论文部分内容阅读
摘要：分类讨论思想是解决问题的一种逻辑方法，也是一种数学思想，这种思想在简化研究对象，发展思维方面起着重要作用。
关键词：分类，化归，综述
数学方法是研究数学学习和数学问题等活动的步骤、程序和格式，具有可操作性和具体性，而数学思想则是指贯穿于数学方法中的普遍原则、策略及规律，它具有普遍性与概括性。能否利用数学思想解答数学问题，是衡量数学能力和素养高低的重要指标，在高考中除考查基本知识、基本技能、基本方法的基础上也特别重视数学思想的考查。在高考中主要考查的数学思想有：函数与方程的思想，等价转化的思想，分类讨论的思想及数形结合的思想。以下就分类讨论思想谈一点浅薄的认识。
所谓分类讨论，就是在研究和解决数学问题时，当问题所给对象不能进行统一研究，我们就需要根据数学对象的本质属性的相同点和不同点，将对象区分为能用不同形式来解决的小问题，将这个小问题逐一解决，从而使整个问题得到解决，这一思想方法，我们称之为“分类讨论的思想”.有关分类讨论的思想的数学命题在高考试题中占有重要地位.
1. 分类讨论的思想方法是中学数学的基本方法之一，是历年高考的重点
⑴分类讨论的思想具有明显的逻辑思维的特点；
⑵分类讨论问题一般涵盖知识点较多，有利于对学生知识面的考察；
⑶解决分类讨论问题，需要学生具有一定的分析能力和分类技巧；
⑷分类讨论的思想与生产实践和高等数学都紧密相关.
2. 分类讨论的思想的本质
分类讨论思想的本质上是“化整为零，积零为整”，从而增加了题设条件的解题策略.
3. 运用分类讨论的思想解题的基本步骤
⑴确定讨论对象和确定研究的区域的全体范围；
⑵对所讨论的问题进行科学合理的分类（分类时需要做到不重复、不遗漏、标准统一、分层不越级）；
⑶逐类讨论：即对各类问题详细讨论，逐步解决；
⑷归纳总结，整合得出结论.
4. 明确分类讨论的思想的原因，有利于掌握分类讨论的思想方法解决问题，其主要原因有：
⑴由数学概念引起的分类讨论：如绝对值定义、等比数列的前n项和公式等等；
⑵由数学运算要求引起的分类讨论：如偶次方根非负、对数中的底数和真数的要求、不等式两边同乘以实数对不等号方向的影响等等；
⑶由函数的性质、定理、公式的限制引起的分类讨论；
⑷由几何图形中点、线、面的相对位置不确定引起的分类讨论；
⑸由参数的变化引起的分类讨论：某些含参数的问题，由于参数的取值不同会导致所得结果不同，或由于不同的参数值要运用不同的求解或证明方法；
⑹其他根据实际问题具体分析进行分类讨论，如排列、组合问题，实际应用题等.
5. 分类讨论思想的类型
⑴问题中的变量或含有需讨论的参数的，要进行分类讨论的；
⑵问题中的条件是分类给出的；
⑶解题过程不能统一叙述，必须分类讨论的；
⑷涉及几何问题时，由几何元素的形状、位置的变化需要分类讨论的.
下面谈谈分类讨论思想在解题过程中的应用：
例1、 解不等式
分析：由于实数的绝对值是分类定义的，因此要去绝对值首先应由 及 确定 的取值范围，然后求出零点 ，对未知数 进行分类讨论，去掉绝对值符号。
解：当 时，原不等式可化为： ，解之得 ；
当 时，原不等式可化为： ，解之得 ；
当 时，原不等式可化为： ，解之得 ；
综上所述，原不等式的解集为
例2、 已知：双曲线过点 和 ，它的一个焦点为 ，求它的另一个焦点的轨迹。
分析：由于双曲线的定义带有绝对值符号，所以应根据绝对值概念进行分类讨论。
解设双曲线的另一个焦点为 则有
（1） 时，则有 ，又 ，所以 ，即所求点 的轨迹为线段AB的垂直平分线（除去（1，0）点）。
（2） 时，则有 ，即所求 点的轨迹是以 为焦点，中心在（1，4），长轴为10的椭圆，（除去F），方程为
点评：以上两例由于数学概念本身是分类给出的，所以当应用这些概念解题时需分类讨论，这样才能得到正确的结论。
例3、 设数列 是由正数组成的等比数列， 是其前 项和，
证明：
分析：本题应根据等比数列求和公式的限制条件对 应分情况讨论。
解：设 的公比为 ，由题设知 ，
点评：本题分类讨论的原因是等比数列的求和公式本身是分类给出的，在利用这些公式解题时需分情况作出解答。
例4、已知椭圆标准方程为 ，椭圆的离心率为 ，短轴一个端点到右焦点的距离为 .
（1）求椭圆C的方程；
（2）设直线l与椭圆C交于A，B两点，坐标原点O到直线l的距离为 ，求 的面积的最大值.
分析：
圆锥曲线方程的确定要了解其中参数字母具有的几何意义，掌握字母间的基本关系.
解：
（1）设椭圆的半焦距为c，依题意 ，∴所求椭圆方程为 .
（2）设 ，.
①当 轴时， .
②当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为 .
由已知 ，得
把 代入椭圆方程，整理得，
当且仅当 ，即 时等号成立.当 时， ，综上所述 .
∴当|AB|最大时， 面积取得最大值为 。
点评：本题考查圆锥曲线的方程和直线与圆锥曲线间的位置关系.对于直线方程，根据斜率存在与否是本题产生讨论的原因。
在数学中，我们常常需要根据研究对象性质的差异，分各种不同情况予以考查.这种分类思考的方法是一种重要的数学思想方法，同时也是一种解题策略.
分类是按照数学对象的相同点和差异点，将数学对象区分为不同种类的思想方法，掌握分类的方法，领会其实质，对于加深基础知识的理解.提高分析问题、解决问题的能力是十分重要的.正确的分类必须是周全的，既不重复、也不遗漏.
关键词：分类，化归，综述
数学方法是研究数学学习和数学问题等活动的步骤、程序和格式，具有可操作性和具体性，而数学思想则是指贯穿于数学方法中的普遍原则、策略及规律，它具有普遍性与概括性。能否利用数学思想解答数学问题，是衡量数学能力和素养高低的重要指标，在高考中除考查基本知识、基本技能、基本方法的基础上也特别重视数学思想的考查。在高考中主要考查的数学思想有：函数与方程的思想，等价转化的思想，分类讨论的思想及数形结合的思想。以下就分类讨论思想谈一点浅薄的认识。
所谓分类讨论，就是在研究和解决数学问题时，当问题所给对象不能进行统一研究，我们就需要根据数学对象的本质属性的相同点和不同点，将对象区分为能用不同形式来解决的小问题，将这个小问题逐一解决，从而使整个问题得到解决，这一思想方法，我们称之为“分类讨论的思想”.有关分类讨论的思想的数学命题在高考试题中占有重要地位.
1. 分类讨论的思想方法是中学数学的基本方法之一，是历年高考的重点
⑴分类讨论的思想具有明显的逻辑思维的特点；
⑵分类讨论问题一般涵盖知识点较多，有利于对学生知识面的考察；
⑶解决分类讨论问题，需要学生具有一定的分析能力和分类技巧；
⑷分类讨论的思想与生产实践和高等数学都紧密相关.
2. 分类讨论的思想的本质
分类讨论思想的本质上是“化整为零，积零为整”，从而增加了题设条件的解题策略.
3. 运用分类讨论的思想解题的基本步骤
⑴确定讨论对象和确定研究的区域的全体范围；
⑵对所讨论的问题进行科学合理的分类（分类时需要做到不重复、不遗漏、标准统一、分层不越级）；
⑶逐类讨论：即对各类问题详细讨论，逐步解决；
⑷归纳总结，整合得出结论.
4. 明确分类讨论的思想的原因，有利于掌握分类讨论的思想方法解决问题，其主要原因有：
⑴由数学概念引起的分类讨论：如绝对值定义、等比数列的前n项和公式等等；
⑵由数学运算要求引起的分类讨论：如偶次方根非负、对数中的底数和真数的要求、不等式两边同乘以实数对不等号方向的影响等等；
⑶由函数的性质、定理、公式的限制引起的分类讨论；
⑷由几何图形中点、线、面的相对位置不确定引起的分类讨论；
⑸由参数的变化引起的分类讨论：某些含参数的问题，由于参数的取值不同会导致所得结果不同，或由于不同的参数值要运用不同的求解或证明方法；
⑹其他根据实际问题具体分析进行分类讨论，如排列、组合问题，实际应用题等.
5. 分类讨论思想的类型
⑴问题中的变量或含有需讨论的参数的，要进行分类讨论的；
⑵问题中的条件是分类给出的；
⑶解题过程不能统一叙述，必须分类讨论的；
⑷涉及几何问题时，由几何元素的形状、位置的变化需要分类讨论的.
下面谈谈分类讨论思想在解题过程中的应用：
例1、 解不等式
分析：由于实数的绝对值是分类定义的，因此要去绝对值首先应由 及 确定 的取值范围，然后求出零点 ，对未知数 进行分类讨论，去掉绝对值符号。
解：当 时，原不等式可化为： ，解之得 ；
当 时，原不等式可化为： ，解之得 ；
当 时，原不等式可化为： ，解之得 ；
综上所述，原不等式的解集为
例2、 已知：双曲线过点 和 ，它的一个焦点为 ，求它的另一个焦点的轨迹。
分析：由于双曲线的定义带有绝对值符号，所以应根据绝对值概念进行分类讨论。
解设双曲线的另一个焦点为 则有
（1） 时，则有 ，又 ，所以 ，即所求点 的轨迹为线段AB的垂直平分线（除去（1，0）点）。
（2） 时，则有 ，即所求 点的轨迹是以 为焦点，中心在（1，4），长轴为10的椭圆，（除去F），方程为
点评：以上两例由于数学概念本身是分类给出的，所以当应用这些概念解题时需分类讨论，这样才能得到正确的结论。
例3、 设数列 是由正数组成的等比数列， 是其前 项和，
证明：
分析：本题应根据等比数列求和公式的限制条件对 应分情况讨论。
解：设 的公比为 ，由题设知 ，
点评：本题分类讨论的原因是等比数列的求和公式本身是分类给出的，在利用这些公式解题时需分情况作出解答。
例4、已知椭圆标准方程为 ，椭圆的离心率为 ，短轴一个端点到右焦点的距离为 .
（1）求椭圆C的方程；
（2）设直线l与椭圆C交于A，B两点，坐标原点O到直线l的距离为 ，求 的面积的最大值.
分析：
圆锥曲线方程的确定要了解其中参数字母具有的几何意义，掌握字母间的基本关系.
解：
（1）设椭圆的半焦距为c，依题意 ，∴所求椭圆方程为 .
（2）设 ，.
①当 轴时， .
②当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为 .
由已知 ，得
把 代入椭圆方程，整理得，
当且仅当 ，即 时等号成立.当 时， ，综上所述 .
∴当|AB|最大时， 面积取得最大值为 。
点评：本题考查圆锥曲线的方程和直线与圆锥曲线间的位置关系.对于直线方程，根据斜率存在与否是本题产生讨论的原因。
在数学中，我们常常需要根据研究对象性质的差异，分各种不同情况予以考查.这种分类思考的方法是一种重要的数学思想方法，同时也是一种解题策略.
分类是按照数学对象的相同点和差异点，将数学对象区分为不同种类的思想方法，掌握分类的方法，领会其实质，对于加深基础知识的理解.提高分析问题、解决问题的能力是十分重要的.正确的分类必须是周全的，既不重复、也不遗漏.