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摘要：针对配电网电能质量（PQ）海量监测数据采集、存储和传输等难点问题，引入压缩传感理论，研究配电网PQ信号压缩传感的实现方法；采用高斯随机测量矩阵获取PQ信号的线性测量值；基于傅里叶基矩阵对压缩感知信号进行正交匹配追踪重构，测试并分析信号稀疏特性、随机测量次数与信号重构精度的关系。试验结果表明，基于傅里叶投影空间的正交匹配追踪算法可对谐波、间谐波等稳态PQ压缩感知信号进行精确重构，重构精度可达数量级。
关键词：压缩传感；随机测量；信号重构算法；傅立叶基；电能质量
中图分类号：TP206 文献标识码：A 文章编号：1674-1161（2017）01-0049-03
近年来，智能电网迅速发展，风力、微水、光伏等分布式电源的接入，使配电网从无源网络向有源网络转变，导致电能质量（Power Quality，简称PQ）问题变得更加复杂。电力负荷中大量增加的电力电子装置和敏感设备，既带来了大量的电能质量问题，又对配电网电能质量提出了更高要求。配电网电能质量监测与治理等问题成为研究热点。
压缩传感（Compressive Sensing，简称CS）理论通过全局观测（Global Measurement）或线性测量（Linear Measurement）直接获取原始信号的压缩值，将传统的信号采集与压缩合并进行，略过信号的高采样率采集过程，突破奈奎斯特采样频率约束，大大节约数据采集、存储、压缩、传输等环节消耗的硬件资源，最后通过正交匹配追踪等重构算法从压缩感知信号中恢复原始信号，供后续检测处理使用。
针对电能质量信号压缩感知与重构等核心问题，研究电能质量信号在傅里叶基、小波基下的稀疏特性（Sparsity）及线性测量方法；基于正交匹配追踪（Orthogonal Matching Pursuit，简称OMP）思想，通过局部最优化依次寻求压缩感知信号的非零系数，即信号稀疏表示向量评估值，从而获得原始信号重构。
1 压缩传感基本原理
1.1 线性测量原理
对于任意一维的实信号x∈RN×1，信号长度为N。只要能找到对应的稀疏表示空间Ψ，理论上均是可压缩的，一般空间Ψ为正交变换空间。根据公式（1）将信号x投影到Ψ空间：
yi=或Y=Ψx （1）
式中：Ψ称为正交基；y为信号到Ψ域的投影系数。
则x可由式（2）反变换表示：
x=ΨHy （2）
式中：ΨH为Ψ的反变换。
对于变换系数y能量比x集中，经过正交投影变换去除信号x中的冗余，即y中只包含K个少量的大值系数，K< 确定信号稀疏便可实现信号压缩。压缩传感策略是将传统信号的采集与压缩同时完成，直接获取信号的压缩测量值s，由公式（3）线性测量实现：
s=Φx=ΦΨHy （3）
记ACS=ΦΨH。其中，Φ∈RM×N，称为测量矩阵；s为测量值，长度为M。压缩传感直接通过测量矩阵Φ获得信号的压缩表示，而未经过原始信号的高采样率采样不需要获得信号的N个样值（一般M< 全局观测矩阵的每一行{Φj}，j=1，2，……，M可以视为一个传感器对信号的测量即相乘过程。拾起信号的一部分信息，M次测量便得到信号的M个测量值。测量矩阵需满足公式（4）定义的约束等距性条件，以保证M个测量值中包含原信号全部信息：
（1-δ）‖x‖2 ≤ ‖s‖2 ≤ （1 δ）‖x‖2 （4）
其中：δ∈（0，1）。
約束等距性条件保证线性测量具有稳定的能量性质，即K稀疏信号x经过线性测量后仍保持K个重要分量的长度。
测量矩阵约束等距性条件的等价条件为：测量矩阵Φ与信号稀疏表示基矩阵ΨH不相关。该条件的含义可以从公式（3）看出：由于矩阵Φ与ΨH不相关，则每次测量都会得到与原信号几乎不同的信息，以保证少量测量值包含原信号的全部信息。
1.2 压缩感知信号重构原理
压缩传感的另一个关键问题是，从长度为M测量向量s中恢复长度为N（M< 第二步，根据公式（6）计算向量y的估计值，并将搜索到的最相关列向量去除。
第三步，计算残差，并判断残差是否很小。
2 基于傅里叶基信号压缩传感与重构效果
利用Matlab仿真平台产生谐波、间谐波和电压暂降等电能质量信号，运用高斯随机测量矩阵实现信号的线性测量，得到压缩感知信号；基于傅里叶基（或投影空间）采样正交匹配追踪算法，利用线性测量值得到信号的重构值；最后，在同等试验条件下测定不同测量次数与重构精度的关系。
算例模型为：
x1（t）=A1cos（2πf1t） A2cos（2πf2t） A3cos（2πf3t）
A4cos（2πf4t） （7）
式中：f1=50 Hz，f2=80 Hz，f3=150 Hz，f4=250 Hz；幅度分别为A1=1.00 V，A2=0.03 V，A3=0.20 V，A4=0.15 V，采样率为800 Hz，信号长度取256个点。
2.1 压缩感知信号重构效果
对上述谐波、间谐波仿真模型进行高斯随机测量，获得其线性测量值，随机测量次数为64次。基于正交匹配追踪算法实现信号重构，正交投影空间选择傅里叶空间，按公式（8）计算信号的重构精度：
压缩传感采样与重构程序运行20次，信号平均重构误差为1.06×10-4。试验结果表明，OMP算法可以从随机测量值中较好的重构谐波、间谐波信号，其中某次试验结果的原始信号与重构信号波形如图1所示。 图1（a）为原始信号；图1（b）为原始信号与重构信号对比效果。由图1可以直观看出，重构信号非常接近原始信号。
2.2 测量次数与重构精度关系测定
为分析随机测量次数M对信号重构精度的影响，选取测量次数分别为2，4，8，16，32，64，128七组，对式（7）信号进行压缩与重构，每组测量次数Mi程序运行20次，计算平均重构误差，作为随机测量次数对应的重构误差，结果列于表1。
从表1中的数据来看，当测量次数小于8次时，重构误差很大，最小误差为0.161 2，说明OMP算法不能从随机测量值中正确恢复原始信号；随着测量次数的增加，信号重构误差越来越小，当测量次数大于16次时，重构精度迅速增加，误差降低至数量级；测量次数从16增加到128，重构误差逐步减小，但仍保持在数量级，说明信号重构效果达到一定精度后，不再随着测量次数的增加而明显减小。为精确重构原始信号，随机测量次数应满足如下关系：
M≥Klog（N/K） （9）
式中：K为信号稀疏度；N为信号长度。
试验信号包含4个频率分量，稀疏度为4；信号长度为256，根据公式（9）计算得最少测量次数应该为24。由试验测试结果可知，当测量次数大于16后，信号重构效果理想，说明试验结果可靠。
3 结论
通过高斯随机测量矩阵实现试验信号的压缩感知，分别基于FFT基矩阵和小波基矩阵实现感知信号的正交匹配追踪重构。试验结果表明：本研究方法可有效实现电能质量信号的压缩传感；随机测量次数越多，信号重构精度越高，当测量次数达到公式（9）约束的关系后，重构精度基本稳定；基于FFT基的信号重构算法适合谐波、间谐波等稳态PQ信号的压缩传感。
参考文献
[1] 于华楠，张敬傑，代芳琳.压缩传感在电能质量扰动信号分析中的应用[J].吉林大学学报（信息科学版），2014（6）：618-623.
[2] 詹旭，罗毅，陈昌忠，等.基于压缩传感的分块DCT域灰度图像水印算法[J].通信技术，2015（1）：90-96.
[3] 陈善雄，何中市，熊海灵，等. 一种基于压缩感知的无线传感信号重构算法[J].计算机学报，2015（3）：614-624.
[4] 彭向东，张华，刘继忠. 基于块稀疏贝叶斯学习的体域网心电压缩采样[J].传感技术学报，2015（3）：401-407.
[5] 朱更明，周星岚，谢井雄，等.基于压缩感知的无线传感网数据收集研究進展[J].西北大学学报（自然科学版），2015（4）：560-567.
[6] 邹斌.基于压缩感知的物联网信号重构算法研究[D].北京：北京邮电大学，2015.
[8] 焦俊，王强，范国华，等. 基于压缩感知的农田温度信息处理[J]. 安徽农业科学，2015（29）：357-359.
[9] 李如春，李林，常丽萍. 基于变采样率压缩感知的视频压缩研究[J]. 电子技术应用，2015（10）：147-149.
[10] 王泉，张金成，张纳温，等.基于改进傅里叶基的压缩感知频谱测量[J].计算机工程与设计，2015（10）：2 627-2 632.
[11] 许学杰，潘志刚，刘畅.基于压缩感知的SAR图像压缩算法[J].中国科学院大学学报，2015（6）：790-796.
关键词：压缩传感；随机测量；信号重构算法；傅立叶基；电能质量
中图分类号：TP206 文献标识码：A 文章编号：1674-1161（2017）01-0049-03
近年来，智能电网迅速发展，风力、微水、光伏等分布式电源的接入，使配电网从无源网络向有源网络转变，导致电能质量（Power Quality，简称PQ）问题变得更加复杂。电力负荷中大量增加的电力电子装置和敏感设备，既带来了大量的电能质量问题，又对配电网电能质量提出了更高要求。配电网电能质量监测与治理等问题成为研究热点。
压缩传感（Compressive Sensing，简称CS）理论通过全局观测（Global Measurement）或线性测量（Linear Measurement）直接获取原始信号的压缩值，将传统的信号采集与压缩合并进行，略过信号的高采样率采集过程，突破奈奎斯特采样频率约束，大大节约数据采集、存储、压缩、传输等环节消耗的硬件资源，最后通过正交匹配追踪等重构算法从压缩感知信号中恢复原始信号，供后续检测处理使用。
针对电能质量信号压缩感知与重构等核心问题，研究电能质量信号在傅里叶基、小波基下的稀疏特性（Sparsity）及线性测量方法；基于正交匹配追踪（Orthogonal Matching Pursuit，简称OMP）思想，通过局部最优化依次寻求压缩感知信号的非零系数，即信号稀疏表示向量评估值，从而获得原始信号重构。
1 压缩传感基本原理
1.1 线性测量原理
对于任意一维的实信号x∈RN×1，信号长度为N。只要能找到对应的稀疏表示空间Ψ，理论上均是可压缩的，一般空间Ψ为正交变换空间。根据公式（1）将信号x投影到Ψ空间：
yi=
式中：Ψ称为正交基；y为信号到Ψ域的投影系数。
则x可由式（2）反变换表示：
x=ΨHy （2）
式中：ΨH为Ψ的反变换。
对于变换系数y能量比x集中，经过正交投影变换去除信号x中的冗余，即y中只包含K个少量的大值系数，K<
s=Φx=ΦΨHy （3）
记ACS=ΦΨH。其中，Φ∈RM×N，称为测量矩阵；s为测量值，长度为M。压缩传感直接通过测量矩阵Φ获得信号的压缩表示，而未经过原始信号的高采样率采样不需要获得信号的N个样值（一般M<
（1-δ）‖x‖2 ≤ ‖s‖2 ≤ （1 δ）‖x‖2 （4）
其中：δ∈（0，1）。
約束等距性条件保证线性测量具有稳定的能量性质，即K稀疏信号x经过线性测量后仍保持K个重要分量的长度。
测量矩阵约束等距性条件的等价条件为：测量矩阵Φ与信号稀疏表示基矩阵ΨH不相关。该条件的含义可以从公式（3）看出：由于矩阵Φ与ΨH不相关，则每次测量都会得到与原信号几乎不同的信息，以保证少量测量值包含原信号的全部信息。
1.2 压缩感知信号重构原理
压缩传感的另一个关键问题是，从长度为M测量向量s中恢复长度为N（M<
第三步，计算残差，并判断残差是否很小。
2 基于傅里叶基信号压缩传感与重构效果
利用Matlab仿真平台产生谐波、间谐波和电压暂降等电能质量信号，运用高斯随机测量矩阵实现信号的线性测量，得到压缩感知信号；基于傅里叶基（或投影空间）采样正交匹配追踪算法，利用线性测量值得到信号的重构值；最后，在同等试验条件下测定不同测量次数与重构精度的关系。
算例模型为：
x1（t）=A1cos（2πf1t） A2cos（2πf2t） A3cos（2πf3t）
A4cos（2πf4t） （7）
式中：f1=50 Hz，f2=80 Hz，f3=150 Hz，f4=250 Hz；幅度分别为A1=1.00 V，A2=0.03 V，A3=0.20 V，A4=0.15 V，采样率为800 Hz，信号长度取256个点。
2.1 压缩感知信号重构效果
对上述谐波、间谐波仿真模型进行高斯随机测量，获得其线性测量值，随机测量次数为64次。基于正交匹配追踪算法实现信号重构，正交投影空间选择傅里叶空间，按公式（8）计算信号的重构精度：
压缩传感采样与重构程序运行20次，信号平均重构误差为1.06×10-4。试验结果表明，OMP算法可以从随机测量值中较好的重构谐波、间谐波信号，其中某次试验结果的原始信号与重构信号波形如图1所示。 图1（a）为原始信号；图1（b）为原始信号与重构信号对比效果。由图1可以直观看出，重构信号非常接近原始信号。
2.2 测量次数与重构精度关系测定
为分析随机测量次数M对信号重构精度的影响，选取测量次数分别为2，4，8，16，32，64，128七组，对式（7）信号进行压缩与重构，每组测量次数Mi程序运行20次，计算平均重构误差，作为随机测量次数对应的重构误差，结果列于表1。
从表1中的数据来看，当测量次数小于8次时，重构误差很大，最小误差为0.161 2，说明OMP算法不能从随机测量值中正确恢复原始信号；随着测量次数的增加，信号重构误差越来越小，当测量次数大于16次时，重构精度迅速增加，误差降低至数量级；测量次数从16增加到128，重构误差逐步减小，但仍保持在数量级，说明信号重构效果达到一定精度后，不再随着测量次数的增加而明显减小。为精确重构原始信号，随机测量次数应满足如下关系：
M≥Klog（N/K） （9）
式中：K为信号稀疏度；N为信号长度。
试验信号包含4个频率分量，稀疏度为4；信号长度为256，根据公式（9）计算得最少测量次数应该为24。由试验测试结果可知，当测量次数大于16后，信号重构效果理想，说明试验结果可靠。
3 结论
通过高斯随机测量矩阵实现试验信号的压缩感知，分别基于FFT基矩阵和小波基矩阵实现感知信号的正交匹配追踪重构。试验结果表明：本研究方法可有效实现电能质量信号的压缩传感；随机测量次数越多，信号重构精度越高，当测量次数达到公式（9）约束的关系后，重构精度基本稳定；基于FFT基的信号重构算法适合谐波、间谐波等稳态PQ信号的压缩传感。
参考文献
[1] 于华楠，张敬傑，代芳琳.压缩传感在电能质量扰动信号分析中的应用[J].吉林大学学报（信息科学版），2014（6）：618-623.
[2] 詹旭，罗毅，陈昌忠，等.基于压缩传感的分块DCT域灰度图像水印算法[J].通信技术，2015（1）：90-96.
[3] 陈善雄，何中市，熊海灵，等. 一种基于压缩感知的无线传感信号重构算法[J].计算机学报，2015（3）：614-624.
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[11] 许学杰，潘志刚，刘畅.基于压缩感知的SAR图像压缩算法[J].中国科学院大学学报，2015（6）：790-796.