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摘 要：数学教材中的“阅读与思考”材料旨在了解数学科学与人类发展之间的相互作用，寻求数学发展的历史轨迹，传递数学文化育人价值。笔者以斐波那契数列的介绍为例，进行了“阅读与思考”材料的教学探究，挖掘材料的数学育人功能。
关键词：阅读与思考;问题解决;兴趣培养;数学与美育
在新教材《普通高中教科书人教A版》中仍保留了“阅读与思考”栏目，并且在必修和选择性必修教材中共编入25篇阅读与思考材料。这些材料有的是介绍数学史，比如函数概念的发展历程、中外历史上的方程求解、向量及向量符号的由来、海伦与秦九韶等;有的是教学知识点的拓展，比如集合中元素的个数、几何命题与充分条件和必要条件、代数基本定理等;有的是学科交叉知识的运用，比如三角学与天文学、画法几何与蒙日、振幅、周期、频率、相位等。
数学教材中的“阅读与思考”材料旨在了解数学科学与人类发展之间的相互作用，寻求数学发展的历史轨迹，传递数学文化育人价值。但是“阅读与思考”栏目的阅读和教学，在不少教师心中却是仍未引起足够重视的荒野。笔者以斐波那契数列的介绍为例，进行了“阅读与思考”教学探究，挖掘材料的数学育人功能。斐波那契数列作为新旧教材中受青睐的探究性阅读材料，有助于培养学生阅读和问题解决能力、激发学生数学学习兴趣、发挥数学美育功能。
一、探究斐波那契数列，培养数学阅读和问题解决能力
（一）问题的提出：1202年，斐波那契《算盘全书》中提出了一个有趣的兔子繁殖问题：假设一对初生兔子要一个月才到成熟期，而一对成熟兔子每月会生一对兔子，那么，由一对初生兔子开始，12个月后会有多少对兔子呢？
（二）问题的解答：我们对兔子的繁殖做详细分析，很容易知道：第一个月这对兔子没长大，没有繁殖能力;第二个月小兔子长成大兔子;第三个月这对大兔子生下一对小兔子;第四个月大兔子继续生下一对小兔子，小兔子长成大兔子，如图所示，依次类推。
可以看出每个月兔子的总对数构成了一个数列，如下表：
（三）数列的引入：兔子总对数所组成的这个数列有非常明显的特征，即从第三项起，每一项都是前面相邻两项之和。这个数列以兔子繁殖问题而引入，故又称为“兔子数列”，指的是数列：1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、144、……，它的递推公式可以表达为 。
这个数列是意大利中世纪数学家列昂纳多·斐波那契在《算盘全书》中首次提出的，为了纪念该数学家，又称其为斐波那契数列。斐波那契数列在欧美可谓是人尽皆知，美国数学会从1963年起出版了以《斐波那契数列季刊》为名的一份数学杂志，用于专门刊载这方面的研究成果。
（四）设计意图：斐波那契在书中提出的兔子繁殖问题与实际的兔子繁殖情况有出入，是一个抽象化的数学问题。要解决这个问题，首先需要学生仔细阅读并分析清楚每个月兔子的生长情况，进而选取树状图和表格的形式发现规律、解决问题。学生在已知的问题情境中，经历分析问题和解决问题的过程，有助于培养其数学阅读和问题解决能力。
二、联系生活实际，激发数学学习兴趣
（一）大自然中的斐波那契数：在大自然中，斐波那契数广泛地存在着，大到星系和飓风，小到细胞分裂，都有斐波那契数列的存在。譬如，百合和蝴蝶花的花瓣数是5;蓝花耧斗菜、金凤花、飞燕草的花瓣数是8;翠雀花 花瓣数是13;金盏和玫瑰的花瓣数是21;紫宛的花瓣数是34、55或89。
更为大家所熟知的是向日葵花的斐波那契数。向日葵的花盘中有两组螺旋线，一组是按照顺时针方向盘绕，一组是按照逆时针方向盘绕，两组螺旋线彼此镶嵌，虽然向日葵的花盘有大有小，栽培品种也不相同，种子排列的顺时针和逆时针方向、螺旋線的数量也不尽相同，但是往往不会超出34和55，55和89或89和144这三组数字，其中前一个数字是顺时针方向盘绕的线数，后一个数字是逆时针方向盘绕的线数。而这三组数据的每组数据都是斐波那契数列中相邻的两个数。
不止向日葵懂得斐波那契数列，雏菊的花盘也有类似的数学模式，科学家们在植物的叶、枝、茎等排列中也发现了斐波那契数。植物的这些数学特征都是它们在大自然中长期适应和进化的结果，这已经成了植物生长发育的优化方式。
（二）设计意图：教师通过例举大自然中的斐波那契数，引导学生观察生活和自然，体会数学与自然的联系，进一步激发学生数学学习兴趣。
三、探究数列规律，发挥数学美育功能
（一）斐波那契数列与黄金分割：我们知道黄金分割是一种最能引起美感的分割比例。如果将一条线段分割为两部分，使较大部分与全长的比值等于较小部分与较大的比值，则这个比值就是黄金分割。
如图所示，若C为AB的黄金分割点，则有AC/AB=BC/AC。设AB的长为1，AC长为，则有，可解得。因此黄金分割的比值是，约等于0.618。
我们再来看一组数据：
不难发现，斐波那契数列中的前一项与后一项的比值越来越逼近黄金分割0.618。因此，斐波那契数列又被称为黄金数列。
“黄金分割”在人体结构、建筑物、国旗、绘画、优选法等体现美的共性上有很多的应用。譬如，完美人体的头顶到肚脐的距离/肚脐到脚底的距离=0.618;最协调的脸庞的眉毛到脖子的距离/头顶到脖子的距离=0.618;生活中拍照时，人物位于相框的黄金分割点处的位置时看起来最美观。
（二）斐波那契螺旋：如果我们将斐波那契数为边的正方形拼成一个长方形，在其中每一个正方形中画一个90度的扇形，连接起来的弧线，称之为斐波那契螺旋线。由前面的计算，我们知道斐波那契螺旋中两个相邻正方形边长之比都接近黄金分割。因此，斐波那契螺旋堪称是自然界最完美的经典黄金比例。
斐波那契螺旋线在自然界中大量存在，譬如苗木生长、向日葵种子排列规律和动物繁殖等都与斐波那契螺旋相关。此外，其在建筑、艺术、摄影、影视作品中也被广泛地使用，在断臂维纳斯、蒙娜丽莎等经典画作中都能找出斐波那契螺旋线。
（三）设计意图：亚里士多德曾经讲到：“虽然数学没有明显地提到善和美，但善和美也不能和数学完全分离。因为美的主要形式家是“秩序、匀称和确定性”，这些正是数学研究的原则。”斐波那契螺旋作为自然界最完美的经典黄金比例，其体现出数学的和谐、科学、规律之美是进行美育教育的良好载体。我们应当抓住这个载体，充分发挥数学的美育功能，通过斐波那契数的规律探究，结合经典著作的分析，促使学生对美的感受能够从感性走向理性。
“阅读与思考”作为教材中的对相关主干知识的补充，既可以单独研读，也可与主干知识融合，渗透其育人价值。对于数学史知识和数学家的介绍，可渗透数学文化，发挥数学文化育人价值，例如函数概念的发展历程、笛卡尔与解析几何等;对于有探究性质的材料，可作为提升学生阅读能力、思维能力、问题解决能力、数学学习兴趣的载体，例如斐波那契数列、中国古代数学家求数列和的方法;对于学科交叉知识，可作为学生跨学科融合学习的教育载体。虽然课标对“阅读与思考”没有具体要求，但是如果我们认真研磨、仔细解读，在教学中充分发挥其科学价值、人文价值、应用价值和美育价值，定会给课堂带来生机，让整个数学学习过程更加完整。
参考文献
[1]中华人民共和国.普通高中数学课程标准（2017年版）[S].北京：人民教育出版社，2018.
[2]管永建、张荣芳.对高中数学教材中“阅读材料”教学的尝试与思考[J].高中数学教与学，2014（10）：26-29.
[3]刘建永.对高中数学新教材“阅读与思考”的认识与教学建议[J].中学数学杂志，2008（7）：11-13.
[4]陈少旭.爱上数学[M].银川：阳光出版社，2018.8.
关键词：阅读与思考;问题解决;兴趣培养;数学与美育
在新教材《普通高中教科书人教A版》中仍保留了“阅读与思考”栏目，并且在必修和选择性必修教材中共编入25篇阅读与思考材料。这些材料有的是介绍数学史，比如函数概念的发展历程、中外历史上的方程求解、向量及向量符号的由来、海伦与秦九韶等;有的是教学知识点的拓展，比如集合中元素的个数、几何命题与充分条件和必要条件、代数基本定理等;有的是学科交叉知识的运用，比如三角学与天文学、画法几何与蒙日、振幅、周期、频率、相位等。
数学教材中的“阅读与思考”材料旨在了解数学科学与人类发展之间的相互作用，寻求数学发展的历史轨迹，传递数学文化育人价值。但是“阅读与思考”栏目的阅读和教学，在不少教师心中却是仍未引起足够重视的荒野。笔者以斐波那契数列的介绍为例，进行了“阅读与思考”教学探究，挖掘材料的数学育人功能。斐波那契数列作为新旧教材中受青睐的探究性阅读材料，有助于培养学生阅读和问题解决能力、激发学生数学学习兴趣、发挥数学美育功能。
一、探究斐波那契数列，培养数学阅读和问题解决能力
（一）问题的提出：1202年，斐波那契《算盘全书》中提出了一个有趣的兔子繁殖问题：假设一对初生兔子要一个月才到成熟期，而一对成熟兔子每月会生一对兔子，那么，由一对初生兔子开始，12个月后会有多少对兔子呢？
（二）问题的解答：我们对兔子的繁殖做详细分析，很容易知道：第一个月这对兔子没长大，没有繁殖能力;第二个月小兔子长成大兔子;第三个月这对大兔子生下一对小兔子;第四个月大兔子继续生下一对小兔子，小兔子长成大兔子，如图所示，依次类推。
可以看出每个月兔子的总对数构成了一个数列，如下表：
（三）数列的引入：兔子总对数所组成的这个数列有非常明显的特征，即从第三项起，每一项都是前面相邻两项之和。这个数列以兔子繁殖问题而引入，故又称为“兔子数列”，指的是数列：1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、144、……，它的递推公式可以表达为 。
这个数列是意大利中世纪数学家列昂纳多·斐波那契在《算盘全书》中首次提出的，为了纪念该数学家，又称其为斐波那契数列。斐波那契数列在欧美可谓是人尽皆知，美国数学会从1963年起出版了以《斐波那契数列季刊》为名的一份数学杂志，用于专门刊载这方面的研究成果。
（四）设计意图：斐波那契在书中提出的兔子繁殖问题与实际的兔子繁殖情况有出入，是一个抽象化的数学问题。要解决这个问题，首先需要学生仔细阅读并分析清楚每个月兔子的生长情况，进而选取树状图和表格的形式发现规律、解决问题。学生在已知的问题情境中，经历分析问题和解决问题的过程，有助于培养其数学阅读和问题解决能力。
二、联系生活实际，激发数学学习兴趣
（一）大自然中的斐波那契数：在大自然中，斐波那契数广泛地存在着，大到星系和飓风，小到细胞分裂，都有斐波那契数列的存在。譬如，百合和蝴蝶花的花瓣数是5;蓝花耧斗菜、金凤花、飞燕草的花瓣数是8;翠雀花 花瓣数是13;金盏和玫瑰的花瓣数是21;紫宛的花瓣数是34、55或89。
更为大家所熟知的是向日葵花的斐波那契数。向日葵的花盘中有两组螺旋线，一组是按照顺时针方向盘绕，一组是按照逆时针方向盘绕，两组螺旋线彼此镶嵌，虽然向日葵的花盘有大有小，栽培品种也不相同，种子排列的顺时针和逆时针方向、螺旋線的数量也不尽相同，但是往往不会超出34和55，55和89或89和144这三组数字，其中前一个数字是顺时针方向盘绕的线数，后一个数字是逆时针方向盘绕的线数。而这三组数据的每组数据都是斐波那契数列中相邻的两个数。
不止向日葵懂得斐波那契数列，雏菊的花盘也有类似的数学模式，科学家们在植物的叶、枝、茎等排列中也发现了斐波那契数。植物的这些数学特征都是它们在大自然中长期适应和进化的结果，这已经成了植物生长发育的优化方式。
（二）设计意图：教师通过例举大自然中的斐波那契数，引导学生观察生活和自然，体会数学与自然的联系，进一步激发学生数学学习兴趣。
三、探究数列规律，发挥数学美育功能
（一）斐波那契数列与黄金分割：我们知道黄金分割是一种最能引起美感的分割比例。如果将一条线段分割为两部分，使较大部分与全长的比值等于较小部分与较大的比值，则这个比值就是黄金分割。
如图所示，若C为AB的黄金分割点，则有AC/AB=BC/AC。设AB的长为1，AC长为，则有，可解得。因此黄金分割的比值是，约等于0.618。
我们再来看一组数据：
不难发现，斐波那契数列中的前一项与后一项的比值越来越逼近黄金分割0.618。因此，斐波那契数列又被称为黄金数列。
“黄金分割”在人体结构、建筑物、国旗、绘画、优选法等体现美的共性上有很多的应用。譬如，完美人体的头顶到肚脐的距离/肚脐到脚底的距离=0.618;最协调的脸庞的眉毛到脖子的距离/头顶到脖子的距离=0.618;生活中拍照时，人物位于相框的黄金分割点处的位置时看起来最美观。
（二）斐波那契螺旋：如果我们将斐波那契数为边的正方形拼成一个长方形，在其中每一个正方形中画一个90度的扇形，连接起来的弧线，称之为斐波那契螺旋线。由前面的计算，我们知道斐波那契螺旋中两个相邻正方形边长之比都接近黄金分割。因此，斐波那契螺旋堪称是自然界最完美的经典黄金比例。
斐波那契螺旋线在自然界中大量存在，譬如苗木生长、向日葵种子排列规律和动物繁殖等都与斐波那契螺旋相关。此外，其在建筑、艺术、摄影、影视作品中也被广泛地使用，在断臂维纳斯、蒙娜丽莎等经典画作中都能找出斐波那契螺旋线。
（三）设计意图：亚里士多德曾经讲到：“虽然数学没有明显地提到善和美，但善和美也不能和数学完全分离。因为美的主要形式家是“秩序、匀称和确定性”，这些正是数学研究的原则。”斐波那契螺旋作为自然界最完美的经典黄金比例，其体现出数学的和谐、科学、规律之美是进行美育教育的良好载体。我们应当抓住这个载体，充分发挥数学的美育功能，通过斐波那契数的规律探究，结合经典著作的分析，促使学生对美的感受能够从感性走向理性。
“阅读与思考”作为教材中的对相关主干知识的补充，既可以单独研读，也可与主干知识融合，渗透其育人价值。对于数学史知识和数学家的介绍，可渗透数学文化，发挥数学文化育人价值，例如函数概念的发展历程、笛卡尔与解析几何等;对于有探究性质的材料，可作为提升学生阅读能力、思维能力、问题解决能力、数学学习兴趣的载体，例如斐波那契数列、中国古代数学家求数列和的方法;对于学科交叉知识，可作为学生跨学科融合学习的教育载体。虽然课标对“阅读与思考”没有具体要求，但是如果我们认真研磨、仔细解读，在教学中充分发挥其科学价值、人文价值、应用价值和美育价值，定会给课堂带来生机，让整个数学学习过程更加完整。
参考文献
[1]中华人民共和国.普通高中数学课程标准（2017年版）[S].北京：人民教育出版社，2018.
[2]管永建、张荣芳.对高中数学教材中“阅读材料”教学的尝试与思考[J].高中数学教与学，2014（10）：26-29.
[3]刘建永.对高中数学新教材“阅读与思考”的认识与教学建议[J].中学数学杂志，2008（7）：11-13.
[4]陈少旭.爱上数学[M].银川：阳光出版社，2018.8.