论文部分内容阅读
【摘 要】在图形与几何教学中，培养学生的空间观念是教学重点。基于学生已有的学习经验，学会推想，不仅是“图形与几何”问题解决的好方法，同时也能发展学生的空间观念。本文结合小学六年级“图形与几何”复习教学实践体会，力图从平面与立体的联系、立体图形之间的联系、类似情景的联系等方面融入推想活动，助力“图形与几何”教学。
【关键词】推想；画图；几何直观
新课标要求在教学过程中要让学生通过观察、实验、猜测、验证、推想与交流等一系列教学活动，形成对数学知识的理解和掌握。在课堂上，教师如果能够依据教学内容，让学生经常展开推想活动，将对学生思维的发展产生积极作用。那么什么是推想呢？推想意为“推测”，即“根据已经知道的事情来想象不知道的事情”。这种推想，就是学生基于已有活动的经验，按照思维过程的规律进行合理的推想。教学中，启发学生开展推想活动，能拓宽学生的思路，培养学生思维的灵活性，对学生空间观念的培养，有着十分重要的助推作用。笔者结合小学六年级“图形与几何”复习教学，谈谈自己的体会。
一、从平面与立体的联系展开推想，培养学生的空间想象能力
系统性、逻辑性是数学的主要特征之一。数学本身的知识间的内在联系是很紧密的，各部分知识都不是孤立的，而是个结构严密的整体。在“图形与几何”领域中，立体图形与平面图形关系密切，从联系与发展的观点来看，孤立地研究平面图形，学生所获取的知识单一的分散的，只限于对平面图形的感知，不利于学生更长久的发展。其实，平面图形形成立体图形，就是动态的过程，如果教师能有目的有意识地启发学生想象立体图形的变化过程，并根据两者的联系，展开推想活动，让学生的思维从二维向三维飞跃，也能发展学生的空间想象能力。
比如，在六年级复习中，经常会碰到这样的题：圆外切一个正方形，求圆的面积。
师：怎样求圆的面积？你是怎样想的？
生：圆的直径就是正方形的边长，因为正方形的边长是6厘米，所以，圆的直径也是6厘米。那么圆的面积就是3.14×32=28.26（平方厘米）。
师：根据圆与正方形之间的联系，解决了这道题，很好。以后在解决问题中，也可以找找图形之间的联系，想办法解决问题。
片段二：
师：怎样求圆的面积？你是怎样想的？
生：圆的直径就是正方形的边长，因为正方形的边长是6厘米，所以，圆的直径也是6厘米。那么圆的面积就是3.14×32=28.26（平方厘米）。
师：圆的面积与正方形面积有怎样的关系？
生1：正方形面积与圆的面积之比是4：π
生2：圆的面积是正方形面积的78.5%。
师：根据圆的面积是正方形的78.5%，这是平面图形之间的关系。如果这个正方形不断向上平移，里面的圆也同时向上平移，那么形成的会是怎样的图形呢？
生1：正方体里面有一个圆柱。
生2：这个圆柱是正方体中最大的圆柱。
师：由此你能推想它们的体积之间的关系吗？
生：我认为圆柱的体积可能是正方体体积的78.5%。因为，它们的高相等，底面积其实就是圆的面积占正方形面积的78.5%，所以，我推想圆柱的体积占正方体体积的78.5%。
师：你们同意他的观点吗？
生：同意。
师：那么怎么检验你的想法是合理的呢？不如，你们画画草图，验证一下自己的推想是否合理。
生动手画图验证推想。
分析：
片段一中，教师引导学生抓住了圆与外切正方形两者之间的联系，通过观察、交流，帮助解决了一道题。同时，教师及时小结解决问题的方法，帮助学生积累了学习方法的经验。学生虽会根据图形之间的联系，找到解决问题的关键，但仅仅学会了这一道题的解法。
片段二中，教师从平面图形圆与正方形的关系入手，抓住了圆外切正方形与正方体中最大的圆柱的高相等以及底面积的联系，启发学生展开推想。正因为教师给学生搭建了平面图形中圆与正方形的面积关系这一“脚手架”，使学生的推想有了可循的方向，避免了天马行空似的胡乱想象。并利用画图这一工具，让学生从直观中检验自己推想的合理性。从一个知识点推想到另一知识点，学会融会贯通，实现认知上的一次飞跃。
又如，当学生理解了周长相等，圆的面积>正方形的面积>长方形的面积后，教师启发学生推想，当长方体、正方体、圆柱体的侧面积相等，高也相等时，谁的体积最大？
从平面图形到立体图形，虽然是不同维度，看似无法相通与相融，但是在推想中却让学生感受到其中的内在联系：如果动态的看待立体图形，把它看成同底的平面图形的高在不断的增长，就可寻找到二者的共同之处，让推想变得合理有序，发展了学生的空间想象能力。
二、根据立体图形之间的联系展开推想，发展几何直观
学生研究平面图形到研究立体图形是认识上的飞跃，由于小学生的知识经验储备少，思维正处于从形象思维为主向逻辑思维过渡的阶段，在研究图形知识时尽量借助直观来帮助理解。教学中，不妨根据立体图形的联系，选取有效的教学切入点，实施推想活动，并结合画图等策略，利用图形来描述和分析问题，发展学生的几何直观。
在圆柱与圆锥体积复习中，经常会出现这样的题目：一个圆柱和一个圆锥的体积和底面积都相等，已知圆柱的高是6厘米，那么圆锥的高是（ ）厘米。有学生就会认为圆锥的高是2厘米。圆柱与圆锥的体积、底面积、高三个量变化复杂，抽象难懂，学生难免出错。其实，在充分理解等底等高的圆柱与圆锥的体积关系的基础上，这3个元素中，2个元素不变，另一个元素的变化有着一定的规律。如果在教学中放慢教学的步伐，借助直观图，融入推想，学生也能轻松理解。
首先，帮助学生充分理解等底等高的圆柱与圆锥之间的体积关系。教学时，教师应让学生回顾倒水或倒沙子实验的过程，理解公式中的三分之一的含义，在头脑中形成等底等高圆柱与圆锥的体积关系图。（图1） 接着，引导学生观察图形，启发推想：如果一个圆柱与一个圆锥体积相同，底面积相同，两者的高有什么关系呢？学生通过推想，得到圆锥的高是圆柱高的3倍。配以图画（图2），形象地描述为圆柱矮矮的，圆锥高高的。“为什么两者身高相差这么多呢”？“为什么圆锥的高是圆柱的3倍？”启发学生通过举例、利用公式的变形、利用直观图形等分析问题，逐渐理解两者的关系。
最后，引导学生继续推想：刚才我们研究发现圆柱与圆锥体积、底面积这两个量不变的条件下，高的变化关系图，你还能想到两者存在怎样的关系？学生推想出圆柱和圆锥的体积相等，高也相等时，圆锥的底面积是圆柱底面积的3倍，并用画图来解释自己的推想（图3），配上形象的语言，身高相同，圆柱苗条，圆锥粗壮。多么好的描述！
从等底等高圆柱和圆锥体积关系出发，启发学生展开推想，运用画图、对比、生活化语言描述等方法，让学生理解圆柱和圆锥底面积、体积、高三个量之间的变化关系，使学生对这一疑难知识有清晰的认识，同时发展了几何直观能力。
又如，在学完长方体、正方体、圆柱体积公式统一为底面积×高后，教师出示一个三棱柱，让学生观察三棱柱与它们的共同点是什么？学生利用直观图找到了联系：每个图形上下粗细是一样的，都是直柱体。由此你能推想三棱柱的体积怎么计算？四棱柱的体积怎样算？学生依托头脑中图形的样子，思考图形之间的联系，展开推想，让学生既体验到学习的乐趣，又发展了几何直观。
在观察立体图形特点规律的过程中合理推想，不仅让学生由一种图形的样子推想到另一种图形的形状，找到这些图形中存在的内在联系与区别，更重要的是发展了学生的几何直观。
三、根据类似情境展开推想，构建数学模型
数学模型，一般是指用数学语言、符号或图形等形式来刻画、描述、反映特定的问题或事物之间关系的数学结构。图形与几何知识，常常因为图形的变化多端，解题方法的多种多样，成为学生学习中的难点。实际上，每一道几何题目背后都有着一定的法则和规律，每一类题都有着相似的解题思想，这种思想的集中体现，便是模型的作用所在。对于模型的理解与认识，可以在一个问题的解决后，让学生推想类似的问题情境，在联系所学知识、比较、分析、归纳中构建数学模型，提高解决此类问题的能力。
六年级体积概念复习时，像物体沉没水中求物体的体积问题，水中有时放规则的物体，有时放不规则的物体，水面有时上升，有时下降，使一些同学对此类问题百思不得其解。笔者在教学实践中发现，要让学生理解这类问题，需要借助直观图形，展开推想，试着从一道题开始进行等效变换，才能把这一类问题灵活变通。
比如，在一只底面直径是60厘米的圆柱形储水桶里，有一个半径是20厘米的圆锥形铁块浸在水里，当铁块从储水桶里取出时，桶里的水面下降5厘米，这个圆锥形铁块的体积是多少立方厘米？通过画图，想象与交流，让学生初步理解圆锥形铁块的体积=下降部分水的体积，即固体铁块的体积转化成了液体的水的体积。图形的形态发生了变化，体积不变。根据这一思想，教师可以启发学生展开推想，“如果还是用“3.14×（60÷2）2 ×5”来解决，这道题还可以怎么变化呢？”于是学生想到：
情境1：在一只底面直径是60厘米的圆柱形储水桶里，有一个不规则形状的铁块浸在水里，当铁块从储水桶里取出时，桶里的水面下降5厘米，这个铁块的体积是多少立方厘米？
情境2：在一只底面直径是60厘米的圆柱形储水桶里，水面高度7厘米，把一个不规则形状的石头浸没在水里，上面上升到12厘米，这块石头的体积是多少立方厘米？
情境3：在一只底面直径是60厘米的圆柱形储水桶里，有一块石头沉没在水中，把石头从水中取出后，水面下降了5厘米，这块石头的体积是多少立方厘米？
从一个问题的解决开始，使学生在推想类似的情境中，认识到共性：放入（取出）水中的物体的体积都转化成了水的体积，因为他们的体积是相等的，所以计算公式都是：放入（取出）水中物体的体积=容器的底面积×水的变化高度。教师引导学生展开推想，发散了学生的思维，同时又对同类的数学问题进行分析、比较与归纳，从而帮助学生构建数学模型。
总之，在图形与几何教学中进行推想活动，能较好地发展学生的空间观念，同时更好地发展学生的数学思维能力。作为老师要从理念上充分认识到，在传授学生数学知识的同时更要注重培养学生的空间观念，使推想不仅是学生解决“图形与几何”问题的一种重要思想方法，更是数学教学的一种重要策略与智慧。
参考文献
[1]陈霞芬.融合与发展[M].杭州：浙江教育出版社，2012.
[2]黄秀琼.从生活到数学：发展学生空间观念的必经之路[J].小学数学教育，2014（02）.
【关键词】推想；画图；几何直观
新课标要求在教学过程中要让学生通过观察、实验、猜测、验证、推想与交流等一系列教学活动，形成对数学知识的理解和掌握。在课堂上，教师如果能够依据教学内容，让学生经常展开推想活动，将对学生思维的发展产生积极作用。那么什么是推想呢？推想意为“推测”，即“根据已经知道的事情来想象不知道的事情”。这种推想，就是学生基于已有活动的经验，按照思维过程的规律进行合理的推想。教学中，启发学生开展推想活动，能拓宽学生的思路，培养学生思维的灵活性，对学生空间观念的培养，有着十分重要的助推作用。笔者结合小学六年级“图形与几何”复习教学，谈谈自己的体会。
一、从平面与立体的联系展开推想，培养学生的空间想象能力
系统性、逻辑性是数学的主要特征之一。数学本身的知识间的内在联系是很紧密的，各部分知识都不是孤立的，而是个结构严密的整体。在“图形与几何”领域中，立体图形与平面图形关系密切，从联系与发展的观点来看，孤立地研究平面图形，学生所获取的知识单一的分散的，只限于对平面图形的感知，不利于学生更长久的发展。其实，平面图形形成立体图形，就是动态的过程，如果教师能有目的有意识地启发学生想象立体图形的变化过程，并根据两者的联系，展开推想活动，让学生的思维从二维向三维飞跃，也能发展学生的空间想象能力。
比如，在六年级复习中，经常会碰到这样的题：圆外切一个正方形，求圆的面积。
师：怎样求圆的面积？你是怎样想的？
生：圆的直径就是正方形的边长，因为正方形的边长是6厘米，所以，圆的直径也是6厘米。那么圆的面积就是3.14×32=28.26（平方厘米）。
师：根据圆与正方形之间的联系，解决了这道题，很好。以后在解决问题中，也可以找找图形之间的联系，想办法解决问题。
片段二：
师：怎样求圆的面积？你是怎样想的？
生：圆的直径就是正方形的边长，因为正方形的边长是6厘米，所以，圆的直径也是6厘米。那么圆的面积就是3.14×32=28.26（平方厘米）。
师：圆的面积与正方形面积有怎样的关系？
生1：正方形面积与圆的面积之比是4：π
生2：圆的面积是正方形面积的78.5%。
师：根据圆的面积是正方形的78.5%，这是平面图形之间的关系。如果这个正方形不断向上平移，里面的圆也同时向上平移，那么形成的会是怎样的图形呢？
生1：正方体里面有一个圆柱。
生2：这个圆柱是正方体中最大的圆柱。
师：由此你能推想它们的体积之间的关系吗？
生：我认为圆柱的体积可能是正方体体积的78.5%。因为，它们的高相等，底面积其实就是圆的面积占正方形面积的78.5%，所以，我推想圆柱的体积占正方体体积的78.5%。
师：你们同意他的观点吗？
生：同意。
师：那么怎么检验你的想法是合理的呢？不如，你们画画草图，验证一下自己的推想是否合理。
生动手画图验证推想。
分析：
片段一中，教师引导学生抓住了圆与外切正方形两者之间的联系，通过观察、交流，帮助解决了一道题。同时，教师及时小结解决问题的方法，帮助学生积累了学习方法的经验。学生虽会根据图形之间的联系，找到解决问题的关键，但仅仅学会了这一道题的解法。
片段二中，教师从平面图形圆与正方形的关系入手，抓住了圆外切正方形与正方体中最大的圆柱的高相等以及底面积的联系，启发学生展开推想。正因为教师给学生搭建了平面图形中圆与正方形的面积关系这一“脚手架”，使学生的推想有了可循的方向，避免了天马行空似的胡乱想象。并利用画图这一工具，让学生从直观中检验自己推想的合理性。从一个知识点推想到另一知识点，学会融会贯通，实现认知上的一次飞跃。
又如，当学生理解了周长相等，圆的面积>正方形的面积>长方形的面积后，教师启发学生推想，当长方体、正方体、圆柱体的侧面积相等，高也相等时，谁的体积最大？
从平面图形到立体图形，虽然是不同维度，看似无法相通与相融，但是在推想中却让学生感受到其中的内在联系：如果动态的看待立体图形，把它看成同底的平面图形的高在不断的增长，就可寻找到二者的共同之处，让推想变得合理有序，发展了学生的空间想象能力。
二、根据立体图形之间的联系展开推想，发展几何直观
学生研究平面图形到研究立体图形是认识上的飞跃，由于小学生的知识经验储备少，思维正处于从形象思维为主向逻辑思维过渡的阶段，在研究图形知识时尽量借助直观来帮助理解。教学中，不妨根据立体图形的联系，选取有效的教学切入点，实施推想活动，并结合画图等策略，利用图形来描述和分析问题，发展学生的几何直观。
在圆柱与圆锥体积复习中，经常会出现这样的题目：一个圆柱和一个圆锥的体积和底面积都相等，已知圆柱的高是6厘米，那么圆锥的高是（ ）厘米。有学生就会认为圆锥的高是2厘米。圆柱与圆锥的体积、底面积、高三个量变化复杂，抽象难懂，学生难免出错。其实，在充分理解等底等高的圆柱与圆锥的体积关系的基础上，这3个元素中，2个元素不变，另一个元素的变化有着一定的规律。如果在教学中放慢教学的步伐，借助直观图，融入推想，学生也能轻松理解。
首先，帮助学生充分理解等底等高的圆柱与圆锥之间的体积关系。教学时，教师应让学生回顾倒水或倒沙子实验的过程，理解公式中的三分之一的含义，在头脑中形成等底等高圆柱与圆锥的体积关系图。（图1） 接着，引导学生观察图形，启发推想：如果一个圆柱与一个圆锥体积相同，底面积相同，两者的高有什么关系呢？学生通过推想，得到圆锥的高是圆柱高的3倍。配以图画（图2），形象地描述为圆柱矮矮的，圆锥高高的。“为什么两者身高相差这么多呢”？“为什么圆锥的高是圆柱的3倍？”启发学生通过举例、利用公式的变形、利用直观图形等分析问题，逐渐理解两者的关系。
最后，引导学生继续推想：刚才我们研究发现圆柱与圆锥体积、底面积这两个量不变的条件下，高的变化关系图，你还能想到两者存在怎样的关系？学生推想出圆柱和圆锥的体积相等，高也相等时，圆锥的底面积是圆柱底面积的3倍，并用画图来解释自己的推想（图3），配上形象的语言，身高相同，圆柱苗条，圆锥粗壮。多么好的描述！
从等底等高圆柱和圆锥体积关系出发，启发学生展开推想，运用画图、对比、生活化语言描述等方法，让学生理解圆柱和圆锥底面积、体积、高三个量之间的变化关系，使学生对这一疑难知识有清晰的认识，同时发展了几何直观能力。
又如，在学完长方体、正方体、圆柱体积公式统一为底面积×高后，教师出示一个三棱柱，让学生观察三棱柱与它们的共同点是什么？学生利用直观图找到了联系：每个图形上下粗细是一样的，都是直柱体。由此你能推想三棱柱的体积怎么计算？四棱柱的体积怎样算？学生依托头脑中图形的样子，思考图形之间的联系，展开推想，让学生既体验到学习的乐趣，又发展了几何直观。
在观察立体图形特点规律的过程中合理推想，不仅让学生由一种图形的样子推想到另一种图形的形状，找到这些图形中存在的内在联系与区别，更重要的是发展了学生的几何直观。
三、根据类似情境展开推想，构建数学模型
数学模型，一般是指用数学语言、符号或图形等形式来刻画、描述、反映特定的问题或事物之间关系的数学结构。图形与几何知识，常常因为图形的变化多端，解题方法的多种多样，成为学生学习中的难点。实际上，每一道几何题目背后都有着一定的法则和规律，每一类题都有着相似的解题思想，这种思想的集中体现，便是模型的作用所在。对于模型的理解与认识，可以在一个问题的解决后，让学生推想类似的问题情境，在联系所学知识、比较、分析、归纳中构建数学模型，提高解决此类问题的能力。
六年级体积概念复习时，像物体沉没水中求物体的体积问题，水中有时放规则的物体，有时放不规则的物体，水面有时上升，有时下降，使一些同学对此类问题百思不得其解。笔者在教学实践中发现，要让学生理解这类问题，需要借助直观图形，展开推想，试着从一道题开始进行等效变换，才能把这一类问题灵活变通。
比如，在一只底面直径是60厘米的圆柱形储水桶里，有一个半径是20厘米的圆锥形铁块浸在水里，当铁块从储水桶里取出时，桶里的水面下降5厘米，这个圆锥形铁块的体积是多少立方厘米？通过画图，想象与交流，让学生初步理解圆锥形铁块的体积=下降部分水的体积，即固体铁块的体积转化成了液体的水的体积。图形的形态发生了变化，体积不变。根据这一思想，教师可以启发学生展开推想，“如果还是用“3.14×（60÷2）2 ×5”来解决，这道题还可以怎么变化呢？”于是学生想到：
情境1：在一只底面直径是60厘米的圆柱形储水桶里，有一个不规则形状的铁块浸在水里，当铁块从储水桶里取出时，桶里的水面下降5厘米，这个铁块的体积是多少立方厘米？
情境2：在一只底面直径是60厘米的圆柱形储水桶里，水面高度7厘米，把一个不规则形状的石头浸没在水里，上面上升到12厘米，这块石头的体积是多少立方厘米？
情境3：在一只底面直径是60厘米的圆柱形储水桶里，有一块石头沉没在水中，把石头从水中取出后，水面下降了5厘米，这块石头的体积是多少立方厘米？
从一个问题的解决开始，使学生在推想类似的情境中，认识到共性：放入（取出）水中的物体的体积都转化成了水的体积，因为他们的体积是相等的，所以计算公式都是：放入（取出）水中物体的体积=容器的底面积×水的变化高度。教师引导学生展开推想，发散了学生的思维，同时又对同类的数学问题进行分析、比较与归纳，从而帮助学生构建数学模型。
总之，在图形与几何教学中进行推想活动，能较好地发展学生的空间观念，同时更好地发展学生的数学思维能力。作为老师要从理念上充分认识到，在传授学生数学知识的同时更要注重培养学生的空间观念，使推想不仅是学生解决“图形与几何”问题的一种重要思想方法，更是数学教学的一种重要策略与智慧。
参考文献
[1]陈霞芬.融合与发展[M].杭州：浙江教育出版社，2012.
[2]黄秀琼.从生活到数学：发展学生空间观念的必经之路[J].小学数学教育，2014（02）.