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[摘 要]学生对圆形物体并不陌生，对圆的特征亦有初步感知。基于学生经验，设计有关车轮的备学问题，激活学生有关于圆的经验，并促使学生进行深度思考。“车轮为什么要做成圆形的？”这一朴素问题，直抵圆的本质属性。将圆的学习放在一个大问题背景之下，通过交流展示、质疑研讨，剖析车轮是圆形的原因和优势，从而有效突出圆“一中同长”的特质。
[关键词]准备先行 经验分享 问题研讨 反省总结 拓展延伸
[中图分类号] G623.5 [文献标识码] A [文章编号] 1007-9068（2016）01-006
【教学内容】苏教版五年级下册第85～97页的例1、例2和随后的“练一练”及练习十三的部分习题。
【教学目标】
1.使学生在观察、画图、操作等活动中感受并发现圆的有关特征，知道什么是圆的圆心、半径和直径;能借助工具画圆，能用圆规画指定大小的圆;会用圆的知识解释一些日常生活现象。
2.通过准备性活动，激活学生有关圆的经验，并让学生在活动中进一步积累认识圆的学习经验，增强空间观念。
3.使学生进一步体验图形与生活的联系，感受平面图形的学习价值，提高学生数学学习的兴趣和学好数学的自信心。
【教学重点】理解和掌握圆的特征，学会用圆规画圆的方法。
【教学难点】理解圆的有关概念，归纳圆的特征。
【教学过程】
一、备学先行——激活圆的各类经验
课前设计三个备学引导题：
1.观察车轮，试着用不同方法画出车轮外围的圆形，并说说怎样画圆更准确。
2.如果将车轮做成三角形、正方形、椭圆形等形状，会出现什么情况？请从数学的角度来分析。
3.提出三个有关圆的问题。
让学生课前独立完成备学作业，教师浏览学生的作业情况后进行教学的二度设计。
【设计意图：在生活中，圆随处可见，学生熟悉圆形物体，并对圆有初步的感知。以车轮问题作为切入点，激活了学生关于圆的经验，同时也促使学生进行深入思考。“车轮为什么要做成圆形的？”这一朴素的问题，直抵圆的本质属性。这样的备学，为学生的后续学习奠定了坚实的基础。】
二、经验分享——探索圆的主要特征
1.引出话题
师：说起圆，大家一定都不陌生，昨天我们还画了圆、剪了圆。生活中，圆随处可见，你能举两个例子吗？
生：碗、硬币、闹钟、旺仔牛奶罐……
师：生活中，人们经常把圆的东西说成是圆，区分得不太严格。比如，球、滚圆的苹果，人们常会说它们是圆的。但是，在数学上，“圆”特指平面图形。譬如，在纸上画的圆。
师（出示碗、硬币、闹钟、旺仔牛奶罐）：请你找出这些物体表面的圆。此时，我们只能说这些物体的某一个面是圆。
2.备学讨论
师：最近，楠楠家买了一辆新车。有一天，他突然问我：“为什么车轮是圆形的？”我当时就愣住了，车轮当然是圆形的，这还用问吗？要说理由，还真不太好说！但这确实是一个值得研究的问题，今天我们就重点来研究这个问题。关于汽车车轮的特点，我们前几天已经进行了的备学。现在，请四人为一组讨论备学作业，每个同学都要倾听其他同学的想法，并试着解决他们的问题。组长要分好工，召集大家提炼出典型的问题！
（学生分组讨论，试着提炼出主要的发现和问题）
3.交流展示
（1）分享画车轮外形的方法
师：请一个小组代表介绍画车轮的方法。
生1：可以沿着实物的边画，也可以徒手画，或者用圆规画。
师：怎样画更准确？
生1：用圆规画更准确。
师：怎样用圆规画圆呢？
生1：捏住圆规的柄，针尖定在纸上，两脚叉开一定距离，另一只脚旋转一周，就能画出一个圆。
师（示范画圆，假装不小心失败）：用圆规也不能成功画圆，问题可能出在哪里？
生1：圆规的两脚距离发生了变化或针尖移动了位置。
（学生演示用圆规画圆）
师：在画车轮外形的过程中，你能感受到车轮做成圆形的原因吗？
（2）指出圆的本质
师：如果车轮是三角形、正方形、椭圆形的，又会怎样呢？
（课件演示四种轮子的汽车行进的场景，让学生再次感悟）
生1：圆没有角，正方形、三角形有角。椭圆形虽然没有角，但一面长，一面短，不便于滚动。
生2：如果车轮做成正方形、三角形或椭圆形，车子在行进的过程中会高低不平、忽上忽下，而且前进的阻力会很大。如果车轮是圆形的，车子的轴都经过圆的中心，而圆心到圆周上的任意一点的距离都是相等的，所以在行进的过程中，车轴到地面的距离都是相等的，车子自然就能走得很平稳。
生3：由于圆上的各点到中心点（圆心）的距离相等，所以圆在滚动时，圆心在一条直线上运动，这样坐在车上的人就会觉得很平稳。由于正方形、椭圆形等边上各点到中心点的距离不一样，使得在运动过程中，中心点运动的路线不是一条直线，人坐在这样的车上就会感觉到颠簸。
（课件出示三角形、正方形、椭圆形、圆形等车轮形状图，引导学生观察这些图形，展示点到边的一些线段，让学生判断中心到边的距离是否都相等。通过对比，使学生理解圆的中心到边上任何一点的距离都相等。）
师（揭示圆心、半径的概念及字母表达式。让学生在圆中标出圆心，用字母O表示;画出一条半径，用字母r表示）：可以画多少条半径？它们的长度怎样呢？为什么？
生4：可以画无数条半径，它们的长度都相等。
生5：画圆时，圆规两脚间的距离不变，所以半径都相等。 师（揭示直径的概念，并用字母d表示直径）：直径可以画多少条？它们的长度怎样呢？为什么？
生6：直径有无数条，长度都相等。
师：请从数学角度说说为什么车轮是圆的。
生8：因为从圆心到圆上任意一点的距离都相等。
生9：因为半径都相等。
师： 两千年前，伟大的思想家墨子说过：“圆，一中同长也。”请读一读这句话，说一说“一中”指的是什么，“同长”指的是什么。
生10：“一中”指的是圆心，“同长”指的是从圆心到圆上各点的距离一样长。
师：“一中同长”高度概括了圆的特征。
（3）与以前学习过的平面图形进行对比
师（出示图形，引导学生比较）：圆跟我们以前学过的图形有怎样的联系？
生1：以前学过的图形都是直线图形，而圆是曲线图形，但它们都是平面图形。
【设计意图：介绍车轮画法以及由此引出的画圆过程，使学生初步感受到圆的特征。画圆时，圆规的针尖需要固定（即为定点），两脚间距离不变（即为定长）。借助车轮是三角形、正方形、椭圆形的假说，反向揭示了圆的特征。学生充分发表见解后，教师通过课件演示不同形状的车轮，让学生明白了车轮做成圆形的道理。最后，将各种车轮抽象成几何图形，对比各种图形中心到各边的距离，巧妙突出了圆“一中同长”的特征。】
三、问题研讨——凸显圆的本质属性
呈现学生备学中产生的主要问题。
问题1：怎样找到圆的直径呢？
学生动手操作，并汇报演示。
问题2：怎样找到圆的中心呢？
学生动手操作，并汇报交流。
生1：如果是圆纸片，只要对折两次就能找到圆心。
生2：如果不能对折，画两条直径，就能确定圆心，或者画一条直径，找到中点即为圆心。
师（随着学生回答，课件出示更多共性问题，如：圆的面积怎么计算？圆的周长怎么计算？圆周率是什么？……）：这些问题留给大家课后思考。
【设计意图：学习总是从产生疑问开始的。小组交流过程中，一些简单问题已解决;全班研讨时，一些共性的重要问题也基本解决。这时，教师要鼓励学生将心中的疑问提出来，针对典型的问题进行研讨。随着怎样确定圆的直径、圆心等问题的解决，学生对圆的特征会有更深层次的理解。】
四、反省总结——完善圆的知识结构
师：学习了圆，你有什么收获？
生1：我知道圆有无数条半径和直径，同一个圆的半径长度都相等，直径是半径的2倍。
师：“圆，一中同长也。”这句话反过来说是“一中同长，圆也”，对吗？
师（课件出示球体）：如果不限于平面内，球是不是也“一中同长”？在一个平面内，“一中同长”的就是圆，在立体空间里，“球”也是“一中同长”。数学就是这样严谨而又奇特！
【设计意图：总结能回顾所学知识，并促使知识形成体系。此处的反思，跳离了圆之本身，并随着对“一中同长，圆也”的辨析，将视野从平面的圆向立体的球延展。】
五、拓展延伸——开阔圆的知识视野
师（出示正方形车轮的自行车）：车轮一定要做成圆形吗？带有正方形车轮的自行车看上去有些不切实际，但实际上它仍可以驾驶，只是它在平坦的道路上有些“大材小用”了，它更适合在像齿轮状的非平坦道路上行驶。
师（出示太极图，如下图）：你见过这样的图吗？
师（出示大圆套小圆的图，图略）：小圆半径是3厘米，大圆半径是几厘米？直径呢？请大家课后思考。
【设计意图：课的结束并不意味着研究的终止。教师继续追问：“车轮一定要做成圆形吗？”这一问题变换了一种思路，为学生打开了新的视野。让学生课后继续研究数学名题，带着问题走出教室，课的张力可见一斑。】
【教后反思】
这是我第二次执教“圆的认识”，跟第一次相比，思路有了很大变化。第一次执教“圆的认识”时，我紧扣“一中同长”，突出了圆的本质特征。而这次，我将学习放在了一个“大问题”背景之下，通过分析车轮是圆形的优势，突出了圆“一中同长”的特质。
源于事实的剖析。从熟悉的车轮入手，让学生在画车轮、研究车轮的过程中掌握圆的特征，真正做到了“让数学源于生活”。画车轮时，因为车轮是实物，学生想出了不同的方法，师生重点研究用圆规画圆。画圆时，定点和定长的把握，正好与圆心和半径的特点吻合。为什么车轮是圆形的？对这一司空见惯现象的追问，打开了学生思维的闸门。随着其他形状车轮的假设和演示，学生在对比中再次认识到，长方形、三角形车轮都会使汽车在行进过程中产生颠簸，从而深刻领悟到圆形车轮的优势。
基于直观的抽象。将不同形状的车轮抽象成相应图形后追问：“为什么其他形状的车轮会产生颠簸？”能够引导学生从数学的角度去思考这一问题。学生在相互启发下发现，其他图形中心到边的距离并不完全相同，而圆的中心到边的距离都相等，这是圆形车轮行驶平稳的原因，也是圆的重要特征。从直观的车轮中抽象出数学问题，通过不断追问和对比，学生成功探索了圆的特征，建构了圆的模型。数学模型的建立，基于直观又超越了直观，这样的抽象是有根基的，这样的教学也是有深度的。
高于现象的追问。“一中同长”是圆的本质特征，也是本课的灵魂，但教者并未满足于此。总结后，教师继续追问：“‘圆，一中同长也。’这句话反过来说是‘一中同长，圆也’，对吗”？学生的视角立刻从平面走向了立体。整节课虽然一直在研究圆形车轮，课尾却突然剑走回锋——出示正方形车轮的自行车。“车轮一定要做成圆形吗？”这个问题打破了学生的思维定式，使他们认识到，在某种特定情况下，正方形车轮也能平稳行走。世间并无绝对之事，新奇的问题，打开了学生思维的另一扇窗。
（责编 金 铃）
[关键词]准备先行 经验分享 问题研讨 反省总结 拓展延伸
[中图分类号] G623.5 [文献标识码] A [文章编号] 1007-9068（2016）01-006
【教学内容】苏教版五年级下册第85～97页的例1、例2和随后的“练一练”及练习十三的部分习题。
【教学目标】
1.使学生在观察、画图、操作等活动中感受并发现圆的有关特征，知道什么是圆的圆心、半径和直径;能借助工具画圆，能用圆规画指定大小的圆;会用圆的知识解释一些日常生活现象。
2.通过准备性活动，激活学生有关圆的经验，并让学生在活动中进一步积累认识圆的学习经验，增强空间观念。
3.使学生进一步体验图形与生活的联系，感受平面图形的学习价值，提高学生数学学习的兴趣和学好数学的自信心。
【教学重点】理解和掌握圆的特征，学会用圆规画圆的方法。
【教学难点】理解圆的有关概念，归纳圆的特征。
【教学过程】
一、备学先行——激活圆的各类经验
课前设计三个备学引导题：
1.观察车轮，试着用不同方法画出车轮外围的圆形，并说说怎样画圆更准确。
2.如果将车轮做成三角形、正方形、椭圆形等形状，会出现什么情况？请从数学的角度来分析。
3.提出三个有关圆的问题。
让学生课前独立完成备学作业，教师浏览学生的作业情况后进行教学的二度设计。
【设计意图：在生活中，圆随处可见，学生熟悉圆形物体，并对圆有初步的感知。以车轮问题作为切入点，激活了学生关于圆的经验，同时也促使学生进行深入思考。“车轮为什么要做成圆形的？”这一朴素的问题，直抵圆的本质属性。这样的备学，为学生的后续学习奠定了坚实的基础。】
二、经验分享——探索圆的主要特征
1.引出话题
师：说起圆，大家一定都不陌生，昨天我们还画了圆、剪了圆。生活中，圆随处可见，你能举两个例子吗？
生：碗、硬币、闹钟、旺仔牛奶罐……
师：生活中，人们经常把圆的东西说成是圆，区分得不太严格。比如，球、滚圆的苹果，人们常会说它们是圆的。但是，在数学上，“圆”特指平面图形。譬如，在纸上画的圆。
师（出示碗、硬币、闹钟、旺仔牛奶罐）：请你找出这些物体表面的圆。此时，我们只能说这些物体的某一个面是圆。
2.备学讨论
师：最近，楠楠家买了一辆新车。有一天，他突然问我：“为什么车轮是圆形的？”我当时就愣住了，车轮当然是圆形的，这还用问吗？要说理由，还真不太好说！但这确实是一个值得研究的问题，今天我们就重点来研究这个问题。关于汽车车轮的特点，我们前几天已经进行了的备学。现在，请四人为一组讨论备学作业，每个同学都要倾听其他同学的想法，并试着解决他们的问题。组长要分好工，召集大家提炼出典型的问题！
（学生分组讨论，试着提炼出主要的发现和问题）
3.交流展示
（1）分享画车轮外形的方法
师：请一个小组代表介绍画车轮的方法。
生1：可以沿着实物的边画，也可以徒手画，或者用圆规画。
师：怎样画更准确？
生1：用圆规画更准确。
师：怎样用圆规画圆呢？
生1：捏住圆规的柄，针尖定在纸上，两脚叉开一定距离，另一只脚旋转一周，就能画出一个圆。
师（示范画圆，假装不小心失败）：用圆规也不能成功画圆，问题可能出在哪里？
生1：圆规的两脚距离发生了变化或针尖移动了位置。
（学生演示用圆规画圆）
师：在画车轮外形的过程中，你能感受到车轮做成圆形的原因吗？
（2）指出圆的本质
师：如果车轮是三角形、正方形、椭圆形的，又会怎样呢？
（课件演示四种轮子的汽车行进的场景，让学生再次感悟）
生1：圆没有角，正方形、三角形有角。椭圆形虽然没有角，但一面长，一面短，不便于滚动。
生2：如果车轮做成正方形、三角形或椭圆形，车子在行进的过程中会高低不平、忽上忽下，而且前进的阻力会很大。如果车轮是圆形的，车子的轴都经过圆的中心，而圆心到圆周上的任意一点的距离都是相等的，所以在行进的过程中，车轴到地面的距离都是相等的，车子自然就能走得很平稳。
生3：由于圆上的各点到中心点（圆心）的距离相等，所以圆在滚动时，圆心在一条直线上运动，这样坐在车上的人就会觉得很平稳。由于正方形、椭圆形等边上各点到中心点的距离不一样，使得在运动过程中，中心点运动的路线不是一条直线，人坐在这样的车上就会感觉到颠簸。
（课件出示三角形、正方形、椭圆形、圆形等车轮形状图，引导学生观察这些图形，展示点到边的一些线段，让学生判断中心到边的距离是否都相等。通过对比，使学生理解圆的中心到边上任何一点的距离都相等。）
师（揭示圆心、半径的概念及字母表达式。让学生在圆中标出圆心，用字母O表示;画出一条半径，用字母r表示）：可以画多少条半径？它们的长度怎样呢？为什么？
生4：可以画无数条半径，它们的长度都相等。
生5：画圆时，圆规两脚间的距离不变，所以半径都相等。 师（揭示直径的概念，并用字母d表示直径）：直径可以画多少条？它们的长度怎样呢？为什么？
生6：直径有无数条，长度都相等。
师：请从数学角度说说为什么车轮是圆的。
生8：因为从圆心到圆上任意一点的距离都相等。
生9：因为半径都相等。
师： 两千年前，伟大的思想家墨子说过：“圆，一中同长也。”请读一读这句话，说一说“一中”指的是什么，“同长”指的是什么。
生10：“一中”指的是圆心，“同长”指的是从圆心到圆上各点的距离一样长。
师：“一中同长”高度概括了圆的特征。
（3）与以前学习过的平面图形进行对比
师（出示图形，引导学生比较）：圆跟我们以前学过的图形有怎样的联系？
生1：以前学过的图形都是直线图形，而圆是曲线图形，但它们都是平面图形。
【设计意图：介绍车轮画法以及由此引出的画圆过程，使学生初步感受到圆的特征。画圆时，圆规的针尖需要固定（即为定点），两脚间距离不变（即为定长）。借助车轮是三角形、正方形、椭圆形的假说，反向揭示了圆的特征。学生充分发表见解后，教师通过课件演示不同形状的车轮，让学生明白了车轮做成圆形的道理。最后，将各种车轮抽象成几何图形，对比各种图形中心到各边的距离，巧妙突出了圆“一中同长”的特征。】
三、问题研讨——凸显圆的本质属性
呈现学生备学中产生的主要问题。
问题1：怎样找到圆的直径呢？
学生动手操作，并汇报演示。
问题2：怎样找到圆的中心呢？
学生动手操作，并汇报交流。
生1：如果是圆纸片，只要对折两次就能找到圆心。
生2：如果不能对折，画两条直径，就能确定圆心，或者画一条直径，找到中点即为圆心。
师（随着学生回答，课件出示更多共性问题，如：圆的面积怎么计算？圆的周长怎么计算？圆周率是什么？……）：这些问题留给大家课后思考。
【设计意图：学习总是从产生疑问开始的。小组交流过程中，一些简单问题已解决;全班研讨时，一些共性的重要问题也基本解决。这时，教师要鼓励学生将心中的疑问提出来，针对典型的问题进行研讨。随着怎样确定圆的直径、圆心等问题的解决，学生对圆的特征会有更深层次的理解。】
四、反省总结——完善圆的知识结构
师：学习了圆，你有什么收获？
生1：我知道圆有无数条半径和直径，同一个圆的半径长度都相等，直径是半径的2倍。
师：“圆，一中同长也。”这句话反过来说是“一中同长，圆也”，对吗？
师（课件出示球体）：如果不限于平面内，球是不是也“一中同长”？在一个平面内，“一中同长”的就是圆，在立体空间里，“球”也是“一中同长”。数学就是这样严谨而又奇特！
【设计意图：总结能回顾所学知识，并促使知识形成体系。此处的反思，跳离了圆之本身，并随着对“一中同长，圆也”的辨析，将视野从平面的圆向立体的球延展。】
五、拓展延伸——开阔圆的知识视野
师（出示正方形车轮的自行车）：车轮一定要做成圆形吗？带有正方形车轮的自行车看上去有些不切实际，但实际上它仍可以驾驶，只是它在平坦的道路上有些“大材小用”了，它更适合在像齿轮状的非平坦道路上行驶。
师（出示太极图，如下图）：你见过这样的图吗？
师（出示大圆套小圆的图，图略）：小圆半径是3厘米，大圆半径是几厘米？直径呢？请大家课后思考。
【设计意图：课的结束并不意味着研究的终止。教师继续追问：“车轮一定要做成圆形吗？”这一问题变换了一种思路，为学生打开了新的视野。让学生课后继续研究数学名题，带着问题走出教室，课的张力可见一斑。】
【教后反思】
这是我第二次执教“圆的认识”，跟第一次相比，思路有了很大变化。第一次执教“圆的认识”时，我紧扣“一中同长”，突出了圆的本质特征。而这次，我将学习放在了一个“大问题”背景之下，通过分析车轮是圆形的优势，突出了圆“一中同长”的特质。
源于事实的剖析。从熟悉的车轮入手，让学生在画车轮、研究车轮的过程中掌握圆的特征，真正做到了“让数学源于生活”。画车轮时，因为车轮是实物，学生想出了不同的方法，师生重点研究用圆规画圆。画圆时，定点和定长的把握，正好与圆心和半径的特点吻合。为什么车轮是圆形的？对这一司空见惯现象的追问，打开了学生思维的闸门。随着其他形状车轮的假设和演示，学生在对比中再次认识到，长方形、三角形车轮都会使汽车在行进过程中产生颠簸，从而深刻领悟到圆形车轮的优势。
基于直观的抽象。将不同形状的车轮抽象成相应图形后追问：“为什么其他形状的车轮会产生颠簸？”能够引导学生从数学的角度去思考这一问题。学生在相互启发下发现，其他图形中心到边的距离并不完全相同，而圆的中心到边的距离都相等，这是圆形车轮行驶平稳的原因，也是圆的重要特征。从直观的车轮中抽象出数学问题，通过不断追问和对比，学生成功探索了圆的特征，建构了圆的模型。数学模型的建立，基于直观又超越了直观，这样的抽象是有根基的，这样的教学也是有深度的。
高于现象的追问。“一中同长”是圆的本质特征，也是本课的灵魂，但教者并未满足于此。总结后，教师继续追问：“‘圆，一中同长也。’这句话反过来说是‘一中同长，圆也’，对吗”？学生的视角立刻从平面走向了立体。整节课虽然一直在研究圆形车轮，课尾却突然剑走回锋——出示正方形车轮的自行车。“车轮一定要做成圆形吗？”这个问题打破了学生的思维定式，使他们认识到，在某种特定情况下，正方形车轮也能平稳行走。世间并无绝对之事，新奇的问题，打开了学生思维的另一扇窗。
（责编 金 铃）