中考中的“解直角三角形问题”

• 作 者: 张新
• 出 处: 考试·中考版
• 发表日期: 2011年9期

　　纵观2011年各地中考试题中的应用题，有不少数学问题越来越贴近生活，而且还需要借助于“解直角三角形”的知识，下面介绍四种在中考题中常见的利用“解直角三角形”求线段长的方法．
　　一、 一测点和一角度求线段的方法
　　（2011年潍坊市中考题）今年“五一”假期，某数学活动小组组织一次登山活动，他们从山脚下A点出发沿斜坡AB到达B点，再从B点沿斜坡BC到达山巅C点，路线如图1所示．斜坡BC的长为400米，在C点测得B点的俯角为30°．已知C点海拔721米，求B点的海拔．
　　解如图1，过点C作CF⊥AM，F为垂足，过点B作BE⊥AM，BD⊥CF，垂足分别是E、D．
　　∵ 在C点测得B点的俯角为30°，
　　∴ ∠CBD=30°，且BC=400米．
　　∴ CD=BC×sin∠CBD=400×sin30°=400×=200米．
　　∴ BE=DF=CF-CD=721-200=521米．
　　答：B点的海拔521米．
　　二、一测点两角度求线段的方法
　　（2011年大连市中考题）如图2，某建筑物BC上有一旗杆AB，小明在与BC相距12m的F处，由E点观测到旗杆顶部A的仰角为52°、底部B的仰角为45°．求旗杆AB的高度．
　　（结果精确到0.1m．参考数据：≈1.41，sin52°≈0.79，tan52°≈1.28）
　　解如图2，过点E作ED⊥AC，D为垂足．
　　∵ 由E点观测到旗杆底部B的仰角为45°，
　　∴ ∠BED=45°，且DE=12米，
　　∴ BD=DE×tan∠BED=12×tan45°=12×1=12米．
　　又 ∵由E点观测到旗杆顶部A的仰角为52°，
　　∴ ∠AED=52°，且DE=12米，
　　∴ AD=DE×tan∠AED=12×tan52°≈12×1.28=15.36米，
　　∴ AB=AD-BD=15.36-12=3.36米．
　　答：旗杆AB的高度3.36米．
　　三、 两测点两角度求线段的方法
　　（2011年南京市中考题）如图3，某数学课外活动小组测量电视塔AB的高度，他们借助一个高度为30米的建筑物CD进行测量，在点C处塔顶B的仰角为45°，在点E处测得B的仰角为37°（B、D、E三点在一条直线上）．求电视塔的高度h．
　　（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）
　　解∵ 在Rt△ECD中，tan∠DEC＝，
　　∴ EC＝≈=40米．
　　又 ∵ 在Rt△BAC中，∠BCA＝45°，
　　∴ BA=CA．
　　又 ∵ 在Rt△BAE中，tan∠BEA＝，
　　∴ =0.75，解得：h=120米．
　　答：电视塔高度约为120米．
　　四、 两测点四角度求线段的方法
　　（2011年无锡市中考题）如图4，一架飞机由A向B沿水平直线方向飞行，在航线AB的正下方有两个山头C、D．飞机在A处时，测得山头C、D在飞机的前方，俯角分别为60°和30°．飞机飞行了6千米到B处时，往后测得山头C的俯角为30°，而山头D恰好在飞机的正下方．求山头C、D之间的距离．
　　解过C作CE⊥AD于E．
　　∵ 在△ABD中，∠ABD=90°，∠BAD=30°，AB=6，
　　∴ AD===4．
　　又 ∵ 在△ABC中， ∠BAC=60°，∠ABC=30°，AB=6，
　　∴ ∠ACB=90°，AC=AB×sin∠ABC=AB×sin30°=6×=3．
　　又 ∵ 在△ACE中, ∠AEC=90°，∠EAC=∠BAC-∠BAD=60°-30°=30°，AC=3，
　　∴CE=AC×sin30°=3×sin30°=3×=，
　　AE=AC×cos30°=3×=．
　　又 ∵ 在△CDE中, ∠CED=90°，DE=AD-AE=
　　4－=，
　　∴ 根据勾股定理有：CD====．
　　答：山头C、D之间的距离是千米．
　　无论有几个测点测出几个角度来，求生活中的线段的长度，均需从图中分离出所求线段为边的直角三角形，并运用解直角三角形,特殊角的三角函数,勾股定理等知识来解决问题．