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数学上，把可以构成一个直角三角形三边的一组正整数，称为勾股数.对于勾股数问题，从古至今人们从未停止过探究活动.已知勾边或股边利用整数的性质，容易求出对应的勾股数，但若已知弦边，如何探求勾股数呢？这是一个具挑战性的问题，这里利用一个著名代数恒等式给出一种初等的解决办法，与大家分享.
1一个著名代数恒等式
1.1恒等式：（a2 b2）（c2 d2）
=（ac-bd）2 （ad bc）2（1）
=（ac bd）2 （ad-bc）2.（2）
证明：（1）右边=（ac-bd）2 （ad bc）2
1.22对于恒等式（2）运用乘法交换律、乘法结合律，得
①（a2 b2）（c2 d2）（e2 f2）
=[（ac bd）2 （ad-bc）2]（e2 f2）
=（ace bde adf-bcf）2 （acf bdf-ade bce）2.（Ⅲ）
（a2 b2）[（c2 d2）（e2 f2）]
=（a2 b2）[（ce df）2 （cf-de）2]
=（ace adf bcf-bde）2 （acf-ade-bce-bdf）2.（Ⅳ）
比较（Ⅲ）（Ⅳ）两式运算值，值相等，但其表达式中同类项有的相等、其余的互为相反数；
②由于（c2 d2）（a2 b2）=（ac bd）2 （bc-ad）2，与（2）式比较，结果相等，但其同类项有的相等、其余的互为相反数.
2两个重要结论
结论1已知弦边k，方程x2 y2=k2（*）有正整数解的充要条件是k中含有4n 1型质因数.
证明充分性：设k=R（4n 1），其余非4n 1型质因子的积为R.由文[1]中结论知：由于形为4n 1型的素数可唯一表示为两个整数的平方和.
设4n 1=x21 y21，由推论，（4n 1）2=（x21-y21）2 （2x21y21）2，则k2=R2（4n 1）2=[R（x21-y21）]2 （2Rx21y21）2，得正整数解（x，y）=（R|x21-y21|，2Rx21y21）.
必要性：设x2、y2是x2 y2=k2的一个正整数解.
若（x2，y2）=1，则x2、y2一奇一偶，k必为奇数.由文[2]知：一切勾股数的基本组（即互质）可用下述公式表示：2mn，m2-n2，m2 n2.其中m、n为正整数且m>n，（m，n）=1，一奇一偶.所以一定存在这样的正整数m、n，使x2=2mn，y2=m2-n2，k=m2 n2.下面用反证法证明：假设k中不含有4n 1型的素因数，根据数学家欧拉1747年证明的：奇质数能表示为两个平方数之和的充分必要条件是该素数被4除余1.那么k不能表示为m2 n2型的两数平方和，这与k=m2 n2矛盾，所以k中必含有4n 1型的素因数.
若（x2，y2）=d≠1，设x2=dx3，y2=dx3，则（x3，y3）=1，得到x23 y23=（kd）2，转化为上述情形证之.
结论2方程（*）满足0 根据结论1，将k分解质因数，记4n 1型质因数的积为P，非4n 1型质因数的积记为Q，则k=PQ，由文[3]知结论成立.
由于k2=P12f1P22f2…Pr2frQ2，得P2=P12f1P22f2…Pr2fr，其中Pi为4n 1型质因素，则P2正约数个数为（2f1 1）（2f2 1）…（2fr 1），必為奇数，不同正约数对数，记为S（p），
则S（P）=（2f1 1）（2f2 1）…（2fr 1）-12对，即方程（*）的解的组数为S（k）. 依据结论2可知，S（P）即为相同斜边为k的直角三角形的个数.
3恒等式的应用
根据费马平方和定理，任何被4整除余1的素数都能表示为两个平方数的和[4].则根据婆萝藦笈多─斐波那契恒等式，任何两个被4整除余1的素数的积也能表示为两个平方数的和.
步骤：（1）分解质因素k2=P12f1P22f2…Pr2frQ2.
（2）设Pi=x2i y2i，利用递推式Pni=PiPn-1i（n≥2）将每个P2fi表示成两个平方数的和.
（3）设A、B是P2的一对正约数，即P2=AB，分别将A、B表示成两个平方数的和.特别地，对于A=1时，则B的对应表示式即为P2一个平方和表达式.
（4）对于AB运算，运用恒等式（2），将P2表示成两个平方数的和.
（5）将（4）中所得勾股数Q倍，可得方程（*）的所有解.
根据恒等式的运算特性，为确保过程和结果表示的一致性，步骤（2）、（3）运用恒等式（1）及推论进行计算.为确保结果表示的多样性，步骤（4）运用恒等式（2）进行计算.
4应用举例
在探索过程中，严格按照公式形式进行计算，过程保留性质符号，在结果中取绝对值.
例1已知弦边k=125，求勾股数.
解分解质因数1252=56，5是4n 1型质因数，则有（6 1）-12=3组解.
由于12 22=5，①
①运用推论，得（-3）2 42=52.②
由①×②运用恒等式（1），得
（-11）2 （-2）2=53.③
由①×③运用恒等式（1），得
（-7）2 （-24）2=54.④
由①×④运用恒等式（1），得
412 （-38）2=55.⑤
由①×⑤运用恒等式（1），得
1172 442=56.⑥
设AB=P2（P2=56），则B=P2÷A，则
A=1，B=56，由⑥，得解（117，44）；
A=5，B=55，由①⑤运用恒等式（2），得解（35，120）；
A=52，B=54，由②④运用恒等式（2），得解（75，100）；
故所求3组勾股数解分别是（35，120），（44，117），（75，100）.
例2已知弦边k=325，求勾股数.
解因3252=54×132，5、13都是4n 1型质因数，则有（4 1）（2 1）-12=7组解.
由于12 22=5，①
①运用推论，得（-3）2 42=52.②
由①×②，运用恒等式（1），得
（-11）2 （-2）2=53.③
由①×③，运用恒等式（1），得
（-7）2 （-24）2=54.④
又22 32=13，⑤
⑤运用推论，得（-5）2 122=132.⑥
设AB=P2（P2=54×132），则B=P2÷A，则
序号ABAB解1154×132④×⑥323，362553×132①（③×⑥）165，280352×132②（②×⑥）125，3004535×132③（①×⑥）315，80554132④⑥253，20461354×13⑤（④×⑤）91，35175×1353×13（①×⑤）（③×⑤）195，260与文[3]的结果一致.
例3已知弦边k=360，求勾股数.
解因3602=26×34×52，其中P2=52，Q=72.只有（2 1）-12=1组解.
由12 22=5①，运用推论，得（-3）2 42=52②，利用倍数法，将②式中勾股数72倍，得一组解（216，288）.
例4已知弦边k=21125，求勾股数.
解分解质因数211252=56×134，则共有（6 1）（4 1）-12=17组解.
将5和13分别分拆成两个正整数的平方和.
22 12=5.①
①运用推论，得32 42=52.②
由①×②运用恒等式（1），得22 112=53.③
由①×③运用恒等式（1），得
（-7）2 242=54.④
由①×④运用恒等式（1），得
（-38）2 412=55.⑤
由①×⑤运用恒等式（1），得
（-117）2 442=56.⑥
又32 22=13.⑦
⑦運用推论，得52 122=132.⑧
由⑦×⑧运用恒等式（1），得
（-9）2 462=133.⑨
由⑦×⑨运用恒等式（1），得
（-119）2 1202=134.⑩
设AB=P2（P2=56×134），则B=P2÷A.分别解答如下：
AB由AB得解156×134⑥×⑩（8643，19276）555×134①（⑤×⑩）（10235，18480）5254×134②（④×⑩）（20925，2900）5353×134③（③×⑩）（14875，15000）5452×134④（②×⑩）（3075，20900）555×134⑤（①×⑩）（18565，10080）56134⑥⑩（19203，8804）1356×133⑦（⑥×⑨）（14469，15392）13256×132⑧（⑥×⑧）（19773，7436）13356×13⑨（⑥×⑦）（741，21112）5×1355×133（①×⑦）（⑤×⑨）（20995，2340）52×1354×133（②×⑦）（④×⑨）（10725，18200）53×1353×133（③×⑦）（③×⑨）（8125，19500）54×1352×133（④×⑦）（②×⑨）（20475，5200）55×135×133（⑤×⑦）（①×⑨）（16445，13260）5×13255×132（①×⑧）（⑤×⑧）（5915，20280）52×13254×132（②×⑧）（④×⑧）（12675，16900）例5已知弦边k=2024，求勾股数.
解分解质因素2024=23×11×23，由于质因数2、11、23均不是4n 1型素数，所以以2024为弦的勾股数不存在.
定义当（x，y，k）=1时，满足方程（*）的勾股弦数称为互质勾股数.
猜想当（x，y，k）=1时，方程（*）互质解组数为R（k）=r（r为k中4n 1型不同素因数的个数）.
请大家自行探讨.
参考文献
[1]朱一心.一个整数表示成两个整数平方和的唯一性[J].首都师范大学学报（自然科学版），2015（12）：1-5.
[2]陈景润.初等数论[M].北京：科学出版社，1978：65.
[3]常新德.弦一定勾股数组问题[J].中学数学教学，2000（1）：33-34.
[4]MBA智库百科.费马平方和定理[EB/OL].http：//wiki.mbalib.comwikiFermat's_Square_and_Theorem.
[5]陈珠.勾股数的基本组及其性质[J].中等数学，1984（1）：36-40.
作者简介李发勇（1964—），男，中学高级教师.发表文章60余篇，其中有多篇被引用和转载，另有多篇获得省市一、二等奖.
1一个著名代数恒等式
1.1恒等式：（a2 b2）（c2 d2）
=（ac-bd）2 （ad bc）2（1）
=（ac bd）2 （ad-bc）2.（2）
证明：（1）右边=（ac-bd）2 （ad bc）2
1.22对于恒等式（2）运用乘法交换律、乘法结合律，得
①（a2 b2）（c2 d2）（e2 f2）
=[（ac bd）2 （ad-bc）2]（e2 f2）
=（ace bde adf-bcf）2 （acf bdf-ade bce）2.（Ⅲ）
（a2 b2）[（c2 d2）（e2 f2）]
=（a2 b2）[（ce df）2 （cf-de）2]
=（ace adf bcf-bde）2 （acf-ade-bce-bdf）2.（Ⅳ）
比较（Ⅲ）（Ⅳ）两式运算值，值相等，但其表达式中同类项有的相等、其余的互为相反数；
②由于（c2 d2）（a2 b2）=（ac bd）2 （bc-ad）2，与（2）式比较，结果相等，但其同类项有的相等、其余的互为相反数.
2两个重要结论
结论1已知弦边k，方程x2 y2=k2（*）有正整数解的充要条件是k中含有4n 1型质因数.
证明充分性：设k=R（4n 1），其余非4n 1型质因子的积为R.由文[1]中结论知：由于形为4n 1型的素数可唯一表示为两个整数的平方和.
设4n 1=x21 y21，由推论，（4n 1）2=（x21-y21）2 （2x21y21）2，则k2=R2（4n 1）2=[R（x21-y21）]2 （2Rx21y21）2，得正整数解（x，y）=（R|x21-y21|，2Rx21y21）.
必要性：设x2、y2是x2 y2=k2的一个正整数解.
若（x2，y2）=1，则x2、y2一奇一偶，k必为奇数.由文[2]知：一切勾股数的基本组（即互质）可用下述公式表示：2mn，m2-n2，m2 n2.其中m、n为正整数且m>n，（m，n）=1，一奇一偶.所以一定存在这样的正整数m、n，使x2=2mn，y2=m2-n2，k=m2 n2.下面用反证法证明：假设k中不含有4n 1型的素因数，根据数学家欧拉1747年证明的：奇质数能表示为两个平方数之和的充分必要条件是该素数被4除余1.那么k不能表示为m2 n2型的两数平方和，这与k=m2 n2矛盾，所以k中必含有4n 1型的素因数.
若（x2，y2）=d≠1，设x2=dx3，y2=dx3，则（x3，y3）=1，得到x23 y23=（kd）2，转化为上述情形证之.
结论2方程（*）满足0
由于k2=P12f1P22f2…Pr2frQ2，得P2=P12f1P22f2…Pr2fr，其中Pi为4n 1型质因素，则P2正约数个数为（2f1 1）（2f2 1）…（2fr 1），必為奇数，不同正约数对数，记为S（p），
则S（P）=（2f1 1）（2f2 1）…（2fr 1）-12对，即方程（*）的解的组数为S（k）. 依据结论2可知，S（P）即为相同斜边为k的直角三角形的个数.
3恒等式的应用
根据费马平方和定理，任何被4整除余1的素数都能表示为两个平方数的和[4].则根据婆萝藦笈多─斐波那契恒等式，任何两个被4整除余1的素数的积也能表示为两个平方数的和.
步骤：（1）分解质因素k2=P12f1P22f2…Pr2frQ2.
（2）设Pi=x2i y2i，利用递推式Pni=PiPn-1i（n≥2）将每个P2fi表示成两个平方数的和.
（3）设A、B是P2的一对正约数，即P2=AB，分别将A、B表示成两个平方数的和.特别地，对于A=1时，则B的对应表示式即为P2一个平方和表达式.
（4）对于AB运算，运用恒等式（2），将P2表示成两个平方数的和.
（5）将（4）中所得勾股数Q倍，可得方程（*）的所有解.
根据恒等式的运算特性，为确保过程和结果表示的一致性，步骤（2）、（3）运用恒等式（1）及推论进行计算.为确保结果表示的多样性，步骤（4）运用恒等式（2）进行计算.
4应用举例
在探索过程中，严格按照公式形式进行计算，过程保留性质符号，在结果中取绝对值.
例1已知弦边k=125，求勾股数.
解分解质因数1252=56，5是4n 1型质因数，则有（6 1）-12=3组解.
由于12 22=5，①
①运用推论，得（-3）2 42=52.②
由①×②运用恒等式（1），得
（-11）2 （-2）2=53.③
由①×③运用恒等式（1），得
（-7）2 （-24）2=54.④
由①×④运用恒等式（1），得
412 （-38）2=55.⑤
由①×⑤运用恒等式（1），得
1172 442=56.⑥
设AB=P2（P2=56），则B=P2÷A，则
A=1，B=56，由⑥，得解（117，44）；
A=5，B=55，由①⑤运用恒等式（2），得解（35，120）；
A=52，B=54，由②④运用恒等式（2），得解（75，100）；
故所求3组勾股数解分别是（35，120），（44，117），（75，100）.
例2已知弦边k=325，求勾股数.
解因3252=54×132，5、13都是4n 1型质因数，则有（4 1）（2 1）-12=7组解.
由于12 22=5，①
①运用推论，得（-3）2 42=52.②
由①×②，运用恒等式（1），得
（-11）2 （-2）2=53.③
由①×③，运用恒等式（1），得
（-7）2 （-24）2=54.④
又22 32=13，⑤
⑤运用推论，得（-5）2 122=132.⑥
设AB=P2（P2=54×132），则B=P2÷A，则
序号ABAB解1154×132④×⑥323，362553×132①（③×⑥）165，280352×132②（②×⑥）125，3004535×132③（①×⑥）315，80554132④⑥253，20461354×13⑤（④×⑤）91，35175×1353×13（①×⑤）（③×⑤）195，260与文[3]的结果一致.
例3已知弦边k=360，求勾股数.
解因3602=26×34×52，其中P2=52，Q=72.只有（2 1）-12=1组解.
由12 22=5①，运用推论，得（-3）2 42=52②，利用倍数法，将②式中勾股数72倍，得一组解（216，288）.
例4已知弦边k=21125，求勾股数.
解分解质因数211252=56×134，则共有（6 1）（4 1）-12=17组解.
将5和13分别分拆成两个正整数的平方和.
22 12=5.①
①运用推论，得32 42=52.②
由①×②运用恒等式（1），得22 112=53.③
由①×③运用恒等式（1），得
（-7）2 242=54.④
由①×④运用恒等式（1），得
（-38）2 412=55.⑤
由①×⑤运用恒等式（1），得
（-117）2 442=56.⑥
又32 22=13.⑦
⑦運用推论，得52 122=132.⑧
由⑦×⑧运用恒等式（1），得
（-9）2 462=133.⑨
由⑦×⑨运用恒等式（1），得
（-119）2 1202=134.⑩
设AB=P2（P2=56×134），则B=P2÷A.分别解答如下：
AB由AB得解156×134⑥×⑩（8643，19276）555×134①（⑤×⑩）（10235，18480）5254×134②（④×⑩）（20925，2900）5353×134③（③×⑩）（14875，15000）5452×134④（②×⑩）（3075，20900）555×134⑤（①×⑩）（18565，10080）56134⑥⑩（19203，8804）1356×133⑦（⑥×⑨）（14469，15392）13256×132⑧（⑥×⑧）（19773，7436）13356×13⑨（⑥×⑦）（741，21112）5×1355×133（①×⑦）（⑤×⑨）（20995，2340）52×1354×133（②×⑦）（④×⑨）（10725，18200）53×1353×133（③×⑦）（③×⑨）（8125，19500）54×1352×133（④×⑦）（②×⑨）（20475，5200）55×135×133（⑤×⑦）（①×⑨）（16445，13260）5×13255×132（①×⑧）（⑤×⑧）（5915，20280）52×13254×132（②×⑧）（④×⑧）（12675，16900）例5已知弦边k=2024，求勾股数.
解分解质因素2024=23×11×23，由于质因数2、11、23均不是4n 1型素数，所以以2024为弦的勾股数不存在.
定义当（x，y，k）=1时，满足方程（*）的勾股弦数称为互质勾股数.
猜想当（x，y，k）=1时，方程（*）互质解组数为R（k）=r（r为k中4n 1型不同素因数的个数）.
请大家自行探讨.
参考文献
[1]朱一心.一个整数表示成两个整数平方和的唯一性[J].首都师范大学学报（自然科学版），2015（12）：1-5.
[2]陈景润.初等数论[M].北京：科学出版社，1978：65.
[3]常新德.弦一定勾股数组问题[J].中学数学教学，2000（1）：33-34.
[4]MBA智库百科.费马平方和定理[EB/OL].http：//wiki.mbalib.comwikiFermat's_Square_and_Theorem.
[5]陈珠.勾股数的基本组及其性质[J].中等数学，1984（1）：36-40.
作者简介李发勇（1964—），男，中学高级教师.发表文章60余篇，其中有多篇被引用和转载，另有多篇获得省市一、二等奖.