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双曲线是圆锥曲线中的三種曲线之一，也是高考考查的重点，主要考查定义、标准方程、几何性质等基础知识，考查基本技能与基本方法的运用。
一、知识扫描
双曲线的定义：在平面内到两定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数（小于|F：F2|且大于零）的点的轨迹（或集合）叫作双曲线。定点Fr，F。叫作双曲线的焦点，两焦点间的距离叫作焦距。
中心在坐标原点，焦点在x轴上的双曲线的标准方程为
中心在坐标原点，焦点在y轴上的双曲线的标准方程为
集合P={M|||MF，|-|MF。||=2a}，|F，F2|=2c，其中a、c为常数且a>0，c>0：
①当a<c时，P点的轨迹是双曲线;
②当a=c时，P点的轨迹是两条射线;
③当a>c时，P点不存在。
双曲线的离心率大于1，而椭圆的离心率e∈（O，1）。
双曲线为等轴双曲线<>双曲线的离心率e=v2台双曲线的两条渐近线互相垂直（位置关系）。
双曲线的标准方程和几何性质如表1所示。
二、常见题型
考点一：双曲线的定义与标准方程
例1?若实数k满足0<k<9，则曲线
（）。
A.焦距相等
B.实半轴长相等
C.虚半轴长相等
D.离心率相等
解析：因为0<k<9，所以9-k>0，25-k>0。
表示焦点在x轴上的双曲线。
又25+（9-k）=34-k=（25-k）+9，所以它们的焦距相等，故选A。
点评：双曲线x2/a2-y2/b2=1（a>0，b>0）的焦点在x轴上，双曲线y2/a2-x2/b2=1（a>0，b>0）的焦点在y轴上。
例2?已知F为双曲线C：=1的左焦点，P，Q为C上的点。若PQ的长等于实轴长的2倍，点A（5，0）在线段PQ上，则△PQF的周长为_____。
解析：依题意知|PQl=4a=12>2a。又因为A（5，0）在线段PQ上，所以PQ在双曲线的右支上。
可得|PF|-|PA|=2a=6，|QF|-|QA|=2a=6。
所以|PFI+lQF|=24。
所以△PQF的周长是|PF|+|QF|+|PQ|=24+12=36。
点评：在应用双曲线定义时，要注意定义中的条件，搞清所求轨迹是双曲线，还是双曲线的一支。若是双曲线的一支，则需确定是哪一支。
例3?已知双曲线的中心在原点，一个焦点为F1（-√5，0），点P在双曲线上，且线段PF，的中点坐标为（0，2），则此双曲线的方程是（）
A.x2/3-y3/2=1
B.x2-y2/4=1
C.x2/2-y2/3=1
D.x2/4-y2=1
解析：设双曲线的标准方程为x2/a2-y2/b2=1=1（a>0，b>0）。
由PF1的中点为（0，2）知，PF2⊥x轴，P（V5，4），所以=4，即b2=4a。
所以5-a2=4a，所以a=1，b=2，所以双曲线方程为x2-y2/4=1，故选B。
点评：确定双曲线的标准方程也需要一个“定位”条件，两个“定量”条件，“定位”是指确定焦点在哪条坐标轴上，“定量”是指确定a，b的值，常用待定系数法。若双曲线的焦点不能确定时，可设其方程为Ax2+by”=1（AB<0）。若已知渐近线方程为mx+ny=0，则双曲线方程可设为m2x2-n°y2=λ（λ≠0）。
考点二：双曲线的离心率
例4?已知F，Fz是双曲线E：-2-差=1的左，右焦点，点M在E上，MF，与x
轴垂直，sin∠MF，F1=-1则E的离心率为（）。
A.√2?
B.3/2?
C.√3?
D.2
解析：
故双曲线离心率e=
选A。
点评：应区分双曲线中a，b，c的关系与椭圆中a，b，c的关系，在椭圆中a2=62+c，而在双曲线中c2=a*+b2。双曲线的离心率e∈（1，+∞），而椭圆的离心率e∈（0，1）。
例5?过双曲线a'b1（a>0，b>0）的右焦点F作一条直线，当直线倾斜角为”时，直线与双曲线左、右两支各有一个交点：当直线倾斜角为。时，直线与双曲线右支有两个不同的交点。则双曲线离心率的取值范围为（）。
A.（1，2√3/3）
B.（2√3/3，2）
C.（1，√3）
D.（1，2）
解析：由题意得，当直线倾斜角为。时，直线与双曲线左、右两支各有一个交点，所以
又当直线倾斜角为时，直线与双曲线右支有两个不同的交点，所以b/a<√3，所以此
所以双曲线离心率的取值范围为（2√3/3，2），故选B。
点评：离心率是圆锥曲线的重要几何性质，是高考重点考查的一个知识点。这类问题一般有两类：一类是根据一定的条件求椭圆或双曲线的离心率：另一类是根据一定的条件求离心率的取值范围。无论是哪类问题，其解题关键都是建立关于a，b，c的关系式（等式或不等式），并且最后要把其中的b用a，c表达，转化为关于离心率e的关系式。
考点三：双曲线的渐近线
例6在平面直角坐标系中，已知双曲线的中心在原点，焦点在x轴上，实轴长为8，离心率为5/4，则它的渐近线的方程为（）。
解析：
因此渐近线的方程为
故选D。
点评：
意区分双曲线中的a，b，c大小关系与椭圆中的a，b，c关系，在椭圆中a2=b2+c，而在双曲线中c2=a2+b2。
考点四：焦点三角形
例7?点P在双曲线x2/a2-y2/b2=1=1（a>0，b>0）上，F1、F2分别是双曲线的左、右焦点，∠F1PF2=90，且△F1PF2的三条边长之比为3：4：5.则双曲线的渐进方程是（）。
A.y=±2√3x
B.y=±4x
C.y=±2√5x
D.y=±2√6x
解析：
所以
所以双曲线的渐近线方程是y=±2√6x0故选D。
点评：用双曲线定义及虚轴长布列方程组即可求出双曲线的标准方程。在“焦点三角形”中，经常用到正弦定理、余弦定理、双曲线的定义。另外，还经常结合|PF1|-|PF2||=2a，运用平方的方法，建立它与|PF1||PF2|的联系。
例8?设双曲线x2- 3 -=1的左、右焦点分别为F1， F2。 若点P在双曲线上，且OF，PF2为锐角三角形，则| PF1|+| PF2|的取值范围是_____。
解析：由已知得a=1，b=3，c=2，则
点评：先由对称性可设点P在右支上，
进而可得|PF.|和|PF，2|，再由△F，PF2为锐角三角形可得|PF1|”+|PF2|2>|F1F2|2，进而可得x的不等式，解不等式可得|PF，|+|PF2|的取值范围。
一、知识扫描
双曲线的定义：在平面内到两定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数（小于|F：F2|且大于零）的点的轨迹（或集合）叫作双曲线。定点Fr，F。叫作双曲线的焦点，两焦点间的距离叫作焦距。
中心在坐标原点，焦点在x轴上的双曲线的标准方程为
中心在坐标原点，焦点在y轴上的双曲线的标准方程为
集合P={M|||MF，|-|MF。||=2a}，|F，F2|=2c，其中a、c为常数且a>0，c>0：
①当a<c时，P点的轨迹是双曲线;
②当a=c时，P点的轨迹是两条射线;
③当a>c时，P点不存在。
双曲线的离心率大于1，而椭圆的离心率e∈（O，1）。
双曲线为等轴双曲线<>双曲线的离心率e=v2台双曲线的两条渐近线互相垂直（位置关系）。
双曲线的标准方程和几何性质如表1所示。
二、常见题型
考点一：双曲线的定义与标准方程
例1?若实数k满足0<k<9，则曲线
（）。
A.焦距相等
B.实半轴长相等
C.虚半轴长相等
D.离心率相等
解析：因为0<k<9，所以9-k>0，25-k>0。
表示焦点在x轴上的双曲线。
又25+（9-k）=34-k=（25-k）+9，所以它们的焦距相等，故选A。
点评：双曲线x2/a2-y2/b2=1（a>0，b>0）的焦点在x轴上，双曲线y2/a2-x2/b2=1（a>0，b>0）的焦点在y轴上。
例2?已知F为双曲线C：=1的左焦点，P，Q为C上的点。若PQ的长等于实轴长的2倍，点A（5，0）在线段PQ上，则△PQF的周长为_____。
解析：依题意知|PQl=4a=12>2a。又因为A（5，0）在线段PQ上，所以PQ在双曲线的右支上。
可得|PF|-|PA|=2a=6，|QF|-|QA|=2a=6。
所以|PFI+lQF|=24。
所以△PQF的周长是|PF|+|QF|+|PQ|=24+12=36。
点评：在应用双曲线定义时，要注意定义中的条件，搞清所求轨迹是双曲线，还是双曲线的一支。若是双曲线的一支，则需确定是哪一支。
例3?已知双曲线的中心在原点，一个焦点为F1（-√5，0），点P在双曲线上，且线段PF，的中点坐标为（0，2），则此双曲线的方程是（）
A.x2/3-y3/2=1
B.x2-y2/4=1
C.x2/2-y2/3=1
D.x2/4-y2=1
解析：设双曲线的标准方程为x2/a2-y2/b2=1=1（a>0，b>0）。
由PF1的中点为（0，2）知，PF2⊥x轴，P（V5，4），所以=4，即b2=4a。
所以5-a2=4a，所以a=1，b=2，所以双曲线方程为x2-y2/4=1，故选B。
点评：确定双曲线的标准方程也需要一个“定位”条件，两个“定量”条件，“定位”是指确定焦点在哪条坐标轴上，“定量”是指确定a，b的值，常用待定系数法。若双曲线的焦点不能确定时，可设其方程为Ax2+by”=1（AB<0）。若已知渐近线方程为mx+ny=0，则双曲线方程可设为m2x2-n°y2=λ（λ≠0）。
考点二：双曲线的离心率
例4?已知F，Fz是双曲线E：-2-差=1的左，右焦点，点M在E上，MF，与x
轴垂直，sin∠MF，F1=-1则E的离心率为（）。
A.√2?
B.3/2?
C.√3?
D.2
解析：
故双曲线离心率e=
选A。
点评：应区分双曲线中a，b，c的关系与椭圆中a，b，c的关系，在椭圆中a2=62+c，而在双曲线中c2=a*+b2。双曲线的离心率e∈（1，+∞），而椭圆的离心率e∈（0，1）。
例5?过双曲线a'b1（a>0，b>0）的右焦点F作一条直线，当直线倾斜角为”时，直线与双曲线左、右两支各有一个交点：当直线倾斜角为。时，直线与双曲线右支有两个不同的交点。则双曲线离心率的取值范围为（）。
A.（1，2√3/3）
B.（2√3/3，2）
C.（1，√3）
D.（1，2）
解析：由题意得，当直线倾斜角为。时，直线与双曲线左、右两支各有一个交点，所以
又当直线倾斜角为时，直线与双曲线右支有两个不同的交点，所以b/a<√3，所以此
所以双曲线离心率的取值范围为（2√3/3，2），故选B。
点评：离心率是圆锥曲线的重要几何性质，是高考重点考查的一个知识点。这类问题一般有两类：一类是根据一定的条件求椭圆或双曲线的离心率：另一类是根据一定的条件求离心率的取值范围。无论是哪类问题，其解题关键都是建立关于a，b，c的关系式（等式或不等式），并且最后要把其中的b用a，c表达，转化为关于离心率e的关系式。
考点三：双曲线的渐近线
例6在平面直角坐标系中，已知双曲线的中心在原点，焦点在x轴上，实轴长为8，离心率为5/4，则它的渐近线的方程为（）。
解析：
因此渐近线的方程为
故选D。
点评：
意区分双曲线中的a，b，c大小关系与椭圆中的a，b，c关系，在椭圆中a2=b2+c，而在双曲线中c2=a2+b2。
考点四：焦点三角形
例7?点P在双曲线x2/a2-y2/b2=1=1（a>0，b>0）上，F1、F2分别是双曲线的左、右焦点，∠F1PF2=90，且△F1PF2的三条边长之比为3：4：5.则双曲线的渐进方程是（）。
A.y=±2√3x
B.y=±4x
C.y=±2√5x
D.y=±2√6x
解析：
所以
所以双曲线的渐近线方程是y=±2√6x0故选D。
点评：用双曲线定义及虚轴长布列方程组即可求出双曲线的标准方程。在“焦点三角形”中，经常用到正弦定理、余弦定理、双曲线的定义。另外，还经常结合|PF1|-|PF2||=2a，运用平方的方法，建立它与|PF1||PF2|的联系。
例8?设双曲线x2- 3 -=1的左、右焦点分别为F1， F2。 若点P在双曲线上，且OF，PF2为锐角三角形，则| PF1|+| PF2|的取值范围是_____。
解析：由已知得a=1，b=3，c=2，则
点评：先由对称性可设点P在右支上，
进而可得|PF.|和|PF，2|，再由△F，PF2为锐角三角形可得|PF1|”+|PF2|2>|F1F2|2，进而可得x的不等式，解不等式可得|PF，|+|PF2|的取值范围。