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函数，与我们的生活息息相关，也是初高中数学中的重要内容，甚至其蕴涵的思想方法贯穿整个高中数学的始终，是高中数学的一条主线。但是，由于初高中数学教材存在许多“脱节”的知识，而且初高中学生存在一定程度的认知差异，造成许多高一学生在学习函数时，导致不理想的学习效果。因此，本文拟从初高中函数教学的区别与联系进行探讨，从而更好地实现初高中函数教学的有效衔接.
一、初高中函数的教学现状
1.课程目标的区别
初中函数的内容主要在人教版《义务教育数学课程标准（2011版）》中的八年级下册第十九章《一次函数》、九年级上册第二十二章《二次函数》以及九年级下册第二十六章《反比例函数》。高中函数的内容主要在人教版《普通高中课程标准实验教科书A版》必修一中的第一章《集合与函数概念》、第二章《基本初等函数》、第三章《函数的应用》以及必修四中的第一章《三角函数》。高中函数是对初中函数更深层次的学习，初高中函数在概念、性质、图像、应用及思维等方面都有很大差异。
初中函数的教学目标是“通过分析实际问题中的变量关系，得到相应的一次函数。”“函数是描述变化的一种数学工具，学习二次函数和反比例函数的图像和性质，利用它们来表示某些问题中的数量关系，解决一些实际问题，进一步提高对函数的认识和应用能力。”高中函数的教学目标是“函数是描述现实世界中变化规律的数学模型，运用集合与对应的语言，在初中学习的基础上，进一步刻画函数的概念;通过观察、分析、概括，从不同的角度学习函数的基本性质;在解决问题的过程中感受函数的思想方法和广泛应用。”“通过具体实例学习三种基本而又重要的函数：指数函数、对数函数和幂函数，了解这三种函数的特征与性质，并利用它们解决身边以及其他学科中的相关问题。”初高中函数的教学目标重点都是突出概念，由概念的引入，进而探究其性质、特征以及蕴含的思想方法。显然，高中函数教学目标是建立在对初中函数具有基本认知的基础之上，对高中生的要求更高。
2.课程内容的区别
初中函数只涉及到三种最简单的函数：一次函数、二次函数和反比例函数。知识点比较单一，而且中考考查函数的难度逐年减弱，因而教学强度也相应减弱，只要求学生能够运用上述函数解决一些简单的实际问题。高中函数涉及到的内容比较广泛，主要有：集合观点下的函数“对应说”定义、分段函数、函数的多种性质、指数函数、对数函数、幂函数、三角函数，以及和上述函数有密切联系的其它知识，比如数列、函数与方程。下面从定义、符号、性质和数学思想四个方面进行阐述初高中函数内容的区别。
初中教材给出函数的描述性定义，即“变化过程中的两个变量之间的依赖关系”，即“变量说”。该定义强调的是一个变量随着另一个变量的变化而变化，当一个变量确定时，另一个变量也随之确定。例如，白菜价格2元/斤，那么顾客购买1斤需付2元，购买2斤需付4元，这是明显的单值对应关系，相对形象，易理解。在普通高中课程标准实验教科书中，有关函数的内容是先从更精准的抽象性定义开始的，即“对应说”，它是建立在集合论的基础上，强调的是两个非空数集之间的对应关系，比初中函数定义更进了一步，重点突出抽象思维，也为以后学习映射的概念作准备。定义的深化，体现的也是数学发展运动的思想。
数学有别于其它学科，它需要一套独特的语言系统，因此会产生相应的数学符号，比如关于函数的符号，初中阶段只用x表示自变量，y表示因变量，从而建立自变量x与因变量之间的对应关系。而高中阶段用y=f（x）表示函数，大部分高一学生对这个高度抽象的函数符号的内涵理解不够深刻到位，导致往后的学习出现障碍。笔者在所教的两个班级中采取口头调查，结果如下：能够准确说出字母f是“对应法则”的含义，约占40%;能够说出f（x）与f（2）之间的区别，约占60%;能够说出f（x）的表示方式可用解析式、图象、表格等，约占55%;能够准确说出初中函数定义和高中函数定义，约占50%。由此表明，高一学生对函数符号f（x）的理解普遍不到位。因此，函数符号f（x）的教学，教师必须首先站在学生已有的认知基础上，再利用直观的例子，让学生观察、感受、比较，进而理解它的内在含义。
高中函数的性质，是教学的重难点内容，也是高考考查的重点内容。比如，函数的单调性、奇偶性、极值、最值、零点等，在实际中有着比较广泛的应用。事实上，初中函数所讲授的性质，较为单一，主要着重于函数的单调性，并且采用“非符号化的描述”语言，很直观：在某个定义域D内，从左往右，图象“上升”或“下降”，即y随着x的增大而增大或减小。高中函数的单调性，从“非符号化的描述”转变为“符号化的描述”，即对任意的x1f（x2），则f（x）在定义域D内单调递增或递减。在这里，很明显将初中的“看图说话”转变成“符号表述”，是形象思维到抽象思维的过渡。在高中函数单调性的教学过程中，可以采用“数形结合”的方法，使学生从中发现不同之处，掌握变化规律，从而提升抽象思维能力。再比如，函数的奇偶性，初中函数尚未涉及，但已学习过轴对称和中心对称的知识，因此，也可以采用“数形结合”的方法，初步让学生体验“奇偶函数”的概念，进而揭示“符号化”的定义：对任意x∈D，D关于原点对称，若f（-x）=f（x），则称f（x）为偶函数;对任意x∈D，D关于原点对称，若f（-x）=-f（x），则称f（x）为奇函数.符号化表述，十分抽象，因此采用“数形结合”过渡的方式，显得尤为重要。在学习高中函数的其它性质时，也需要注重初高中函数内在区别与联系，找出它们的异同点，从而顺利实现初高中教学衔接。
著名数学家菲利克斯·克莱因在《高观点下的初等数学》中指出，观点越高，事物越简单。数学思想往往蕴含在数学知识和方法中，但又高于数学知识和方法，是更高层次的抽象和概括。在高中数学教学中，不仅要注重数学知识和方法的传授，而且也要注重数学思想的贯穿与渗透，让学生感悟数学思想的魅力。初中函数比较注重“数形结合”的思想，比如在学习二次函数y=ax2 bx c（a≠0）時，当a>0时，函数开口向上;a<0时，函数开口向下，学生已经掌握了这个知识点，但是，函数开口的大小与二次项系数a存在怎样的关系？可以进一步利用两个图象进行比较分析.在讲授指数函数、对数函数和幂函数时，也可以利用数形结合的思想，让学生在“数”与“形”之间切换。那么，高中数学还有三大思想，分别是函数与方程思想、分类讨论思想和转化及化归思想。在教学过程中，应当特别注意初高中的衔接与切换，注意数学思想在概念的建构、在知识的结构、在阶段目标的达成中，充分让学生亲身体验数学思想的运用. 3.初高中函数的联系
著名数学家菲利克斯·克莱因认为，函数是数学的“灵魂”，应该成为中学数学的“基石”，应该把代数、几何等方面的知识，通过几何的形式用以函数为中心的观念综合起来。由此可知，函数在整个中学数学中的重要地位不言而喻。初中学习的函数主要包括：正比例函数、反正比例函数、一次函数和二次函数。高中学习的函数主要包括：指數函数、对数函数、幂函数和抽象函数。初中函数是高中函数的基础，它们不存在本质差别。但是，高中函数比初中更抽象更繁杂，图象往往也是非线性的，性质也更加多样化。函数在实际的生活、生产中，都有广泛的应用。在高中数学教学中，更应当注重初高中函数两者的内在联系。
二、学习方法的现状
笔者注意到，部分高一学生在学习函数时，采用的方法依然比较陈旧传统，比如预习教材的定义、性质和例题、专心听老师讲课、课后做作业和练习.平时做习题时，常常遇到比较棘手的问题，但没有深入研究探导，总是认为高中函数难学，于是考试成绩不理想.出现这种状况的原因之一，就是缺乏对初高中函数区别与联系以及本质的认识，从而延续以往的学习方法，思维层次依然停留在初中阶段，导致无法深入学习函数的内容.针对学生的学习方法，教师应当改善教学方法，以使两者相互补充与融合。总体来看，初中函数更受学生欢迎，因为它更切合学生的求知欲与认识心理，而学习高中函数更多地是“被动学习”，从而造成一定的心理压力。
三、促进函数教学有效衔接的建议
函数的教学在初高中都占据十分重要的地位，但是，它们在课程目标、课程内容和学习方法甚至教学方法上，都存在很大的差异。从我们的高一学生学习函数知识的效果上来看，他们对高中函数知识掌握得并不理想，在初高中函数的衔接点上，表现得并不顺畅，认识也不够充分。因此，为了提升学生学习函数的积极性，我们有必要做好衔接措施，提升学习效果，达成教学目标。
1.抓住函数定义的本质，从内容上实现衔接
初中函数的定义，主要从“变量说”的角度入手，这是很明显的单值对应方式，比较直观形象，还处于感性认知范畴，初中生相对容易理解与接受。例如，一支铅笔价格为1.5元，那么购买1支，需付1.5元，购买2支，需付1.5×2=3元，购买8支，需付1.5×8=12元。高中函数的定义，主要从“对应说”的角度考虑，从一个变量到另一个变量，起作用的是对应法则，强调对应关系，一一对应或者多对一的关系，相对抽象，属于理性认知范畴，学生比较难以理解与接受。例如，一个学生从家里骑自行车出发到学校，途中有加速，减速，停留，那么该学生所走过的路程s与时间t的关系也是函数关系，可用图象法表示，也可用解析法表示，但并没有那么明显。在教学过程，教师需要抓住函数定义的本质，明确两者的异同，从学生实际出发，把定义的异同作为教学的根本。
2.重视数学思想方法的衔接
数学思想是整个数学大厦的主心骨，也是数学教学的灵魂，离开了数学思想，只注重细枝末节，就谈不上真正意义上的教学。中学数学思想主要包括数形结合、函数与方程思想，分类讨论思想、转化与化归思想。教师在函数教学过程中，要注意渗透这些思想方法，让学生深刻领悟本质。教师应当深挖学生的潜在思维能力，从数学思想上发掘教材所蕴含的思想方法，再依据教材内容进行教学设计，特别需要强调初高中函数的衔接点，提高学生对函数的认识，从而深刻掌握函数的内容。例如，在讲授幂函数y=xa时，当然要以准确的图象为主，结合图象，运用多媒体技术，现场制作相关图象，从a=0，1，2，3画起，逐步过渡到。
3.高一阶段以学生体验教学为主，逐步过渡到理论教学
在高一函数的教学过程中，许多教师采取先入为主的方法，让学生感受高中函数与初中函数的巨大差别，从而激起学生的学习兴趣，引起学生的高度重视。但是，由于高一学生的思维还停留在初中阶段，思维切换并没有那么顺畅，因此，在教学初期，应以感受体验为主，通过比较观察的方法，同时通过多媒体技术进行现场作图。随着教学的推进，学生抽象思维的提升，逐步过渡到理论上的教学，这样可以避免学生认知上的混乱。
函数作为初高中数学教学的一个非常重要的内容，是高考内容的压轴戏，它在现代生产技术中的运用也非常广泛。在初高中都学习函数知识，但两者在目标和内容等方面有很大的差异，因此对于高一学生来说，要想从初中函数顺利过渡到高中函数，作为教师，就要研究初高中函数的区别与联系，从而更好地服务于教学。本文正是从这个角度出发，对初高中函数的异同进行了分析和讨论，期望能对我们的教学起到一定的作用。
【注：本文系廉江市中小学教育科学“十三五”规划课题“初高中数学衔接性问题研究”（课题批准号：2019LJYB048）的研究成果】
参考文献：
[1] 关晓贞. 新课程下初中和高中函数概念教学衔接的研究[J]. 中国知网，2009.
[2] 龚雷，诸杰锋，陈斌.初高中数学衔接日历[M].浙江：浙江大学出版社，2019.
[3] 菲利克斯·克莱因.高观点下的初等数学[M].上海：复旦大学出版社，2008.
[4] 吴勇贫.对新课程标准下初高中数学教学的衔接的思考[J].数学通报，2006.
[5] 黄建中.例谈新课程背景下高初中数学教学的衔接[J].数学通报，2006.
一、初高中函数的教学现状
1.课程目标的区别
初中函数的内容主要在人教版《义务教育数学课程标准（2011版）》中的八年级下册第十九章《一次函数》、九年级上册第二十二章《二次函数》以及九年级下册第二十六章《反比例函数》。高中函数的内容主要在人教版《普通高中课程标准实验教科书A版》必修一中的第一章《集合与函数概念》、第二章《基本初等函数》、第三章《函数的应用》以及必修四中的第一章《三角函数》。高中函数是对初中函数更深层次的学习，初高中函数在概念、性质、图像、应用及思维等方面都有很大差异。
初中函数的教学目标是“通过分析实际问题中的变量关系，得到相应的一次函数。”“函数是描述变化的一种数学工具，学习二次函数和反比例函数的图像和性质，利用它们来表示某些问题中的数量关系，解决一些实际问题，进一步提高对函数的认识和应用能力。”高中函数的教学目标是“函数是描述现实世界中变化规律的数学模型，运用集合与对应的语言，在初中学习的基础上，进一步刻画函数的概念;通过观察、分析、概括，从不同的角度学习函数的基本性质;在解决问题的过程中感受函数的思想方法和广泛应用。”“通过具体实例学习三种基本而又重要的函数：指数函数、对数函数和幂函数，了解这三种函数的特征与性质，并利用它们解决身边以及其他学科中的相关问题。”初高中函数的教学目标重点都是突出概念，由概念的引入，进而探究其性质、特征以及蕴含的思想方法。显然，高中函数教学目标是建立在对初中函数具有基本认知的基础之上，对高中生的要求更高。
2.课程内容的区别
初中函数只涉及到三种最简单的函数：一次函数、二次函数和反比例函数。知识点比较单一，而且中考考查函数的难度逐年减弱，因而教学强度也相应减弱，只要求学生能够运用上述函数解决一些简单的实际问题。高中函数涉及到的内容比较广泛，主要有：集合观点下的函数“对应说”定义、分段函数、函数的多种性质、指数函数、对数函数、幂函数、三角函数，以及和上述函数有密切联系的其它知识，比如数列、函数与方程。下面从定义、符号、性质和数学思想四个方面进行阐述初高中函数内容的区别。
初中教材给出函数的描述性定义，即“变化过程中的两个变量之间的依赖关系”，即“变量说”。该定义强调的是一个变量随着另一个变量的变化而变化，当一个变量确定时，另一个变量也随之确定。例如，白菜价格2元/斤，那么顾客购买1斤需付2元，购买2斤需付4元，这是明显的单值对应关系，相对形象，易理解。在普通高中课程标准实验教科书中，有关函数的内容是先从更精准的抽象性定义开始的，即“对应说”，它是建立在集合论的基础上，强调的是两个非空数集之间的对应关系，比初中函数定义更进了一步，重点突出抽象思维，也为以后学习映射的概念作准备。定义的深化，体现的也是数学发展运动的思想。
数学有别于其它学科，它需要一套独特的语言系统，因此会产生相应的数学符号，比如关于函数的符号，初中阶段只用x表示自变量，y表示因变量，从而建立自变量x与因变量之间的对应关系。而高中阶段用y=f（x）表示函数，大部分高一学生对这个高度抽象的函数符号的内涵理解不够深刻到位，导致往后的学习出现障碍。笔者在所教的两个班级中采取口头调查，结果如下：能够准确说出字母f是“对应法则”的含义，约占40%;能够说出f（x）与f（2）之间的区别，约占60%;能够说出f（x）的表示方式可用解析式、图象、表格等，约占55%;能够准确说出初中函数定义和高中函数定义，约占50%。由此表明，高一学生对函数符号f（x）的理解普遍不到位。因此，函数符号f（x）的教学，教师必须首先站在学生已有的认知基础上，再利用直观的例子，让学生观察、感受、比较，进而理解它的内在含义。
高中函数的性质，是教学的重难点内容，也是高考考查的重点内容。比如，函数的单调性、奇偶性、极值、最值、零点等，在实际中有着比较广泛的应用。事实上，初中函数所讲授的性质，较为单一，主要着重于函数的单调性，并且采用“非符号化的描述”语言，很直观：在某个定义域D内，从左往右，图象“上升”或“下降”，即y随着x的增大而增大或减小。高中函数的单调性，从“非符号化的描述”转变为“符号化的描述”，即对任意的x1
著名数学家菲利克斯·克莱因在《高观点下的初等数学》中指出，观点越高，事物越简单。数学思想往往蕴含在数学知识和方法中，但又高于数学知识和方法，是更高层次的抽象和概括。在高中数学教学中，不仅要注重数学知识和方法的传授，而且也要注重数学思想的贯穿与渗透，让学生感悟数学思想的魅力。初中函数比较注重“数形结合”的思想，比如在学习二次函数y=ax2 bx c（a≠0）時，当a>0时，函数开口向上;a<0时，函数开口向下，学生已经掌握了这个知识点，但是，函数开口的大小与二次项系数a存在怎样的关系？可以进一步利用两个图象进行比较分析.在讲授指数函数、对数函数和幂函数时，也可以利用数形结合的思想，让学生在“数”与“形”之间切换。那么，高中数学还有三大思想，分别是函数与方程思想、分类讨论思想和转化及化归思想。在教学过程中，应当特别注意初高中的衔接与切换，注意数学思想在概念的建构、在知识的结构、在阶段目标的达成中，充分让学生亲身体验数学思想的运用. 3.初高中函数的联系
著名数学家菲利克斯·克莱因认为，函数是数学的“灵魂”，应该成为中学数学的“基石”，应该把代数、几何等方面的知识，通过几何的形式用以函数为中心的观念综合起来。由此可知，函数在整个中学数学中的重要地位不言而喻。初中学习的函数主要包括：正比例函数、反正比例函数、一次函数和二次函数。高中学习的函数主要包括：指數函数、对数函数、幂函数和抽象函数。初中函数是高中函数的基础，它们不存在本质差别。但是，高中函数比初中更抽象更繁杂，图象往往也是非线性的，性质也更加多样化。函数在实际的生活、生产中，都有广泛的应用。在高中数学教学中，更应当注重初高中函数两者的内在联系。
二、学习方法的现状
笔者注意到，部分高一学生在学习函数时，采用的方法依然比较陈旧传统，比如预习教材的定义、性质和例题、专心听老师讲课、课后做作业和练习.平时做习题时，常常遇到比较棘手的问题，但没有深入研究探导，总是认为高中函数难学，于是考试成绩不理想.出现这种状况的原因之一，就是缺乏对初高中函数区别与联系以及本质的认识，从而延续以往的学习方法，思维层次依然停留在初中阶段，导致无法深入学习函数的内容.针对学生的学习方法，教师应当改善教学方法，以使两者相互补充与融合。总体来看，初中函数更受学生欢迎，因为它更切合学生的求知欲与认识心理，而学习高中函数更多地是“被动学习”，从而造成一定的心理压力。
三、促进函数教学有效衔接的建议
函数的教学在初高中都占据十分重要的地位，但是，它们在课程目标、课程内容和学习方法甚至教学方法上，都存在很大的差异。从我们的高一学生学习函数知识的效果上来看，他们对高中函数知识掌握得并不理想，在初高中函数的衔接点上，表现得并不顺畅，认识也不够充分。因此，为了提升学生学习函数的积极性，我们有必要做好衔接措施，提升学习效果，达成教学目标。
1.抓住函数定义的本质，从内容上实现衔接
初中函数的定义，主要从“变量说”的角度入手，这是很明显的单值对应方式，比较直观形象，还处于感性认知范畴，初中生相对容易理解与接受。例如，一支铅笔价格为1.5元，那么购买1支，需付1.5元，购买2支，需付1.5×2=3元，购买8支，需付1.5×8=12元。高中函数的定义，主要从“对应说”的角度考虑，从一个变量到另一个变量，起作用的是对应法则，强调对应关系，一一对应或者多对一的关系，相对抽象，属于理性认知范畴，学生比较难以理解与接受。例如，一个学生从家里骑自行车出发到学校，途中有加速，减速，停留，那么该学生所走过的路程s与时间t的关系也是函数关系，可用图象法表示，也可用解析法表示，但并没有那么明显。在教学过程，教师需要抓住函数定义的本质，明确两者的异同，从学生实际出发，把定义的异同作为教学的根本。
2.重视数学思想方法的衔接
数学思想是整个数学大厦的主心骨，也是数学教学的灵魂，离开了数学思想，只注重细枝末节，就谈不上真正意义上的教学。中学数学思想主要包括数形结合、函数与方程思想，分类讨论思想、转化与化归思想。教师在函数教学过程中，要注意渗透这些思想方法，让学生深刻领悟本质。教师应当深挖学生的潜在思维能力，从数学思想上发掘教材所蕴含的思想方法，再依据教材内容进行教学设计，特别需要强调初高中函数的衔接点，提高学生对函数的认识，从而深刻掌握函数的内容。例如，在讲授幂函数y=xa时，当然要以准确的图象为主，结合图象，运用多媒体技术，现场制作相关图象，从a=0，1，2，3画起，逐步过渡到。
3.高一阶段以学生体验教学为主，逐步过渡到理论教学
在高一函数的教学过程中，许多教师采取先入为主的方法，让学生感受高中函数与初中函数的巨大差别，从而激起学生的学习兴趣，引起学生的高度重视。但是，由于高一学生的思维还停留在初中阶段，思维切换并没有那么顺畅，因此，在教学初期，应以感受体验为主，通过比较观察的方法，同时通过多媒体技术进行现场作图。随着教学的推进，学生抽象思维的提升，逐步过渡到理论上的教学，这样可以避免学生认知上的混乱。
函数作为初高中数学教学的一个非常重要的内容，是高考内容的压轴戏，它在现代生产技术中的运用也非常广泛。在初高中都学习函数知识，但两者在目标和内容等方面有很大的差异，因此对于高一学生来说，要想从初中函数顺利过渡到高中函数，作为教师，就要研究初高中函数的区别与联系，从而更好地服务于教学。本文正是从这个角度出发，对初高中函数的异同进行了分析和讨论，期望能对我们的教学起到一定的作用。
【注：本文系廉江市中小学教育科学“十三五”规划课题“初高中数学衔接性问题研究”（课题批准号：2019LJYB048）的研究成果】
参考文献：
[1] 关晓贞. 新课程下初中和高中函数概念教学衔接的研究[J]. 中国知网，2009.
[2] 龚雷，诸杰锋，陈斌.初高中数学衔接日历[M].浙江：浙江大学出版社，2019.
[3] 菲利克斯·克莱因.高观点下的初等数学[M].上海：复旦大学出版社，2008.
[4] 吴勇贫.对新课程标准下初高中数学教学的衔接的思考[J].数学通报，2006.
[5] 黄建中.例谈新课程背景下高初中数学教学的衔接[J].数学通报，2006.