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摘 要：求和问题一直都是高中数学中的一类题目，本文中我们来探究一类求和问题的解题思路。
关键词：高中数学;求和;探究
问题1 已知[f（x）=x2-53x+196+x2-53x+196]，则求[f（1）+f（2）+…+f（50）]。
分析：①.由题目可以看出，此题最直接的方式就是将[x=1，2，…，50]一一带进[f（x）]把[f（1）]、[f（2）]、……、[f（50）]一个个求出来，然后相加得到结果，此种解法理论可行，但实际不可取，必须换一种思路。
②.根据题目的已知条件只有[f（x）]的表达式，所以此题必从[f（x）]的表达式入手，观察[f（x）]发现此表达式的特点，我们可令[x2-53x+196=M]，则有[f（x）=0M≤02（x2-53x+196）M>0]，当[M=（x-4）（x-49）≤0]时，即[4≤x≤49]时[f（x）=0];当[M=（x-4）（x-49）>0]时，即将[x=1，2，3，50]分别带入[2（x2-53x+196）]得到的值之和便是所求之值。即本题等价于求[f（1）]、[f（2）]、[f（3）]、[f（50）]之和。
解：由题可知，令[x2-53x+196=M]，则有[f（x）=0M≤02（x2-53x+196）M>0]
∴当[M=（x-4）（x-49）≤0]即[4≤x≤49]时，[f（x）=0]
当[M=（x-4）（x-49）>0]即[x=1，2，3，50]时，分别有[f（1）]、[f（2）]、[f（3）]、[f（50）]。
∴[f（1）+f（2）+…+f（50）]=[f（1）+f（2）+f（3）+f（50）]
=[2×3×48]+[2×2×47]+[2×1×46]+[2×1×46] =[660]
根据G.波利亚的《怎样解题》表我们发现要解决此类题目，将数字直接带入求解，理论可行实际操作不行，而已知条件又特别少，要解决此类题目必从已知入手，所给函数式的特点与性质成了我们解决此题的入手点。
问题2 已知数列[an]满足[a1=a2=a3=1]，且[an+3=an+2] [+an+1+an]，[n∈N*]，又有[a28=6090307]，[a29=11201821]和 [a30=20603361]， 求出[k=128ak]被1000整除后的余数。
分析：由题目可知，在本题中要想求出[k=128ak]被1000整除后的余数，首先得找出[k=128ak]。①.然而，由题目可以知道数列[an]既不是标准的等差数列也不是标准的等比数列，在题目所给定的条件下要想找出[k=128ak]，不能直接运用求和公式，也不可能是将[a1]、[a2]、……、[a28]依次找出来再相加求和（因为从已知中[a28]、[a29]、[a30]的值可以看出数字很大很复杂），这不可行。
②.我们想到在数列求和中“与和差有关，常用叠加或是倒序相加;与积商有关，常用迭乘或是错项相减”。于是本题我们尝试用叠加或是倒序相加的方法，则有[a4=a3+a2+a1a5=a4+a3+a2a6=a5+a4+a3??a30=a29+a28+a27]，我们发现将此组等式等号左右两边同时相加得到等式[s30-（a1+a2+a3）=[s29-（a1+a2）]+（s28-a1）+s27]，再由[a1=a2=a3][=1][a28=6090307]，[a29=11201821]，[a30=20603361]这些已知条件我们考虑最好能将[s28]化为与[a28]、[a29]、[a30]相关的式子，我们可以得到
[s30-3=s29-2+s28-1+s27]
即[s28+a29+a30=s28+a29+s28+s28-a28]即[s28=12（a28+a30）]，此时很容易将[s28]求出来。
接着要找[k=128ak]被1000整除后的余数即[s28]的后三位数，此时有两种方法：法一：直接算;法二：将[a28]、[a30]的后4位数相加除以2可得，即[+030733613668]再除以2有[2834]，由于任何数除2后要么余1要么余0，因此3下面无论怎样都应余1，此时16除2应商8，可得834.
解：∵[a1=a2=a3=1]且[a28]、[a29]、[a30]的值已知
∴由题可得[a4=a3+a2+a1a5=a4+a3+a2a6=a5+a4+a3??a30=a29+a28+a27]，将等号两边同时相加可得[s30-3=s29-2+s28-1+s27]
即[s28+a29+a30=s28+a29+s28+s28-a28]
即[s28=12（a28+a30）]
又∵[a28=6090307]，[a30=20603361]
∴要找[k=128ak]被1000整除后的余数即[s28]的后三位数，将[a28]、[a30]的后4位数相加除以2可得，由任何数除2后要么余1要么余0可得最终为834.
∴[k=128ak]被1000整除后的余数为834.
要解决本题关键是求出[k=128ak]，对于此类题目关键是要记住在数列求和中“与和差有关，常用叠加或是倒序相加;与积商有关，常用迭乘或是错项相减”，这是解决这类题目的总原则。
以上两个题目，乍一看是两个完全不同类型的题目，仔细一看就会发现它们都是已知条件很少，都要求一系列数字的和。我们可以发现这类题目如果直接带入数字来求解，理论可行实际不易操作，必须将我们的“目标”和“已知”连结 ，从已知特点或是性质入手才能解决。
参考文献：
[1]屈成功，李芙蓉.浅探一类题目的解法[J].中学教学参考，2013，05：38.
[2]田宝运，刘瑞杰.高考数列求和题型归类解析[J].数学教学通讯，2004，SC：91-93.
[3]白晓洁.新课标下高中数学数列问题的研究[D].河南师范大学，2013.
作者简介：
何娇，女，西华师范大学数学与信息学院研究生二年级，课程与教学论（数学教育）。
关键词：高中数学;求和;探究
问题1 已知[f（x）=x2-53x+196+x2-53x+196]，则求[f（1）+f（2）+…+f（50）]。
分析：①.由题目可以看出，此题最直接的方式就是将[x=1，2，…，50]一一带进[f（x）]把[f（1）]、[f（2）]、……、[f（50）]一个个求出来，然后相加得到结果，此种解法理论可行，但实际不可取，必须换一种思路。
②.根据题目的已知条件只有[f（x）]的表达式，所以此题必从[f（x）]的表达式入手，观察[f（x）]发现此表达式的特点，我们可令[x2-53x+196=M]，则有[f（x）=0M≤02（x2-53x+196）M>0]，当[M=（x-4）（x-49）≤0]时，即[4≤x≤49]时[f（x）=0];当[M=（x-4）（x-49）>0]时，即将[x=1，2，3，50]分别带入[2（x2-53x+196）]得到的值之和便是所求之值。即本题等价于求[f（1）]、[f（2）]、[f（3）]、[f（50）]之和。
解：由题可知，令[x2-53x+196=M]，则有[f（x）=0M≤02（x2-53x+196）M>0]
∴当[M=（x-4）（x-49）≤0]即[4≤x≤49]时，[f（x）=0]
当[M=（x-4）（x-49）>0]即[x=1，2，3，50]时，分别有[f（1）]、[f（2）]、[f（3）]、[f（50）]。
∴[f（1）+f（2）+…+f（50）]=[f（1）+f（2）+f（3）+f（50）]
=[2×3×48]+[2×2×47]+[2×1×46]+[2×1×46] =[660]
根据G.波利亚的《怎样解题》表我们发现要解决此类题目，将数字直接带入求解，理论可行实际操作不行，而已知条件又特别少，要解决此类题目必从已知入手，所给函数式的特点与性质成了我们解决此题的入手点。
问题2 已知数列[an]满足[a1=a2=a3=1]，且[an+3=an+2] [+an+1+an]，[n∈N*]，又有[a28=6090307]，[a29=11201821]和 [a30=20603361]， 求出[k=128ak]被1000整除后的余数。
分析：由题目可知，在本题中要想求出[k=128ak]被1000整除后的余数，首先得找出[k=128ak]。①.然而，由题目可以知道数列[an]既不是标准的等差数列也不是标准的等比数列，在题目所给定的条件下要想找出[k=128ak]，不能直接运用求和公式，也不可能是将[a1]、[a2]、……、[a28]依次找出来再相加求和（因为从已知中[a28]、[a29]、[a30]的值可以看出数字很大很复杂），这不可行。
②.我们想到在数列求和中“与和差有关，常用叠加或是倒序相加;与积商有关，常用迭乘或是错项相减”。于是本题我们尝试用叠加或是倒序相加的方法，则有[a4=a3+a2+a1a5=a4+a3+a2a6=a5+a4+a3??a30=a29+a28+a27]，我们发现将此组等式等号左右两边同时相加得到等式[s30-（a1+a2+a3）=[s29-（a1+a2）]+（s28-a1）+s27]，再由[a1=a2=a3][=1][a28=6090307]，[a29=11201821]，[a30=20603361]这些已知条件我们考虑最好能将[s28]化为与[a28]、[a29]、[a30]相关的式子，我们可以得到
[s30-3=s29-2+s28-1+s27]
即[s28+a29+a30=s28+a29+s28+s28-a28]即[s28=12（a28+a30）]，此时很容易将[s28]求出来。
接着要找[k=128ak]被1000整除后的余数即[s28]的后三位数，此时有两种方法：法一：直接算;法二：将[a28]、[a30]的后4位数相加除以2可得，即[+030733613668]再除以2有[2834]，由于任何数除2后要么余1要么余0，因此3下面无论怎样都应余1，此时16除2应商8，可得834.
解：∵[a1=a2=a3=1]且[a28]、[a29]、[a30]的值已知
∴由题可得[a4=a3+a2+a1a5=a4+a3+a2a6=a5+a4+a3??a30=a29+a28+a27]，将等号两边同时相加可得[s30-3=s29-2+s28-1+s27]
即[s28+a29+a30=s28+a29+s28+s28-a28]
即[s28=12（a28+a30）]
又∵[a28=6090307]，[a30=20603361]
∴要找[k=128ak]被1000整除后的余数即[s28]的后三位数，将[a28]、[a30]的后4位数相加除以2可得，由任何数除2后要么余1要么余0可得最终为834.
∴[k=128ak]被1000整除后的余数为834.
要解决本题关键是求出[k=128ak]，对于此类题目关键是要记住在数列求和中“与和差有关，常用叠加或是倒序相加;与积商有关，常用迭乘或是错项相减”，这是解决这类题目的总原则。
以上两个题目，乍一看是两个完全不同类型的题目，仔细一看就会发现它们都是已知条件很少，都要求一系列数字的和。我们可以发现这类题目如果直接带入数字来求解，理论可行实际不易操作，必须将我们的“目标”和“已知”连结 ，从已知特点或是性质入手才能解决。
参考文献：
[1]屈成功，李芙蓉.浅探一类题目的解法[J].中学教学参考，2013，05：38.
[2]田宝运，刘瑞杰.高考数列求和题型归类解析[J].数学教学通讯，2004，SC：91-93.
[3]白晓洁.新课标下高中数学数列问题的研究[D].河南师范大学，2013.
作者简介：
何娇，女，西华师范大学数学与信息学院研究生二年级，课程与教学论（数学教育）。