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我国数学课程一直将数的运算作为小学数学的主要内容，重视培养学生的运算能力，并且取得了优秀的成绩，积累了很多宝贵的经验。然而，长期以来由于对书面考试（我们分析了一些书面试卷‘县级期末试卷样本’，书面考试内容中50%～75%涉及计算内容）追求，人们更多强调计算得又对又快（当然，我们并不否认这种运算技能的重要性）。相关实践表明，计算内容（笔算为主）即使在不知道其背后原理的情况下，仍可以掌握和使用。这就十分清楚地揭示了数学课堂教学中的一个普遍现象：对于计算教学（笔算），只要让学生把法则背诵下来，反复操练和使用算法就可以达到又对又快。这种现象有学者把它称为“未理解就熟练”。相信大家都会认同这样一个观点：计算教学不应仅仅着眼于技能的形成，而应发展学生对数的性质的理解力和洞察力，培养学生的数感，使学生真正理解算理，同样也承担着培养过程能力（如经验、思考、探究、推理、交流等）、数学思维能力、问题解决能力的重任；积累数学活动经验，为后续学习奠定基础。因此，我认为，计算教学应强调学生在已有知识经验的基础上，理解算理、构建算法。
在整个计算内容的学习过程中，很多教师已认识到借助直观情境、操作帮助学生理解算理、构建算法的重要性。在实际教学中，教师也会设计许多直观情境和操作活动，但这些情境和动手操作就能真正让学生理解计算的算理吗？在许多教师的教学实践中，直观情境和操作何以成了可有可无的摆设？我们是否过分强调我们教师的作用，而忽视了学生的认知发展水平和已有的经验？学生经验、算理和算法应如何结合？在这一命题下，我们可以提出一系列问题：对于计算，学生已有经验中所蕴含的想法有哪些？什么是算理？学生想法中所呈现的算理又是什么呢？算理对构建算法有什么价值？我们在教材和教学中如何帮助学生理解算理并过渡到算法？算法多样化在算理与算法之间起了什么作用？理解算理、构建算法是否只是一节新授课的任务？本文试图通过案例分析作一些尝试性论述。
一
算理就是计算过程中的道理，是指计算过程中的思维方式，是解决为什么这样算的问题。算法就是计算的方法，主要是指计算的法则，就是简约了复杂的思维过程、添加了人为规定后的程式化的操作步骤，主要是解决算得方便、准确的问题。如计算12×3时，就是根据数的组成和乘法的意义，再根据推广的乘法分配律进行演算：
这就是算理。计算中根据乘法的意义，并利用乘法的分配律，这样保持运算的持续性。简单地说，算理可理解为：运算的意义，数概念背后所蕴含的十进制、位值制思想，运算的性质与定律，运算之间的互逆关系。上面的计算可以用竖式表示，即：
当学生进行了一定量的练习以后，发现了计算的规律：一位数与多位数的个位相乘得几个一，一位数与多位数的十位相乘得几个十……最后再把几个乘积合并，这是学生感悟算理的过程。然后进行优化计算过程，为了便于计算一般写成简化竖式形式，在此基础上引导学生抽象概括出普遍适用的计算法则：用一个因数从低位起开始，分别去乘另一个因数的每一位，确定积的定位。这就是算法。
算理与算法有这些关系：算理是客观存在的规律，算法却是人为规定的操作方法；算理为计算提供了正确的思维方式，保证了计算的合理性和正确性，算法为计算提供了快捷的操作方法，提高了计算的速度；算理是算法的理论依据，算法是算理的提炼与概括，它们是相辅相成的。然而，理解算理、构建算法并不能一味强调数学的科学性和教师指向明确的预设，更多地要考虑学生的认知发展水平和已有经验。在学生的学习过程中，学生有日常生活的经验，有数学学习过程中积累的数学活动经验，有他们对新知识理解最朴素的想法，等等。这一切的一切都随着数学活动、学习情境而深入展现出“主动探索”，它具体表现在计算学习中的“算法多样化”过程中。
二
1.学生经验中所蕴含的想法有哪些
从本质上说，学生的数学学习过程是一个自主构建自己对数学知识理解的过程：他们带着自己原有的知识背景、活动经验和理解走进学习活动，并通过自己的主动活动，包括独立思考、与他人交流和反思等，去建构对数学的理解。因此，在教学中我们要鼓励学生自己探索如何进行运算，并尝试说明自己这样算的道理，在这些学生的想法中往往蕴含着算理和算法。
学生在自主探索运算方法的过程中，将运用已有的概念、定律、法则等尝试解决新问题，这就是一个寻找“合乎道理”的运算方法的过程。这些多样化的运算方法往往蕴含着学生心目中的“算理”，并且呈现形式是多样的（如数的、图的），解释的途径也不尽相同，对这些方法的比较和交流无疑为学生理解算理奠定了基础。在此基础上教师再加以总结归纳，学生对于算理的理解就会加深了。
对于“学生经验中所蕴含的想法有哪些”的思考，推广到计算教学的一般层面能给我们一线教师提供通识的策略。首先，要重视学生自主探索计算方法的过程，因为这种探索能唤醒学生与新知识相关的知识和经验。在自主探索的过程中，能尝试说明自己这样算的道理，在这些学生的想法中蕴含着算理（算理的初步理解）。在多种方法呈现的基础上，我们组织不同的学生对各种方法进行比较，让学生明白“算法无所谓好与坏，而是看适合的范围。通常一般的方法适用的范围大，但计算过程不简单；特殊的方法计算简便，但适用的范围小”。当然，在这样的比较过程中，自然而然能凸显其中蕴含的算理，其次，要鼓励每位学生独立思考，并运用自己的语言（可能是日常语言，也可能是科学语言）有条理地表达自己的思考。只有当每位学生参与了独立思考，他们才能得到一种或几种方法（或许一种也没有），才能深入到运算知识的内部关系之中。我们相信，学生对每种方法的叙述，其中一定会有思考、思辨、分析、反思等数学思维的参与。最后，作为教师要不断梳理各种运算的算理，特别是梳理课堂教学中学生常见方法背后蕴含的算理。这样才能从容地面对学生的多种方法，才能引导学生分析、判断各种方法的适用性。
2.通过多元表征的转换理解算理、构建算法
在教学中，我们经常会使用口头语言，并写文字、符号，画出图形、图像，还可能展示实物或数学模型，这些东西称为数学的外部表征，即传递知识、思想而使用的外部交流工具。学生正是通过这些外部媒介来接触原先不了解的东西，掌握、运用它们，然后向老师和同学描绘自己了解了的东西。美国教育心理学家布鲁纳认为，数学对象的表征方式有三种：活动性表征、图性表征和符号性表征，并且它们按这样的前后顺序出现和发展。莱什在此基础上将表征的方法发展为五种，分别称为书面符号、口头语言、操作性模型、图形和实物。他认为，它们之间不一定存在发展的先后次序，主要应重视它们之间的转换和相互影响，因为这种转换和影响对于学生的概念形成和理解有重要的意义。
笔算教学的关键是将这五种表征方式有机结合，口头表达是对直观实物和图形的描述；直观图形和实物则是对算理的直观叙述，是对抽象算法的直观说明，是对书写形式化符号的直观形象的解释，即是“从实物到算式的‘形式化’过程，从算式运算返回到实物解释的‘寻找意义’过程”。
3.理解算理和构建算法需要多长时间
借助于直观的结构化材料理解算理、构建算法，最终应达到算法的熟练运用。这是一个长期的行为，而不仅仅只是第一课时中的“一次性”行为。在当前的教学中，所谓的理解算理就仅仅是一次操作学具，一次看懂直观图到理解竖式，操作学具只是片刻的装饰，后续的练习甚至考试中很少再操作学具、再看学具的直观图。因此，学生对算理仍然没有深刻理解，最终留给学生的仍然只是简单的模仿、机械的计算，一旦涉及稍为复杂一些的计算（如一位数乘两位数进位乘法、两位数乘两位数乘法），学生仍然不会。其根本原因仍然是没有真正理解算理。
第一课时的“一次性”行为不可取，对每一道计算题都利用直观图示解释和操作学具解决也不可取。理解算理和构建算法的时间要视学生对算理与算法之间的沟通情况而定。我们提倡在直观图示解释和具体实物操作的基础上，教师要引导学生联系实物操作的方法和过程，在头脑中进行类似的操作。这样既可以帮助学生摆脱具体实物的束缚，又能让学生对算理算法进行内化。通过一定量的经验积累和适当的重复练习，相信理解算理和构建算法一定能达到双向受益。?
在整个计算内容的学习过程中，很多教师已认识到借助直观情境、操作帮助学生理解算理、构建算法的重要性。在实际教学中，教师也会设计许多直观情境和操作活动，但这些情境和动手操作就能真正让学生理解计算的算理吗？在许多教师的教学实践中，直观情境和操作何以成了可有可无的摆设？我们是否过分强调我们教师的作用，而忽视了学生的认知发展水平和已有的经验？学生经验、算理和算法应如何结合？在这一命题下，我们可以提出一系列问题：对于计算，学生已有经验中所蕴含的想法有哪些？什么是算理？学生想法中所呈现的算理又是什么呢？算理对构建算法有什么价值？我们在教材和教学中如何帮助学生理解算理并过渡到算法？算法多样化在算理与算法之间起了什么作用？理解算理、构建算法是否只是一节新授课的任务？本文试图通过案例分析作一些尝试性论述。
一
算理就是计算过程中的道理，是指计算过程中的思维方式，是解决为什么这样算的问题。算法就是计算的方法，主要是指计算的法则，就是简约了复杂的思维过程、添加了人为规定后的程式化的操作步骤，主要是解决算得方便、准确的问题。如计算12×3时，就是根据数的组成和乘法的意义，再根据推广的乘法分配律进行演算：
这就是算理。计算中根据乘法的意义，并利用乘法的分配律，这样保持运算的持续性。简单地说，算理可理解为：运算的意义，数概念背后所蕴含的十进制、位值制思想，运算的性质与定律，运算之间的互逆关系。上面的计算可以用竖式表示，即：
当学生进行了一定量的练习以后，发现了计算的规律：一位数与多位数的个位相乘得几个一，一位数与多位数的十位相乘得几个十……最后再把几个乘积合并，这是学生感悟算理的过程。然后进行优化计算过程，为了便于计算一般写成简化竖式形式，在此基础上引导学生抽象概括出普遍适用的计算法则：用一个因数从低位起开始，分别去乘另一个因数的每一位，确定积的定位。这就是算法。
算理与算法有这些关系：算理是客观存在的规律，算法却是人为规定的操作方法；算理为计算提供了正确的思维方式，保证了计算的合理性和正确性，算法为计算提供了快捷的操作方法，提高了计算的速度；算理是算法的理论依据，算法是算理的提炼与概括，它们是相辅相成的。然而，理解算理、构建算法并不能一味强调数学的科学性和教师指向明确的预设，更多地要考虑学生的认知发展水平和已有经验。在学生的学习过程中，学生有日常生活的经验，有数学学习过程中积累的数学活动经验，有他们对新知识理解最朴素的想法，等等。这一切的一切都随着数学活动、学习情境而深入展现出“主动探索”，它具体表现在计算学习中的“算法多样化”过程中。
二
1.学生经验中所蕴含的想法有哪些
从本质上说，学生的数学学习过程是一个自主构建自己对数学知识理解的过程：他们带着自己原有的知识背景、活动经验和理解走进学习活动，并通过自己的主动活动，包括独立思考、与他人交流和反思等，去建构对数学的理解。因此，在教学中我们要鼓励学生自己探索如何进行运算，并尝试说明自己这样算的道理，在这些学生的想法中往往蕴含着算理和算法。
学生在自主探索运算方法的过程中，将运用已有的概念、定律、法则等尝试解决新问题，这就是一个寻找“合乎道理”的运算方法的过程。这些多样化的运算方法往往蕴含着学生心目中的“算理”，并且呈现形式是多样的（如数的、图的），解释的途径也不尽相同，对这些方法的比较和交流无疑为学生理解算理奠定了基础。在此基础上教师再加以总结归纳，学生对于算理的理解就会加深了。
对于“学生经验中所蕴含的想法有哪些”的思考，推广到计算教学的一般层面能给我们一线教师提供通识的策略。首先，要重视学生自主探索计算方法的过程，因为这种探索能唤醒学生与新知识相关的知识和经验。在自主探索的过程中，能尝试说明自己这样算的道理，在这些学生的想法中蕴含着算理（算理的初步理解）。在多种方法呈现的基础上，我们组织不同的学生对各种方法进行比较，让学生明白“算法无所谓好与坏，而是看适合的范围。通常一般的方法适用的范围大，但计算过程不简单；特殊的方法计算简便，但适用的范围小”。当然，在这样的比较过程中，自然而然能凸显其中蕴含的算理，其次，要鼓励每位学生独立思考，并运用自己的语言（可能是日常语言，也可能是科学语言）有条理地表达自己的思考。只有当每位学生参与了独立思考，他们才能得到一种或几种方法（或许一种也没有），才能深入到运算知识的内部关系之中。我们相信，学生对每种方法的叙述，其中一定会有思考、思辨、分析、反思等数学思维的参与。最后，作为教师要不断梳理各种运算的算理，特别是梳理课堂教学中学生常见方法背后蕴含的算理。这样才能从容地面对学生的多种方法，才能引导学生分析、判断各种方法的适用性。
2.通过多元表征的转换理解算理、构建算法
在教学中，我们经常会使用口头语言，并写文字、符号，画出图形、图像，还可能展示实物或数学模型，这些东西称为数学的外部表征，即传递知识、思想而使用的外部交流工具。学生正是通过这些外部媒介来接触原先不了解的东西，掌握、运用它们，然后向老师和同学描绘自己了解了的东西。美国教育心理学家布鲁纳认为，数学对象的表征方式有三种：活动性表征、图性表征和符号性表征，并且它们按这样的前后顺序出现和发展。莱什在此基础上将表征的方法发展为五种，分别称为书面符号、口头语言、操作性模型、图形和实物。他认为，它们之间不一定存在发展的先后次序，主要应重视它们之间的转换和相互影响，因为这种转换和影响对于学生的概念形成和理解有重要的意义。
笔算教学的关键是将这五种表征方式有机结合，口头表达是对直观实物和图形的描述；直观图形和实物则是对算理的直观叙述，是对抽象算法的直观说明，是对书写形式化符号的直观形象的解释，即是“从实物到算式的‘形式化’过程，从算式运算返回到实物解释的‘寻找意义’过程”。
3.理解算理和构建算法需要多长时间
借助于直观的结构化材料理解算理、构建算法，最终应达到算法的熟练运用。这是一个长期的行为，而不仅仅只是第一课时中的“一次性”行为。在当前的教学中，所谓的理解算理就仅仅是一次操作学具，一次看懂直观图到理解竖式，操作学具只是片刻的装饰，后续的练习甚至考试中很少再操作学具、再看学具的直观图。因此，学生对算理仍然没有深刻理解，最终留给学生的仍然只是简单的模仿、机械的计算，一旦涉及稍为复杂一些的计算（如一位数乘两位数进位乘法、两位数乘两位数乘法），学生仍然不会。其根本原因仍然是没有真正理解算理。
第一课时的“一次性”行为不可取，对每一道计算题都利用直观图示解释和操作学具解决也不可取。理解算理和构建算法的时间要视学生对算理与算法之间的沟通情况而定。我们提倡在直观图示解释和具体实物操作的基础上，教师要引导学生联系实物操作的方法和过程，在头脑中进行类似的操作。这样既可以帮助学生摆脱具体实物的束缚，又能让学生对算理算法进行内化。通过一定量的经验积累和适当的重复练习，相信理解算理和构建算法一定能达到双向受益。?