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【摘要】课堂教学的有效性，离不开学生思维的多方面品质，而数学思维品质具有后天性，是在主体思维发展的进程中逐步形成和稳定的，因而在形成和发展时期具有可培养性和可变性。为此，教师在数学教学中更应以此为突破口，注重学生思维能力的培养，以学生灵动的思维带给课堂有效的教学。
【关键词】灵动；思维；课堂教学；有效
水是有灵性的，正是水的灵动赋予了江、河、湖、海别样的美的效果。再看我们的课堂教学，确实也该注入一些有灵性的元素来促使教学的效果朝着更优的方向发展。现代教育观点认为，数学教育主要是数学思维的教育，数学教学的过程是思维活动的过程。在课堂教学中，教师不仅要进行数学知识的传授，更应利用数学知识这个载体发展学生的思维能力，让学生掌握科学的思维方法，把思维能力的培养贯穿于教学的全过程，所以数学教学的有效性与学生的思维活动有着密切的关系。教师在数学教学中要重视对学生良好的思维品质的培养。
一、让思维更广阔一点
在数学教学过程中，数学思维的广阔性表现为在研究数学问题时，视野宽广、思路开阔，能从多方面、多角度去思考问题。不仅善于抓住某个问题最一般的基本框架，而且不会遗漏有关的重要细节和主要因素，善于对数学问题的特征、差异和隐含关系等进行具体分析，做出广泛的联想，能用各种不同的方法去处理和解决问题，并将它推广应用于解决类似问题。
教师在教学中要充分发掘一些数学问题的内在因素，引导学生从不同角度去思考、调动和选择与之相应的知识，采用多种方法或途径去解决问题或寻求某类问题解决的规律，开拓学生的解题思路，培养学生思维的广阔性。
例如，在测量一旗杆的高度时，既不能爬到杆顶上去测，也不能将杆拔下来测，用你所学的知识，说出几种解决这个问题的方法。本题是一道实际应用性问题，学生既可以利用解直角三角形的方法去求解，也可以利用相似三角形的方法解决。若采用解直角三角形的方法，学生通过一次测量即测出杆顶的仰角及观测点到旗杆的水平距离，利用三角函数就可计算出旗杆的高度；当杆周围有障碍物时，则可考虑进行两次测量的方法来求出旗杆的高度等；若采用相似三角形的方法，则可借助于木棒、人的身高、镜子等多种工具，利用相似三角形的性质就可以计算出旗杆的高度。
学生通过个人研究、合作学习等形式，不断探索解答本题的捷径，寻找出许多解答本题的方案，逐渐进入广阔思维的佳境，使思维的广阔性得到不断发展。这样既增长了知识，又培养了思维品质。所以，在教学中教师要有意识地引导学生一题多解，让学生用不同的思路、方法或途径去解决问题，培养学生思维的广阔性。
二、让思维更灵活一点
在数学教学中，思维的灵活性主要表现在善于运用辩证思维对具体问题作具体分析，善于根据情况的变化迅速确定解决问题的方法，从已知的条件结构和数学关系中找出新的数学关系，在隐蔽的形式中把握问题的实质，尤其是当思维受阻时，能从已知的条件与数学关系的特征中，通过类比、联想等方法寻找到解决问题的新方向与新方法。
一般的，教师的教法常常影响到学生的学法，为了培养学生的思维灵活性，应当增强数学教学的变化性。灵活多变的教学方法或方式对学生思维灵活性的培养起着潜移默化的重要作用。例如，在数学公式的教学中，要求学生掌握公式的各种变形，要让学生明白除了会直接运用公式计算外，还要会逆用公式，逆用公式常可进行一些简便计算，无形中也培养了学生思维的灵活性。另外，变式教学对于培养学生思维的灵活性也有很大的作用，学生从一题多变中深入思考，抓住问题的本质，掌握问题的发展规律，形成一种高层次的思维方法。而富有新意的学法指导能及时为学生注入灵活思维的活力。
例如，在“等分图形面积问题”的教学中，老师设计了如下几个问题：
1.给定一个三角形，你能画一条直线将这个三角形分成面积相等的两个部分吗？
2.给定一个平行四边形，你能画一条直线将这个平行四边形分成面积相等的两个部分吗？这样的直线可以画几条？
在解题时，学生容易想到三角形一边中线所在直线把三角形面积二等分；过平行四边形两条对角线交点的任意直线均能把平行四边形面积二等分。这样的直线可以画无数条。
3.给定一个梯形，你能画一条直线将这个梯形分成面积相等的两个部分吗？这样的直线可以画几条？
有了前面关于三角形和平行四边形面积二等分的结论做基础，学生比较容易探索出如下结论：
（1）梯形上、下底的中点的连线所在的直线即为所求（如图1）；
（2）取梯形ABCD中位线的中点O，过O作直线交AD、BC于点M、N，直线MN也二等分梯形ABCD的面积（如图2）；
（3）取CD中点E，联结AE并延长交BC的延长线于F，取BF中点为G，联结AG所在直线即为所求（如图3）；
（4）还可以取CD的中点E，过E作FG∥AB分别交BC、AD（或它们的延长线）于F、G两点，过平行四边形ABFG的中心O作直线MN使它与线段BF、AD同时相交即可（如图4）；
由此可知，平分梯形面积的直线有无数条。
通过有层次的过程性变式，使学生积累了一定的经验，最后探索出过梯形中位线中点的任意直线均平分梯形，从而培养了学生思维的灵活性。通过一题多变，学生在思维方法上根据需要随时进行转化和调节，将学到的知识、技能、技巧较好地进行学习的迁移和应用，不但能研究问题本身，而且能研究相关的其他问题。所以利用命题变换教学，对培养学生思维的灵活性具有独特的作用。
三、让思维更敏捷一点
在数学活动中，思维的敏捷性主要表现在能缩短运算环节和推理过程，直接得出结论，走非常规之路。运算环节或推理过程的缩短，表面上看来好像没有经过完整的推理，而采取了跳跃式，其实它还是一个完整的过程，是思维过程的高度简化，是长期积累产生的一种升华，同时它还清晰地触及到事物的本质。例如，含有30°角的直角三角形三边之比是1：：2；一次函数表达式中若一次项系数为1或-1时，直线与x轴所夹的锐角就是45°；等等，要让学生做到在读题目的条件时脑子里就要闪现出相关的结论，真正做到应用自如。
另外，在教学过程中，要尽量使学生在掌握数学概念、原理本质的前提下，提高所掌握的数学知识的抽象程度，这样检索的速度也就越快。
例如，在复习“中点四边形”时，针对学生概念模糊可预先设计如下问题：
（1）顺次联结任意四边形各边中点所得四边形是什么图形？
（2）若将“顺次联结任意四边形各边中点所得四边形”定义为这个四边形的“中点四边形”，试分别说出平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形、等腰梯形的中点四边形各是什么图形？
（3）分别说出对角线互相垂直、对角线相等的四边形的中点四边形又各是什么图形？
（4）由上述（1）、（2）、（3）的结论可知中点四边形的形状由原四边形的什么决定？
学生比较容易得出上述问题的结论，紧接着老师可以引导学生进行逆向提问：如果中点四边形分别是矩形、菱形、正方形，那么原四边形的对角线有何特征？
通过上述概念性变式，学生获得了多角度的理解。在弄清“中点四边形”概念内涵和外延的基础上，真正掌握了概念的本质属性，从而也提高了学生思维的敏捷性。教师在教学中要注重学生数学思维敏捷性的培养，要训练学生解决问题当机立断、急中生智的能力，善于舍弃多余的思维过程，使思维简约化或有适当的跳跃。
四、让思维更创新一点
我们知道，直觉对培养学生创造性思维能力有着极其重要的意义。任何创造过程，都要经历由直觉思维得出猜想，在这个思维过程中“会想”是至关重要的。爱因斯坦说：“想象比知识更重要，因为知识是有限的，而想象可以包罗整个宇宙。”所以，教师在传授知识的过程中，要鼓励学生“标新立异”“别出心裁”“妙思巧解”。利用命题变换教学，对培养学生思维的创造性具有极为有利的作用。
例如，（1）（如图5）在正方形ABCD中，E、F、G、H分别是正方形的边AD、BC、AB、DC上的点，EF⊥GH，那么EF与GH有何数量关系？试加以证明。
学生比较容易猜想出EF=GH，而边等通常是用三角形全等来说明，学生自然就想到了构造两直角三角形△EFM≌△GHN,从而获得结论EF=GH。
变式：（2）（如图6）若将正方形ABCD改为矩形ABCD，其余条件不变，设AB=m，AD=n，那么EF与GH的长度之间又有什么关系呢？并加以说明。
本题只是将条件中的正方形改成了矩形，解题的方法不变，正是因为边长发生了变化，所以（1）中的全等就变成了（2）中的相似，通过有层次的过程性变式，学生积累了一定的经验，从而探索出EF：GH=m：n。
创新的思维能力是在有意识地点点滴滴积累中形成的，学生创造性思维能力的培养，是一项复杂而系统的工程，需要我们在教学中不断探索、实践和总结。
只有思维畅通、方法得当，才能使学生的学习达到事半功倍的效果。在教学中，教师应该注重培养学生良好的思维品质，由教师启发引导，结合基础知识的学习及解决问题的训练，逐步地、有意识地培养学生的各项思维品质，让思维灵动起来，教学的效果也就逐步得到了优化。思维品质不是一朝一夕就能形成的，但只要根据学生的实际情况，通过不同的途径、策略和方法，坚持不懈，持之以恒，就必定会有所成效。
（作者单位：江苏省张家港市第八中学）
【关键词】灵动；思维；课堂教学；有效
水是有灵性的，正是水的灵动赋予了江、河、湖、海别样的美的效果。再看我们的课堂教学，确实也该注入一些有灵性的元素来促使教学的效果朝着更优的方向发展。现代教育观点认为，数学教育主要是数学思维的教育，数学教学的过程是思维活动的过程。在课堂教学中，教师不仅要进行数学知识的传授，更应利用数学知识这个载体发展学生的思维能力，让学生掌握科学的思维方法，把思维能力的培养贯穿于教学的全过程，所以数学教学的有效性与学生的思维活动有着密切的关系。教师在数学教学中要重视对学生良好的思维品质的培养。
一、让思维更广阔一点
在数学教学过程中，数学思维的广阔性表现为在研究数学问题时，视野宽广、思路开阔，能从多方面、多角度去思考问题。不仅善于抓住某个问题最一般的基本框架，而且不会遗漏有关的重要细节和主要因素，善于对数学问题的特征、差异和隐含关系等进行具体分析，做出广泛的联想，能用各种不同的方法去处理和解决问题，并将它推广应用于解决类似问题。
教师在教学中要充分发掘一些数学问题的内在因素，引导学生从不同角度去思考、调动和选择与之相应的知识，采用多种方法或途径去解决问题或寻求某类问题解决的规律，开拓学生的解题思路，培养学生思维的广阔性。
例如，在测量一旗杆的高度时，既不能爬到杆顶上去测，也不能将杆拔下来测，用你所学的知识，说出几种解决这个问题的方法。本题是一道实际应用性问题，学生既可以利用解直角三角形的方法去求解，也可以利用相似三角形的方法解决。若采用解直角三角形的方法，学生通过一次测量即测出杆顶的仰角及观测点到旗杆的水平距离，利用三角函数就可计算出旗杆的高度；当杆周围有障碍物时，则可考虑进行两次测量的方法来求出旗杆的高度等；若采用相似三角形的方法，则可借助于木棒、人的身高、镜子等多种工具，利用相似三角形的性质就可以计算出旗杆的高度。
学生通过个人研究、合作学习等形式，不断探索解答本题的捷径，寻找出许多解答本题的方案，逐渐进入广阔思维的佳境，使思维的广阔性得到不断发展。这样既增长了知识，又培养了思维品质。所以，在教学中教师要有意识地引导学生一题多解，让学生用不同的思路、方法或途径去解决问题，培养学生思维的广阔性。
二、让思维更灵活一点
在数学教学中，思维的灵活性主要表现在善于运用辩证思维对具体问题作具体分析，善于根据情况的变化迅速确定解决问题的方法，从已知的条件结构和数学关系中找出新的数学关系，在隐蔽的形式中把握问题的实质，尤其是当思维受阻时，能从已知的条件与数学关系的特征中，通过类比、联想等方法寻找到解决问题的新方向与新方法。
一般的，教师的教法常常影响到学生的学法，为了培养学生的思维灵活性，应当增强数学教学的变化性。灵活多变的教学方法或方式对学生思维灵活性的培养起着潜移默化的重要作用。例如，在数学公式的教学中，要求学生掌握公式的各种变形，要让学生明白除了会直接运用公式计算外，还要会逆用公式，逆用公式常可进行一些简便计算，无形中也培养了学生思维的灵活性。另外，变式教学对于培养学生思维的灵活性也有很大的作用，学生从一题多变中深入思考，抓住问题的本质，掌握问题的发展规律，形成一种高层次的思维方法。而富有新意的学法指导能及时为学生注入灵活思维的活力。
例如，在“等分图形面积问题”的教学中，老师设计了如下几个问题：
1.给定一个三角形，你能画一条直线将这个三角形分成面积相等的两个部分吗？
2.给定一个平行四边形，你能画一条直线将这个平行四边形分成面积相等的两个部分吗？这样的直线可以画几条？
在解题时，学生容易想到三角形一边中线所在直线把三角形面积二等分；过平行四边形两条对角线交点的任意直线均能把平行四边形面积二等分。这样的直线可以画无数条。
3.给定一个梯形，你能画一条直线将这个梯形分成面积相等的两个部分吗？这样的直线可以画几条？
有了前面关于三角形和平行四边形面积二等分的结论做基础，学生比较容易探索出如下结论：
（1）梯形上、下底的中点的连线所在的直线即为所求（如图1）；
（2）取梯形ABCD中位线的中点O，过O作直线交AD、BC于点M、N，直线MN也二等分梯形ABCD的面积（如图2）；
（3）取CD中点E，联结AE并延长交BC的延长线于F，取BF中点为G，联结AG所在直线即为所求（如图3）；
（4）还可以取CD的中点E，过E作FG∥AB分别交BC、AD（或它们的延长线）于F、G两点，过平行四边形ABFG的中心O作直线MN使它与线段BF、AD同时相交即可（如图4）；
由此可知，平分梯形面积的直线有无数条。
通过有层次的过程性变式，使学生积累了一定的经验，最后探索出过梯形中位线中点的任意直线均平分梯形，从而培养了学生思维的灵活性。通过一题多变，学生在思维方法上根据需要随时进行转化和调节，将学到的知识、技能、技巧较好地进行学习的迁移和应用，不但能研究问题本身，而且能研究相关的其他问题。所以利用命题变换教学，对培养学生思维的灵活性具有独特的作用。
三、让思维更敏捷一点
在数学活动中，思维的敏捷性主要表现在能缩短运算环节和推理过程，直接得出结论，走非常规之路。运算环节或推理过程的缩短，表面上看来好像没有经过完整的推理，而采取了跳跃式，其实它还是一个完整的过程，是思维过程的高度简化，是长期积累产生的一种升华，同时它还清晰地触及到事物的本质。例如，含有30°角的直角三角形三边之比是1：：2；一次函数表达式中若一次项系数为1或-1时，直线与x轴所夹的锐角就是45°；等等，要让学生做到在读题目的条件时脑子里就要闪现出相关的结论，真正做到应用自如。
另外，在教学过程中，要尽量使学生在掌握数学概念、原理本质的前提下，提高所掌握的数学知识的抽象程度，这样检索的速度也就越快。
例如，在复习“中点四边形”时，针对学生概念模糊可预先设计如下问题：
（1）顺次联结任意四边形各边中点所得四边形是什么图形？
（2）若将“顺次联结任意四边形各边中点所得四边形”定义为这个四边形的“中点四边形”，试分别说出平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形、等腰梯形的中点四边形各是什么图形？
（3）分别说出对角线互相垂直、对角线相等的四边形的中点四边形又各是什么图形？
（4）由上述（1）、（2）、（3）的结论可知中点四边形的形状由原四边形的什么决定？
学生比较容易得出上述问题的结论，紧接着老师可以引导学生进行逆向提问：如果中点四边形分别是矩形、菱形、正方形，那么原四边形的对角线有何特征？
通过上述概念性变式，学生获得了多角度的理解。在弄清“中点四边形”概念内涵和外延的基础上，真正掌握了概念的本质属性，从而也提高了学生思维的敏捷性。教师在教学中要注重学生数学思维敏捷性的培养，要训练学生解决问题当机立断、急中生智的能力，善于舍弃多余的思维过程，使思维简约化或有适当的跳跃。
四、让思维更创新一点
我们知道，直觉对培养学生创造性思维能力有着极其重要的意义。任何创造过程，都要经历由直觉思维得出猜想，在这个思维过程中“会想”是至关重要的。爱因斯坦说：“想象比知识更重要，因为知识是有限的，而想象可以包罗整个宇宙。”所以，教师在传授知识的过程中，要鼓励学生“标新立异”“别出心裁”“妙思巧解”。利用命题变换教学，对培养学生思维的创造性具有极为有利的作用。
例如，（1）（如图5）在正方形ABCD中，E、F、G、H分别是正方形的边AD、BC、AB、DC上的点，EF⊥GH，那么EF与GH有何数量关系？试加以证明。
学生比较容易猜想出EF=GH，而边等通常是用三角形全等来说明，学生自然就想到了构造两直角三角形△EFM≌△GHN,从而获得结论EF=GH。
变式：（2）（如图6）若将正方形ABCD改为矩形ABCD，其余条件不变，设AB=m，AD=n，那么EF与GH的长度之间又有什么关系呢？并加以说明。
本题只是将条件中的正方形改成了矩形，解题的方法不变，正是因为边长发生了变化，所以（1）中的全等就变成了（2）中的相似，通过有层次的过程性变式，学生积累了一定的经验，从而探索出EF：GH=m：n。
创新的思维能力是在有意识地点点滴滴积累中形成的，学生创造性思维能力的培养，是一项复杂而系统的工程，需要我们在教学中不断探索、实践和总结。
只有思维畅通、方法得当，才能使学生的学习达到事半功倍的效果。在教学中，教师应该注重培养学生良好的思维品质，由教师启发引导，结合基础知识的学习及解决问题的训练，逐步地、有意识地培养学生的各项思维品质，让思维灵动起来，教学的效果也就逐步得到了优化。思维品质不是一朝一夕就能形成的，但只要根据学生的实际情况，通过不同的途径、策略和方法，坚持不懈，持之以恒，就必定会有所成效。
（作者单位：江苏省张家港市第八中学）