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摘 要： 就高等数学教学的重要性而言，提出了数学方法论下的教学理念。本文通过三种常见的数学方法论中的教学方法，讨论了高等数学教学教学方法的改进及数学方法论在高等数学课堂教学中具有的数学文化教育功能。
关键词： 高等数学课程 教学创新 数学方法论 教学方法
一、引言
高等数學课程是高等理工科院校普遍开设的一门基础课程。以微积分为主体的高等数学知识点在抽象的思维能力、逻辑推理能力、归纳总结能力、创新能力和解析计算能力等方面都比初等数学有所延伸，是众多专业的学生进一步学习基础课程和专业课程的基础。同时，随着国家教育方针的提出，研究生培养机制异军突起。作为研究生考试全国联考的三大课程之一，数学试卷至少包含三门数学课程，往往能把学生“烤糊”，而高等数学的考点可以占到整个卷面的50%。由此可见学好高等数学的重要性。
二、高等数学课程课堂教学的创新研究
1.什么是数学方法论
方法论是把某种共同发展规律和研究方法作为研究对象的一门学问。各门科学都有自己的方法论，数学也不例外。在国内，“数学方法论”是徐利治教授首先提出的，在《数学方法论选讲》一书中有这样的定义：“数学方法论主要是研究和讨论数学的发展规律、数学的思想方法以及数学中的发现、发明与创新等法则的一门科学。”
从某种意义上说，数学方法论是哲学、方法论与数学史等多门学科的交叉科学，其着眼点在于数学的创新。它是研究数学发展规律、数学的思想方法及数学中的发现、发明等的一门科学。数学思想方法是数学的核心和灵魂，它不仅是数学的重要组成部分，而且是数学发展的源泉和动力。J.S布鲁纳提出：“掌握基本数学思想和方法，能使数学更易于理解和更易于记忆，领会基本数学思想和方法是通往迁移大道的‘光明之路’。”
2.数学方法论思想下的高等数学教学创新分析
（1）数形结合法使抽象理论直观化，引发学生学习兴趣。
华罗庚教授说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微。”从具体到抽象是人类认知的规律，也是数学教学中应遵循的规律。讲授高等数学课程时通过直观的图形辅助抽象概念的讲解，能将枯燥深奥的定义、定理形象直观化。数与形的和谐结合，能触发学生感官，有助于学生从中发现和理解较抽象或复杂的内容，进而引发学生的学习兴趣。
我们在引入极限概念时，通过刘徽“割圆术”的图形展示了极限概念中的逐步逼近思想；导数的几何意义同样体现了数与图形的结合。在讲述定积分概念时，通常借助多媒体展示曲边梯形图形“分割，求和，近似代替，取极限”的黎曼积分思想；更不用提多重积分、曲线、曲面积分完全离不开图形在教学中的辅助作用了。可以说数形结合的教学方法贯穿了高等数学教学的全过程。
将抽象深奥的数学理论直观化后，在视觉上能培养学生的空间想象能力，调动学生多种感官参与学习活动，能保持数学思维的活跃性，自然能使课堂教学达到事半功倍的效果，必然能激发学生的学习兴趣，乐于学习。
（2）联想与类比的思想方法，注重培养学生的发散思维。
在高等数学教学中，概念教学贯穿了整个微积分教学体系。这些知识点往往不是孤立的，而是有异曲同工之处。通过引导学生联想，由已掌握的熟知的知识点将思维引向更深层次的概念体系，最后将二者进行类比，理清概念之间的联系与区别，既能促进新概念的教学，又有助于接近已学过概念的本质及整个概念教学体系的建立。联想与类比引发的直观与猜想是使学生由已知迈向未知的发散思维过程，是学生产生探索动力的源泉。
如有限性与无限项概念教学的联想与类比。在泰勒公式教学中，引导同学们联想如果项数趋于无穷时项数与余项的变化趋势，由此引出无穷项下的泰勒级数的概念。这种联想与类比的讲解既增强了泰勒公式的教学效果，又为泰勒级数的教学埋下了伏笔。又如在讲解“有限个无穷小的和也是无穷小”定理时，让学生考虑把有限变无限下定理的真伪性。在直观思维的影响下，学生通常认为无限多个无穷小仍为无穷小。在这种情况下教师可以给出一个反例，让学生从本质上比较有限与无限的区别。
我们在讲授二元函数极值教学时自然会联想到一元函数极值的教学，尤其是讨论极值取得的必要条件时，可以先利用一元函数“可导的极值点必是驻点”的结论得到多元函数情形下的结果，随后再比较一元函数与二元函数驻点的区别。
（3）化归法提高学生解决问题的能力，激发创造力。
化归法是数学方法论中一种重要的解题方法。它往往通过寻找所需解决问题的突破口，从难到易、从繁到简地化归达到解决问题的目的，其方法有很多，如多元到一元的化归，高次到低次的化归，空间到平面的化归，等等。
多元函数求导数的过程充分体现了化归法的运用。在对二元函数z=f（x，y）求偏导数时，从定义出发，对其中一个变量x求导数，就将变量y看成常数，此时多元函数回归到一元函数，其借助一元函数求导法就可以得到二元函数下的偏导数。显然运用化归法教学使多元函数导数的教学轻松，易懂，还显现了一元函数导数与多元函数导数之间的联系与区别。
化归的方法着眼于揭示问题之间的联系，以已知的、简单直观的基本知识为支架，将未知的、抽象复杂的问题进行，从而达到解决问题的目的。它的“运动—转化—解决矛盾”的思想教学过程中有着重要作用。教师在授课过程中应根据教学的需要，适时地运用化归法，注重培养学生的化归能力。这样不仅能帮助他们理解和掌握新知识，提高他们解决问题的能力，还能进一步激发学生的创造力。
数学方法论中除了以上三种常见的教学方法外，还有关系映射演变方法、构造法、逐步逼近和优化决策等教学方法，这些方法在数学教学课堂中常常相辅相成，相得益彰。一方面，它们丰富了课堂教学内容，强化了教学效果，提高了质量，另一方面，对于受教者而言，它不但具有使其受到良好数学思想方法的训练，形成良好数学文化素质的功能，而且具有使其提高社会文化修养和科学文化修养的功能。
参考文献：
[1]同济大学数学系编.高等数学（第六版）[M].北京：高等教育出版社，2008.
[2]徐利治.数学方法论选讲[M].武汉：华中工学院出版社，1983.
[3]叶立军.数学方法论[M].浙江：浙江大学出版社，2004.
[4]毛京中.高等数学概念教学的一些思考[J].数学教育学报，2003，12（2）：83-86.
[5]李宏.关于高等数学教学方法的思考[J].中央民族大学学报，2006，15（3）：286-288.
基金项目：湖南省教育厅科学研究项目（15c1413）。
关键词： 高等数学课程 教学创新 数学方法论 教学方法
一、引言
高等数學课程是高等理工科院校普遍开设的一门基础课程。以微积分为主体的高等数学知识点在抽象的思维能力、逻辑推理能力、归纳总结能力、创新能力和解析计算能力等方面都比初等数学有所延伸，是众多专业的学生进一步学习基础课程和专业课程的基础。同时，随着国家教育方针的提出，研究生培养机制异军突起。作为研究生考试全国联考的三大课程之一，数学试卷至少包含三门数学课程，往往能把学生“烤糊”，而高等数学的考点可以占到整个卷面的50%。由此可见学好高等数学的重要性。
二、高等数学课程课堂教学的创新研究
1.什么是数学方法论
方法论是把某种共同发展规律和研究方法作为研究对象的一门学问。各门科学都有自己的方法论，数学也不例外。在国内，“数学方法论”是徐利治教授首先提出的，在《数学方法论选讲》一书中有这样的定义：“数学方法论主要是研究和讨论数学的发展规律、数学的思想方法以及数学中的发现、发明与创新等法则的一门科学。”
从某种意义上说，数学方法论是哲学、方法论与数学史等多门学科的交叉科学，其着眼点在于数学的创新。它是研究数学发展规律、数学的思想方法及数学中的发现、发明等的一门科学。数学思想方法是数学的核心和灵魂，它不仅是数学的重要组成部分，而且是数学发展的源泉和动力。J.S布鲁纳提出：“掌握基本数学思想和方法，能使数学更易于理解和更易于记忆，领会基本数学思想和方法是通往迁移大道的‘光明之路’。”
2.数学方法论思想下的高等数学教学创新分析
（1）数形结合法使抽象理论直观化，引发学生学习兴趣。
华罗庚教授说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微。”从具体到抽象是人类认知的规律，也是数学教学中应遵循的规律。讲授高等数学课程时通过直观的图形辅助抽象概念的讲解，能将枯燥深奥的定义、定理形象直观化。数与形的和谐结合，能触发学生感官，有助于学生从中发现和理解较抽象或复杂的内容，进而引发学生的学习兴趣。
我们在引入极限概念时，通过刘徽“割圆术”的图形展示了极限概念中的逐步逼近思想；导数的几何意义同样体现了数与图形的结合。在讲述定积分概念时，通常借助多媒体展示曲边梯形图形“分割，求和，近似代替，取极限”的黎曼积分思想；更不用提多重积分、曲线、曲面积分完全离不开图形在教学中的辅助作用了。可以说数形结合的教学方法贯穿了高等数学教学的全过程。
将抽象深奥的数学理论直观化后，在视觉上能培养学生的空间想象能力，调动学生多种感官参与学习活动，能保持数学思维的活跃性，自然能使课堂教学达到事半功倍的效果，必然能激发学生的学习兴趣，乐于学习。
（2）联想与类比的思想方法，注重培养学生的发散思维。
在高等数学教学中，概念教学贯穿了整个微积分教学体系。这些知识点往往不是孤立的，而是有异曲同工之处。通过引导学生联想，由已掌握的熟知的知识点将思维引向更深层次的概念体系，最后将二者进行类比，理清概念之间的联系与区别，既能促进新概念的教学，又有助于接近已学过概念的本质及整个概念教学体系的建立。联想与类比引发的直观与猜想是使学生由已知迈向未知的发散思维过程，是学生产生探索动力的源泉。
如有限性与无限项概念教学的联想与类比。在泰勒公式教学中，引导同学们联想如果项数趋于无穷时项数与余项的变化趋势，由此引出无穷项下的泰勒级数的概念。这种联想与类比的讲解既增强了泰勒公式的教学效果，又为泰勒级数的教学埋下了伏笔。又如在讲解“有限个无穷小的和也是无穷小”定理时，让学生考虑把有限变无限下定理的真伪性。在直观思维的影响下，学生通常认为无限多个无穷小仍为无穷小。在这种情况下教师可以给出一个反例，让学生从本质上比较有限与无限的区别。
我们在讲授二元函数极值教学时自然会联想到一元函数极值的教学，尤其是讨论极值取得的必要条件时，可以先利用一元函数“可导的极值点必是驻点”的结论得到多元函数情形下的结果，随后再比较一元函数与二元函数驻点的区别。
（3）化归法提高学生解决问题的能力，激发创造力。
化归法是数学方法论中一种重要的解题方法。它往往通过寻找所需解决问题的突破口，从难到易、从繁到简地化归达到解决问题的目的，其方法有很多，如多元到一元的化归，高次到低次的化归，空间到平面的化归，等等。
多元函数求导数的过程充分体现了化归法的运用。在对二元函数z=f（x，y）求偏导数时，从定义出发，对其中一个变量x求导数，就将变量y看成常数，此时多元函数回归到一元函数，其借助一元函数求导法就可以得到二元函数下的偏导数。显然运用化归法教学使多元函数导数的教学轻松，易懂，还显现了一元函数导数与多元函数导数之间的联系与区别。
化归的方法着眼于揭示问题之间的联系，以已知的、简单直观的基本知识为支架，将未知的、抽象复杂的问题进行，从而达到解决问题的目的。它的“运动—转化—解决矛盾”的思想教学过程中有着重要作用。教师在授课过程中应根据教学的需要，适时地运用化归法，注重培养学生的化归能力。这样不仅能帮助他们理解和掌握新知识，提高他们解决问题的能力，还能进一步激发学生的创造力。
数学方法论中除了以上三种常见的教学方法外，还有关系映射演变方法、构造法、逐步逼近和优化决策等教学方法，这些方法在数学教学课堂中常常相辅相成，相得益彰。一方面，它们丰富了课堂教学内容，强化了教学效果，提高了质量，另一方面，对于受教者而言，它不但具有使其受到良好数学思想方法的训练，形成良好数学文化素质的功能，而且具有使其提高社会文化修养和科学文化修养的功能。
参考文献：
[1]同济大学数学系编.高等数学（第六版）[M].北京：高等教育出版社，2008.
[2]徐利治.数学方法论选讲[M].武汉：华中工学院出版社，1983.
[3]叶立军.数学方法论[M].浙江：浙江大学出版社，2004.
[4]毛京中.高等数学概念教学的一些思考[J].数学教育学报，2003，12（2）：83-86.
[5]李宏.关于高等数学教学方法的思考[J].中央民族大学学报，2006，15（3）：286-288.
基金项目：湖南省教育厅科学研究项目（15c1413）。