论文部分内容阅读
摘要利用几何画板对数学课堂教学有很大的帮助。它可以把一些很抽象的知识点变得生动形象、清晰明了;它的动态性可以帮助学生经历知识的发展形成过程,提高学生学习数学的兴趣;它能为学生提供思考和探索的空间;它可以在很大程度上提高课堂的效率。另外,利用它还可以画出准确并且精美的几何图形。总之,几何画板是一个良好的数学教学软件,是数学教师进行计算机辅助教学的好帮手。
关键词几何画板 新课程 动态 直观 探索
中图分类号:G633.6文献标识码:A
新课程标准要求教师转变角色,改变传统的课堂教学模式,要为学生提供现实而有吸引力的学习背景,还明确指出:数学学习活动应当是一个活泼的、主动的和富有个性的过程。
作为可操作的探索工具,现代信息技术不仅能够有力地促进学生创新精神的发展,而且能帮助学生从一些繁琐、枯燥和重复性的工作中解脱出来,使他们有更多的机会动手、动脑、思考和探索,在真正意义上尊重学生的创造性,充分挖掘学生的潜力,促进生生、师生之间的交流与合作,使不断提出问题、解决问题的学习成为可能。①
现代数学和计算机技术的发展,为基础教育数学课程内容的选择提供了重要的依据。用现代数学发展的眼光看基础、改造原有的基础、建设新的基础,乃是数学课程内容改革的要义。用这样的观点来看目前的数学课程,就会发现确实需要认真选择和变革了:概率统计(数据处理)需要从整体上加强,从平面到立体的几何直观需要突出。②
几何画板正是一个符合我们新课程标准的优秀而又方便的教育软件。它非常适合于初中平面几何和立体几何的教学工作,与黑板或草稿纸上画出的几何图形相比,在几何画板上画出的图形是动态的,并且能在动态中保持设定的几何关系不变,这样得到的是一个满足一组设定条件的几何系统,教师和学生可以在动态中,十分直观地看到这个系统中存在的种种几何现象,从而可以去探索和发现其中反映的几何规律。利用这个软件,教师就可以引导学生独立或分组对某些系统进行观察和分析,完全可以避免传统教学中教师教与学生学互动性差的课堂模式。它为我们实施新课程标准搭建了一个非常好的平台,提供了一个快捷方便的教学工具。
1 用几何画板可以使课堂教学中一些较难讲清,需要学生靠想象得出结论的内容变得清晰和直观,充分体现了直观教学的优越性
教师使用几何画板,能使静态的图形变动态,抽象的概念变形象,枯燥的内容变有趣,利用几何画板,可以更好地揭示知识之间的内在联系,暴露知识发生、发展的过程。③
《数学课程标准解读》第三章――“对中国数学课程未来的展望”中谈到:教师普遍使用多媒体手段开展教学活动,一些过去只能通过思维、表象和想象来领会的数学内容,可以得到直观的表示和处理。数学的现实情景和虚拟情景将通过现代信息技术融会贯通。现代信息技术强大的认知工具作用,无疑将极大地影响数学课程的发展。④
比如在讲授平行线分线段成比例定理时,我利用几何画板的动画功能和计算功能制作了一个课件。通过在课堂教学中的实际运用,使我深刻感受到利用几何画板的动画性和直观性,使这一在传统的教学方式下学生较难接受的知识点变得非常清晰!
传统的教学方式下,教师首先从平行线等分线段定理引出,当a∥b∥c时,如果AB:BC=1:1,则DE:EF=1:1,得到AB:BC =DE:EF。此时提出问题:如果在a∥b∥c时,AB:BC≠1:1,比如AB:BC=k(k≠1),那么等式AB:BC =DE:EF还成立吗?此后在教学中教师还得假定AB:BC=2:3,证明等式成立,再告诉学生当AB:BC等于其他任意值时,等式总是成立的。这样的 “证明”显然是不充分的,学生听起来也是似懂非懂。
在几何画板下,我们任意地画三条平行线a、b、c(如图1所示),再画出两条截线AC和DE,我们首先计算出线段AB、BC、DE、EF的长度,再计算出AB与BC的比值和DE与EF的比值。其次让线段AC动起来(保持与三条平行线的相交),我们会看到尽管线段AB与BC的长度在不停地发生变化,但总有AB:BC=DE:EF。最后,我们再让直线c上下移动,结论还是成立。这样就使学生获得了非常直观的印象,并且能很快总结出定理,也能很容易理解定理的内容。
又比如,在学习勾股定理时,书上采用的是让学生用刻度尺度量,数小正方形格子等方法发现定理,而后又让学生画出一个直角边长分别为5和12的直角三角形,再量出其斜边长来验证定理,最后让学生用4个全等的三角形拼一个中空的正方形,利用面积来推证定理。设计得可谓周密,但学生对结论的正确性还不能十分肯定。我用几何画板的动态性功能做出的课件进行演示,会使学生很快就能理解了定理的正确性。还能比较容易地总结出定理。
我们过直角三角形的直角顶点向其斜边做垂线,将图中的大正方形一分为二为两个矩形,通过如图所示的三步移动使两个矩形分别与两个小正方形重合,同学们利用小学学习的“等底等高的两个四边形面积相等”知识就可以很容易地得出勾股定理。
2 利用几何画板的动画功能可以使复杂的问题简单化,抽象的问题直观化,有效地提高了课堂的效率
在学习二次函数的图象时,我利用几何画板作了一个课件,如图所示,拖动点A,屏幕上的a的值――抛物线的二次项系数――点A的纵坐标就会发生变化,相应地,抛物线的开口大小和开口方向都会发生改变,我只在x轴上方(a>0)反复移动点A,不再把点A拖到x轴下方去,此时我提出问题:当点A被拖动到x轴下方时,抛物线的开口方向会发生变化吗?学生的兴趣被激发出来,开展积极的思考,开口方向应该向下,a的绝对值越大,抛物线开口越小,反之,则越大。当点A移动到x轴上时,又会出现什么情况?此时a=0,二次项为0,图象将变成一条直线。
而当我拖动点B(点A在x轴上方)时,屏幕上的b的值――抛物线的一次项系数――点B的横坐标发生了变化,抛物线的开口大小和方向没变,但抛物线的对称轴却左右移动,和刚才一样,我只在y轴的左侧反复拖到点B,这时我又向学生提出问题:当我把点B拖到到y轴右侧时会发生什么情况?学生经过观察,发现当b<0时,对称轴在y轴右侧,当b>0时,对称轴应该在y轴左侧。我再把点A拖到x轴下方,启发学生思考:刚才的结论还会成立吗?学生经过积极思考会最终发现:a、b同号时,对称轴在y轴左侧,a、b异号时,对称轴在y轴右侧。
另外我还引导学生思考:在我拖动点A或点B时,图象是否总是经过同一个点?我再演示一次,学生很容易发现,图象总是过点(0,2)。明白解析式中的常数项实际上就是图象与y轴交点的纵坐标。
通过这一系列问题,引导学生去思考,去发现,去总结,使他们对抛物线图象的形状和位置与解析式中各项系数的关系增强理解,提高了学生抛物线的认识。利用动态的演示不仅使课堂教学变得生动有趣,提高了学生的参与度,也是较难理解的知识点变得又直观又明白。比在黑板上画几条抛物线再去分析要快捷和有效得多。
3 《几何画板》的最大特点是动态性,并能在动态中保持不变的几何关系。这一特点非常有利于学生思考和探索数学问题,为学生提供了探索性学习的空间
《数学课程标准解读》在谈到学生在学习方式上存在的问题时提出:借助现代信息技术手段进行数学实验和多样化的探索或学习,拓展自己的学习空间,仍是学生在学习方式一个薄弱的方面。⑤同时,《数学课程标准解读》在谈到如何认识现代信息技术在数学课程中的作用时又提出:现代信息技术对数学课程的影响在观念上的意义远大于其实际意义。现代信息技术本身虽不是新一轮数学课程改革的直接动因,但却是这场改革不可或缺的重要条件。《新课程标准》指出,现代信息技术要“致力于改变学生的学习方式,使学生乐意有更多的精力投入到现实的、探索性的数学活动中去”。⑥
由此可以看出,改变学生的学习方式是新一轮课程改革的一个重要方面。传统的数学课堂教学是以教师的教为主,学生的学习是被动的。要实现新课程改革的要求,教师就必须转换角色,教师应逐步向数学活动的组织者、引导者和合作者转换,教和学要向和谐统一的方向发展。几何画板为学生提供了这方面的探索平台,我们有效地利用几何画板的动画性可以为学生创造更多的参与机会,让学生主动参与、乐于探究。
例如我们曾见过这样一道题,点P是正方形ABCD内的一点,AP = 4,BP = 3,CP = 2,求DP的长。这道题的解答并不难,我们只要过点P作PM⊥BC于M点, PN⊥AD于N点。构造出几个直角三角形利用勾股定理即可求出线段PD的长为。在求出PD的长之后,我又为学生设计了以下几个问题:(1)把PA、PB、PC的长分别为a、b、c,求PD的长;(2)线段PD的长与线段PA,PB,PC的长之间会有什么等量关系呢?引导学生去发现等式PA2+PC2 = PB2 + PD2;(3)如果点P在正方形的某一边上(比如在边AD上)时,(2)的结论还成立吗?(4)如果点P在正方形的外部时,(2)的结论还成立吗?一步步引导学生去思考、去探索。在解决这类问题时,几何画板还可以发挥其动画性特征,通过计算来演示结论的正确性。
4 利用几何画板进行画图,可以制作准确而又精美的数学试卷和数学论文
由于在几何画板软件中能够作线段的中点,角的平分线,还可以作垂直,画平行,我们还可以利用其中的图形变换功能作对称、平移、缩放和旋转,所以用几何画板画图而后插入Word文件中,比用Word自身的画图工具画出的图形是既准确又精美,同时还不用把线段、点以及表示线段和点的字母等图形要素一一组合。这一点在数学教师制作数学试卷和书写数学论文时非常有用。
具体作法是:在几何画板中把图形画好后,用选择工具把各个图形要素全部选定,而后复制并粘贴到Word文件中,此时它只是一个图片文件,不能移动。我们只要改变一下图片格式就可以移动它,并且还可以根据需要改变其大小。
注释
①全日制义务教育数学课程标准(实验稿)解读.北京师范大学出版社:121.
②全日制义务教育数学课程标准(实验稿)解读.北京师范大学出版社:67.
③陶维林.4.03版几何画板实用范例教程.前言.清华大学出版社.
④全日制义务教育数学课程标准(实验稿)解读.北京师范大学出版社:337.
⑤全日制义务教育数学课程标准(实验稿)解读.北京师范大学出版社:76.
⑥全日制义务教育数学课程标准(实验稿)解读.北京师范大学出版社:120.
关键词几何画板 新课程 动态 直观 探索
中图分类号:G633.6文献标识码:A
新课程标准要求教师转变角色,改变传统的课堂教学模式,要为学生提供现实而有吸引力的学习背景,还明确指出:数学学习活动应当是一个活泼的、主动的和富有个性的过程。
作为可操作的探索工具,现代信息技术不仅能够有力地促进学生创新精神的发展,而且能帮助学生从一些繁琐、枯燥和重复性的工作中解脱出来,使他们有更多的机会动手、动脑、思考和探索,在真正意义上尊重学生的创造性,充分挖掘学生的潜力,促进生生、师生之间的交流与合作,使不断提出问题、解决问题的学习成为可能。①
现代数学和计算机技术的发展,为基础教育数学课程内容的选择提供了重要的依据。用现代数学发展的眼光看基础、改造原有的基础、建设新的基础,乃是数学课程内容改革的要义。用这样的观点来看目前的数学课程,就会发现确实需要认真选择和变革了:概率统计(数据处理)需要从整体上加强,从平面到立体的几何直观需要突出。②
几何画板正是一个符合我们新课程标准的优秀而又方便的教育软件。它非常适合于初中平面几何和立体几何的教学工作,与黑板或草稿纸上画出的几何图形相比,在几何画板上画出的图形是动态的,并且能在动态中保持设定的几何关系不变,这样得到的是一个满足一组设定条件的几何系统,教师和学生可以在动态中,十分直观地看到这个系统中存在的种种几何现象,从而可以去探索和发现其中反映的几何规律。利用这个软件,教师就可以引导学生独立或分组对某些系统进行观察和分析,完全可以避免传统教学中教师教与学生学互动性差的课堂模式。它为我们实施新课程标准搭建了一个非常好的平台,提供了一个快捷方便的教学工具。
1 用几何画板可以使课堂教学中一些较难讲清,需要学生靠想象得出结论的内容变得清晰和直观,充分体现了直观教学的优越性
教师使用几何画板,能使静态的图形变动态,抽象的概念变形象,枯燥的内容变有趣,利用几何画板,可以更好地揭示知识之间的内在联系,暴露知识发生、发展的过程。③
《数学课程标准解读》第三章――“对中国数学课程未来的展望”中谈到:教师普遍使用多媒体手段开展教学活动,一些过去只能通过思维、表象和想象来领会的数学内容,可以得到直观的表示和处理。数学的现实情景和虚拟情景将通过现代信息技术融会贯通。现代信息技术强大的认知工具作用,无疑将极大地影响数学课程的发展。④
比如在讲授平行线分线段成比例定理时,我利用几何画板的动画功能和计算功能制作了一个课件。通过在课堂教学中的实际运用,使我深刻感受到利用几何画板的动画性和直观性,使这一在传统的教学方式下学生较难接受的知识点变得非常清晰!
传统的教学方式下,教师首先从平行线等分线段定理引出,当a∥b∥c时,如果AB:BC=1:1,则DE:EF=1:1,得到AB:BC =DE:EF。此时提出问题:如果在a∥b∥c时,AB:BC≠1:1,比如AB:BC=k(k≠1),那么等式AB:BC =DE:EF还成立吗?此后在教学中教师还得假定AB:BC=2:3,证明等式成立,再告诉学生当AB:BC等于其他任意值时,等式总是成立的。这样的 “证明”显然是不充分的,学生听起来也是似懂非懂。
在几何画板下,我们任意地画三条平行线a、b、c(如图1所示),再画出两条截线AC和DE,我们首先计算出线段AB、BC、DE、EF的长度,再计算出AB与BC的比值和DE与EF的比值。其次让线段AC动起来(保持与三条平行线的相交),我们会看到尽管线段AB与BC的长度在不停地发生变化,但总有AB:BC=DE:EF。最后,我们再让直线c上下移动,结论还是成立。这样就使学生获得了非常直观的印象,并且能很快总结出定理,也能很容易理解定理的内容。
又比如,在学习勾股定理时,书上采用的是让学生用刻度尺度量,数小正方形格子等方法发现定理,而后又让学生画出一个直角边长分别为5和12的直角三角形,再量出其斜边长来验证定理,最后让学生用4个全等的三角形拼一个中空的正方形,利用面积来推证定理。设计得可谓周密,但学生对结论的正确性还不能十分肯定。我用几何画板的动态性功能做出的课件进行演示,会使学生很快就能理解了定理的正确性。还能比较容易地总结出定理。
我们过直角三角形的直角顶点向其斜边做垂线,将图中的大正方形一分为二为两个矩形,通过如图所示的三步移动使两个矩形分别与两个小正方形重合,同学们利用小学学习的“等底等高的两个四边形面积相等”知识就可以很容易地得出勾股定理。
2 利用几何画板的动画功能可以使复杂的问题简单化,抽象的问题直观化,有效地提高了课堂的效率
在学习二次函数的图象时,我利用几何画板作了一个课件,如图所示,拖动点A,屏幕上的a的值――抛物线的二次项系数――点A的纵坐标就会发生变化,相应地,抛物线的开口大小和开口方向都会发生改变,我只在x轴上方(a>0)反复移动点A,不再把点A拖到x轴下方去,此时我提出问题:当点A被拖动到x轴下方时,抛物线的开口方向会发生变化吗?学生的兴趣被激发出来,开展积极的思考,开口方向应该向下,a的绝对值越大,抛物线开口越小,反之,则越大。当点A移动到x轴上时,又会出现什么情况?此时a=0,二次项为0,图象将变成一条直线。
而当我拖动点B(点A在x轴上方)时,屏幕上的b的值――抛物线的一次项系数――点B的横坐标发生了变化,抛物线的开口大小和方向没变,但抛物线的对称轴却左右移动,和刚才一样,我只在y轴的左侧反复拖到点B,这时我又向学生提出问题:当我把点B拖到到y轴右侧时会发生什么情况?学生经过观察,发现当b<0时,对称轴在y轴右侧,当b>0时,对称轴应该在y轴左侧。我再把点A拖到x轴下方,启发学生思考:刚才的结论还会成立吗?学生经过积极思考会最终发现:a、b同号时,对称轴在y轴左侧,a、b异号时,对称轴在y轴右侧。
另外我还引导学生思考:在我拖动点A或点B时,图象是否总是经过同一个点?我再演示一次,学生很容易发现,图象总是过点(0,2)。明白解析式中的常数项实际上就是图象与y轴交点的纵坐标。
通过这一系列问题,引导学生去思考,去发现,去总结,使他们对抛物线图象的形状和位置与解析式中各项系数的关系增强理解,提高了学生抛物线的认识。利用动态的演示不仅使课堂教学变得生动有趣,提高了学生的参与度,也是较难理解的知识点变得又直观又明白。比在黑板上画几条抛物线再去分析要快捷和有效得多。
3 《几何画板》的最大特点是动态性,并能在动态中保持不变的几何关系。这一特点非常有利于学生思考和探索数学问题,为学生提供了探索性学习的空间
《数学课程标准解读》在谈到学生在学习方式上存在的问题时提出:借助现代信息技术手段进行数学实验和多样化的探索或学习,拓展自己的学习空间,仍是学生在学习方式一个薄弱的方面。⑤同时,《数学课程标准解读》在谈到如何认识现代信息技术在数学课程中的作用时又提出:现代信息技术对数学课程的影响在观念上的意义远大于其实际意义。现代信息技术本身虽不是新一轮数学课程改革的直接动因,但却是这场改革不可或缺的重要条件。《新课程标准》指出,现代信息技术要“致力于改变学生的学习方式,使学生乐意有更多的精力投入到现实的、探索性的数学活动中去”。⑥
由此可以看出,改变学生的学习方式是新一轮课程改革的一个重要方面。传统的数学课堂教学是以教师的教为主,学生的学习是被动的。要实现新课程改革的要求,教师就必须转换角色,教师应逐步向数学活动的组织者、引导者和合作者转换,教和学要向和谐统一的方向发展。几何画板为学生提供了这方面的探索平台,我们有效地利用几何画板的动画性可以为学生创造更多的参与机会,让学生主动参与、乐于探究。
例如我们曾见过这样一道题,点P是正方形ABCD内的一点,AP = 4,BP = 3,CP = 2,求DP的长。这道题的解答并不难,我们只要过点P作PM⊥BC于M点, PN⊥AD于N点。构造出几个直角三角形利用勾股定理即可求出线段PD的长为。在求出PD的长之后,我又为学生设计了以下几个问题:(1)把PA、PB、PC的长分别为a、b、c,求PD的长;(2)线段PD的长与线段PA,PB,PC的长之间会有什么等量关系呢?引导学生去发现等式PA2+PC2 = PB2 + PD2;(3)如果点P在正方形的某一边上(比如在边AD上)时,(2)的结论还成立吗?(4)如果点P在正方形的外部时,(2)的结论还成立吗?一步步引导学生去思考、去探索。在解决这类问题时,几何画板还可以发挥其动画性特征,通过计算来演示结论的正确性。
4 利用几何画板进行画图,可以制作准确而又精美的数学试卷和数学论文
由于在几何画板软件中能够作线段的中点,角的平分线,还可以作垂直,画平行,我们还可以利用其中的图形变换功能作对称、平移、缩放和旋转,所以用几何画板画图而后插入Word文件中,比用Word自身的画图工具画出的图形是既准确又精美,同时还不用把线段、点以及表示线段和点的字母等图形要素一一组合。这一点在数学教师制作数学试卷和书写数学论文时非常有用。
具体作法是:在几何画板中把图形画好后,用选择工具把各个图形要素全部选定,而后复制并粘贴到Word文件中,此时它只是一个图片文件,不能移动。我们只要改变一下图片格式就可以移动它,并且还可以根据需要改变其大小。
注释
①全日制义务教育数学课程标准(实验稿)解读.北京师范大学出版社:121.
②全日制义务教育数学课程标准(实验稿)解读.北京师范大学出版社:67.
③陶维林.4.03版几何画板实用范例教程.前言.清华大学出版社.
④全日制义务教育数学课程标准(实验稿)解读.北京师范大学出版社:337.
⑤全日制义务教育数学课程标准(实验稿)解读.北京师范大学出版社:76.
⑥全日制义务教育数学课程标准(实验稿)解读.北京师范大学出版社:120.