力求体现“问题情境——建立数学模型——解释、应用与拓展”的模式。
我们知道，数学思想方法是一种基于数学知识又高于数学知识的隐}生数学知识，而小学生的思维又以具体形象思维为主，所以如果在教学中不注重引导学生亲历数学探究的全过程，很容易造成学生学习后大部分作业不会做的现象。因此，教学时教师要关注学生的认知起点和教学的落脚点，为学生构建一个亲身经历探索数学知识的平台，通过在解决问题中展开观察、操作、猜测、实验、推理与交流等数学活动，感受数学思想方法，提高他们的数学思维能力和解决问题的能力。《标准》也明确强调：“学习数学知识应从学生已有的生活经验出发，让学生亲自经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与运用的过程。”可见，让学生亲历探索数学知识的过程不仅是一种教学方式，而且是一个教学目标，还是一种教学理念。因此，教师要充分尊重学生的主体地位，改变以往单一、被动的接受式学习方式，倡导具有“自主、合作、探究”特征的学习方式，培养学生的数学能力和创新精神。
3 注重直观手段。
启示之三：加强直观形象思维对学生学习数学的作用
“数学广角”的内容编排非常强调利用直观手段来帮助学生理解问题情境，感悟思想方法，提高学习效率。比如：第三册教材安排了摆数字卡片和握手的情境来体现简单的排列组合；第五册教材利用连线的方式来呈现搭配衣裤的有序思考；第六册教材利用集合圈把两个课外小组的关系直观地表达出来，利用天平的原理来帮助学生体会等量代换的思想方法；第八册教材利用线段图来揭示植树问题的一般规律；第十册教材利用列表、画图等方式帮助学生抽象地分析如何找次品等。从儿童思维的特点来看：小学生的思维是以具体形象思维为主，并逐步向抽象逻辑思维过渡。但是，这时学生的思维还是直接与感性经验、形象材料相联系的，需要直观手段的支持。而我们在教学中时常会忽视直观形象思维对学生学习数学的作用，使学生感到数学是枯燥、无趣和难以理解的，出现了学习热情与学习效率低下的情况。因此，关注学生的形象思维能力，是帮助他们学习抽象数学知识的前提。由此可见，教师在教学过程中要经常利用实物、教具、图表、生活经验、幽默语言等直观教学手段来帮助学生学习数学。直观教学手段除了能更好地集中学生的注意力，引导学生更好地感知事物，加深对数学思想方法的理解及记忆以外，还能启发他们积极思考，培养猜测实验、分析推理的能力和探索精神。
“数学广角”虽然在整个小学数学教学中所占的比例不是很大，但它对学生数学能力的提高与后续发展中的作用不容忽视。我们只有通过不断研读新教材、实践新理念，才能把握住课程改革的脉搏，才能有效地实现教学相长，真正让课堂焕发出生命的光彩。
一、课程目标与定位
我们知道，数学思想方法是数学知识的重要组成部分，也是一个人数学素养的基本内容。《标准》在总体目标中也明确指出：“通过义务教育阶段的数学学习，使学生能够获得适应未来社会生活和进一步发展所必需的重要数学知识以及基本的数学思想方法与必要的应用技能。”因此，使每位学生能初步感受一些基本的数学思想方法是“数学广角”的主要教学目标之一。
《标准》在教材编写建议中明确提出：“根据学生已有经验、心理发展规律以及所学内容的特点，一些重要的数学概念与数学思想应采用逐步渗透、深化、螺旋上升的方式编排。”基于这样的指导意义，人教版实验教材关于“数学广角”单元的编排思路，主要是通过一些比较简单的事例渗透一些重要的数学思想方法，让学生在解决问题的过程中主动尝试从数学的角度寻求解决问题的策略，经历猜想、实验、推理等数学探索活动的过程，逐步增加学生解决实际问题的经验和能力，体会一些重要的数学思想方法。
二、与传统应用题教学的关系
“数学广角”不同于传统的应用题教学，它并不是传统意义上应用题教学的代名词。传统的应用题虽然也注重联系实际，但主要是作为帮助学生理解数学知识的一种手段，呈现的大多是答案唯一的问题，往往缺乏开放性。传统的应用题也重视培养学生解决简单问题的能力，但主要是看能否解答书上的问题，教学中更多关注的是学生的解题能力，学生的解题过程很大程度上成了“理解数量关系——搜寻记忆的图式——运用对应图式作解答”的一个过程。而“数学广角”强调体验和抽象的过程，呈现的问题更具有开放性与挑战性。在解决问题的过程中，学生不能依靠简单的模仿和记忆，而是需要积极思考，不断对信息进行加工与处理，通过观察、操作、猜想、实验、抽象等一系列的数学活动，使他们在提高数学思维水平的同时，体会到一些重要的数学思想方法。例如三年级上册的“数学广角”，教材安排了有关衣服的搭配问题：有2件上装和3件下装，让学生找出不同的穿法；讨论有关中国队参加世界杯足球赛时，小组比赛的场次问题：4个国家一共要踢几场比赛?教材利用学生身边的事例引出数学问题，使学生通过观察、猜测、操作、交流等活动，找出简单事物的排列数和组合数。同时，初步培养学生观察、操作、分析及推理的能力和有序地、全面地思考问题的能力，增强用数学方法解决实际问题的意识。
三、教材的编排特点及启示
人教版宴验教材除了重视在基础知识的教学中加强渗透外，还在每一册专门增设“数学广角”单元，向学生呈现一些重要的数学思想方法。具体编排如下表：
册数 单元数 内容
第一册 第五单元 分类
第二册 第八单元 找规律
第三册 第八单元 简单的排列组合逻辑推理
第四册 第九单元 找规律
第五册 第九单元 排列组合
第六册 第九单元 重叠问题、等量代换
第七册 第七单元 运筹学
第八册 第八单元 植树问题
第九册 第七单元 编码问题
第十册 第七单元 找次品
第十一册 第七单元 鸡兔同笼问题
第十二册 第五单元 抽屉原理
笔者发现“数学广角”在每一个学段都有不同的要求。在第一学段要求以“操作实践”为主题，考虑到这一阶段学生储备的数学知识比较零碎，已有的生活经验不够丰富，因此引导学生通过“操作实践”的活动来展开探究，使他们体验到现实生活中隐含着数学知识，同时初步培养他们观察、操作及归纳推理的能力。第二学段要求以“抽象建模”为主题，考虑到学生经过第一阶段的学习，已有了一定的数学知识和解决简单问题的经验，也有了一定的逻辑思维能力，因此在继续强调实践与经验的基础上，增强“抽象建模”的要求。这样，不仅使学生理解并初步掌握一些数学思想与模型，而且提高了他们用数学知识解决实际问题的能力，逐步形成有序、严密抽象思考问题的意识和习惯。
另外，人教版教材编排这些内容有以下一些特点，通过对这些特点的进一步分析和梳理，从中获得了不少启示。
1 密切联系生活。
启示之一：教学要基于学生的生活
翻开教材我们不难发现，“数学广角”的内容都是源于学生熟悉的生活事例。如在联欢会装饰中寻找规律、在服装搭配中渗透排列组合思想、在烙饼和烧水中渗透运筹思想、在猜书活动中培养合情推理能力、在邮政编码与身份证号码中感悟编码思想等，使原来比较抽象、深奥的数学思想方法有了丰富的现实背景。情境中的元素、课后的练习题，也都是学生在生活中比较熟悉的、生动有趣的素材。如第三册教材“数学广角”的练习题呈现了穿衣服、乒乓球比赛、拍球游戏等问题情境；第七册教材通过烙饼、沏茶的问题解决体会运筹思想后，设计了厨师炒菜、感冒吃药的练习；第十一册教材学习鸡兔同笼问题后，在练习中安排了租船、植树活动、篮球赛记分等习题……这样编排体现了“学生的数学学习内容应是现实的、有意义的、富有挑战性的”理念，使数学更贴近学生的生活实际，有利于激发他们对数学的好奇心和求知欲，帮助他们建构知识、加深理解。同时，也启示我们：有效的数学学习活动应建立在学生已有的生活经验基础上，教师的“教”应该基于学生的生活经验进行。
根据小学生的心理特点和认知规律可知，小学生很容易对比较熟悉的、现实且有意义的学习材料产生学习积极性，进而能深入探究，在深刻理解数学思想方法的同时，还可以逐步提高数学思维能力。为了能更清楚地说明上述观点，现以第五册“数学广角”的例1(排列组合)为例：
师：这是小红的妈妈为小红准备的一些衣裤(2件上装，3条裤子)。妈妈让小红自己搭配着穿，怎么知道有几种不同的穿法呢?你能帮帮她吗?
生：试试看不就知道了。
师：请每位同学自己动手摆一摆服装图片，你能搭配出几种不同的穿法?(学生动手操作，教师巡视指导)
师：把你的搭配方法告诉小组同学。看一看，谁能把所有的穿法都搭配出来?(学生合作交流) 生1：我们组认为有6种穿法。先确定第1件衣服。用它分别与3条裤子搭配，这是3种穿法；然后再来确定第2件衣服，用它也与3条裤子分别搭配，这又是3种穿法，所以共有6种穿法。
生2：我们组也认为有6种穿法。先确定第1条裤子分别配2件上衣，这是2种穿法；再用第2条裤子分别配2件上衣，又是2种穿法；最后用第3条裤子来搭配2件上衣，还是2种穿法，所以一共有2 2 2=6(种)穿法。
生1：还可以用算式2×3=6(种)表示
生2：不用摆，连线也可以的。
一个搭配衣裤的生活问题，巧妙地把学生带入到了美丽的数学课堂，使学生积极地投身于数学思考与合作交流之中。这样的教学，源于学生的生活实际，符合学生的认知水平，有利于数学活动的有效开展。实践证明，这样的教学激发了学生内在的求知欲，通过操作、观察、交流等活动，不仅使他们获取了六种不同的搭配方法，而且理解了有序思考、全面考虑问题的数学思考方法，为提高学生的数学能力奠定了基础。
2 突出解决问题。
启示之二：让学生经历探索数学知识的过程
围绕问题的解决，让学生经历探索数学的过程，进而使学生理解数学思想方法和提高数学思维能力，这是人教版小学数学宴验教材编排“数学广角”的又一特点。解决问题是数学活动的核心，但解决问题并不等于解题。对学生的发展而言，解决问题的核心是需要学生通过观察、思考、猜测、交流、推理等富有思维成分的活动来弄明事理，同时可以培养学生从数学的角度提出问题、理解问题的意识和能力，学会与人合作、分享，帮助他们形成一些基本的解题策略。比如：结合重叠问题渗透集合思想；结合植树问题、鸡兔同笼问题培养学生有序地、全面地思考问题的意识，使他们体会到解题策略的多样化；通过找次品的问题来渗透优化思想，扩充分析问题的思考方法等。下面以第八册教材“数学广角”的例1为例：
这一例题是关于一条路上两端都要栽树的植树问题，教材用四幅图来呈现学生探索解决问题的思考过程。我们发现，教材在编排时十分注意给学生提供积极思考、充分参与数学活动的时间和空间，使学生有更多的机会去亲历探索、操作实践，与同学交流和分享。同时，也很明确地告诉我们，在教学时要力求体现“问题情境——建立数学模型——解释、应用与拓展”的模式。
我们知道，数学思想方法是一种基于数学知识又高于数学知识的隐}生数学知识，而小学生的思维又以具体形象思维为主，所以如果在教学中不注重引导学生亲历数学探究的全过程，很容易造成学生学习后大部分作业不会做的现象。因此，教学时教师要关注学生的认知起点和教学的落脚点，为学生构建一个亲身经历探索数学知识的平台，通过在解决问题中展开观察、操作、猜测、实验、推理与交流等数学活动，感受数学思想方法，提高他们的数学思维能力和解决问题的能力。《标准》也明确强调：“学习数学知识应从学生已有的生活经验出发，让学生亲自经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与运用的过程。”可见，让学生亲历探索数学知识的过程不仅是一种教学方式，而且是一个教学目标，还是一种教学理念。因此，教师要充分尊重学生的主体地位，改变以往单一、被动的接受式学习方式，倡导具有“自主、合作、探究”特征的学习方式，培养学生的数学能力和创新精神。
3 注重直观手段。
启示之三：加强直观形象思维对学生学习数学的作用
“数学广角”的内容编排非常强调利用直观手段来帮助学生理解问题情境，感悟思想方法，提高学习效率。比如：第三册教材安排了摆数字卡片和握手的情境来体现简单的排列组合；第五册教材利用连线的方式来呈现搭配衣裤的有序思考；第六册教材利用集合圈把两个课外小组的关系直观地表达出来，利用天平的原理来帮助学生体会等量代换的思想方法；第八册教材利用线段图来揭示植树问题的一般规律；第十册教材利用列表、画图等方式帮助学生抽象地分析如何找次品等。从儿童思维的特点来看：小学生的思维是以具体形象思维为主，并逐步向抽象逻辑思维过渡。但是，这时学生的思维还是直接与感性经验、形象材料相联系的，需要直观手段的支持。而我们在教学中时常会忽视直观形象思维对学生学习数学的作用，使学生感到数学是枯燥、无趣和难以理解的，出现了学习热情与学习效率低下的情况。因此，关注学生的形象思维能力，是帮助他们学习抽象数学知识的前提。由此可见，教师在教学过程中要经常利用实物、教具、图表、生活经验、幽默语言等直观教学手段来帮助学生学习数学。直观教学手段除了能更好地集中学生的注意力，引导学生更好地感知事物，加深对数学思想方法的理解及记忆以外，还能启发他们积极思考，培养猜测实验、分析推理的能力和探索精神。
“数学广角”虽然在整个小学数学教学中所占的比例不是很大，但它对学生数学能力的提高与后续发展中的作用不容忽视。我们只有通过不断研读新教材、实践新理念，才能把握住课程改革的脉搏，才能有效地实现教学相长，真正让课堂焕发出生命的光彩。