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摘要：本人以2015年重庆市高考文科第14题为素材，首先分析了此题的考查目标、试题特点和破题思路，并在破题思路的基础上从8个方面探究了该题的具体解法.然后从教材、高考试题和模拟试题等角度对该题的母题进行了溯源，最后小结了自己探究该题的几点感悟.
关键词：解题；探源；悟道
真题再现
设a，b>0，a b=5，则√a 1 √b 3的最大值为____.
试题特点与破题思路略析
此题是求双根式和的最大值问题，由试题的参考答案（以下解法1）可知，命题者的本意主要是考查学生对基本不等式2ab≤a? b?进行变形利用的能力.实际上，本题破题的关键就是如何恰当地处理两个根号.联想我们中学阶段已有的知识和方法，不难想到以下一些粗略的破题思路：一是基本不等式及其变形；二是平方法；三是导数法；导数法求函数最值是新课程实验后的一种重要方法，在某种程度上，也是诸多学生的首选方法：四是三角换元法：五是双换元法，转化为线性规划问题求解；六是向量的模，用向量不等式|α·β|≤|a|·|β|；七是二维柯西不等式：（ac bd）?≤（a? b?） （C? d?）.其中的平方项a?，b?，C?，d?可以化简根式：八是复数的模，有复数不等式|z1 z2|≤|z1| |z2|等.
考查目标分析
目标一：考查学生对基本不等式的记忆、识别、变形和应用的能力；
目标二：考查学生对根式的处理方法和能力：
目标三：考查学生用常规换元法、三角换元法化简处理根式的方法和能力：
目标四：考查学生用导数法求函数最值的方法和步骤：
目标五：考查学生用向量不等式和柯西不等式求函数最值的方法、步骤和技巧：
目标六：考查学生的猜想、估算能力.
解法探究
解法1：直接利用公式a b≤求解，其中“=”成立的条件是“a=b”.
由2ab≤a? b?两边同时加上a? b?得（a b）2≤2（a2 b2），两边同时开方得：
评注：此法对基础一般的文科学生来说，公式记不住，更不会对基本不等式进行变形利用是最大的困难.相当多的学生不会用此法求解.
解法2：注意到已知条件和待求式中a，b的系数相同，故可思考平方后转化为二次函数求解.
评注：对形如（其中m、n、a、b、c、d均为正实数）的函数.当m?b=n?C时均可用两边平方的方法，把它转化为二次函数的（区间）最值问题，此法对学生来说，易懂易上手，解题难度较小，一旦想到.这种方法只需用到初中二次函数求最值的方法，化归与转化的思想方法在此法中得到深刻体现.
评注：导数法求最值是绝大多数考生的首选解法.新人教文科高三选修I“导数”的引入.为学生求解最值问题提供了新的解法和思路.也拓宽了求解函数最值问题的类型.但此题在求导时将用到复合函数求导法则，超出了使用A教A版教材的文科学生的知识和方法范畴.
解法4：用三角换元法求解
评注：三角换元也是化简处理带根号的式子的基本方法之一，通过把条件式配凑成与待求式根号中有关的结构.就可能使用三角换元法化简待求式中的根式，进而求得式子的最大值，
解法5：用双换元法转化为线性规划问题求解
评注：此法通过换元思想，把含根号的式子的最大值问题转化为一定条件下的线性规划问题，线性规划也是求最值的常用方法.若能将问题化归为线性规划问题.则问题迎刃而解，如何转化则是破题的关键.稍作观察和分析.发现最值不能直接求得的原因，主要在于解析式含有两个根式，因而，如何去掉两个根式即成为解决本题的关键.换元则是去掉根式的首选，在此思路的指导下.把问题化归为线性规划问题求解也可谓理所当然！
评注：利用向量不等式来求最值，关键是把原函数转化为某两个向量的数量积.且这两个向量的模为定值，恰当、合理地构造向量是求解的关键.解法具有一定的灵活性。当然也有一定的难度.突破它要靠平时多留心、多积累.
评注：柯西不等式是人教A版选修4-5“不等式选讲”的内容.对重庆的文科生未作要求.对理科学生和其他个别省市的学生来说，此题不失为考查用柯西不等式解决问题的好题，柯西不等式是非常重要的不等式.它的应用很广泛.应用过程相当灵活，尤其是中学阶段在求最值和证明不等式时经常用到.真正可以体现“数学是思维的体操”，使用柯西不等式时，关键是将已知条件通过配凑，转化为符合柯西不等式条件的式子.
解法8：用“猜想 估算”的方法求解
评注：“猜想 估算”是处理选择、填空题的一种重要方法.可以实现“小题小做”、“多思少算”的理念，对一些看似稍难的题目.不妨仔细观察题目条件和结论的特点，必要时采用“猜想 估算”的方法进行处理，则可达到“一眼洞穿”，“一望而填”的状态，节省解题力量，利用此法，有效地撇开了繁难的运算.不仅降低了解题难度.优化了解题过程，而且有效地激活了解题者的心智，提高了思维质量，对客观性数学试题的处理，“要会算，也要会少算，更要会不算”，“不算”是数学学习的巅峰状态，是数学思维质量的高层次表现.是学生理性思维的展示.教师在平时，尤其是高三阶段的练习和讲评中，要有意识地针对典型题目.关注对这种方法的渗透.
源4 2015届北京市房山区周口店中学高三上学期期中考试理科数学试卷
函数的最大值是
其中源1和源2主要采用柯西不等式求解，源3、源4与2015年重庆高考文科第14题更密切，以上8种解法均能用于源3和源4.
探究感悟
感悟一：本题粗略一看，平淡无奇，立意浅显，但仔细品味，却会发现它小巧精致，内涵丰富，解题入口较宽，解法多样，可以从许多知识和方法人手.从而得到不同的解法，这些解法有难有易，基本上涵盖了高中数学的诸多主干知识，不失为一道好题.不管采用何种解法.基本上都用到了中学数学的重要思想——化归与转化的思想.个别解法还用到了数形结合法、换元法等重要方法.
感悟二：一个题目有这么多的解法的根源就是在从不同角度地观察这个题目所蕴涵的知识或题目结构特征后形成不同的解题思路的结果，另外.本题所体现的不同解法体现了解答这个题目的通法的多样性，但其中解法8本身有明显的局限性，如果题目不是填空题，而是个解答题，这个解法是不可用的，第8种解法更贴近填空题的特殊性和这个题目的特殊性，是若干解法中最好方法，真切体现了解答高考选择题、填空题的基本指导思想：少算多思，能力立意.
感悟三：高考试题总能在教材中找到其“根”与“源”，因此我们的高考复习要回归教材，不能抛开教材，只做教辅资料，舍本逐末，教材中例题、习题才是精华，我们要对其引申、变式和拓展，提炼解决问题的思想方法.既注重通性通法的练习巩固，又留意个别解法的优先性和局限性，把教材例题、习题的功能用足、用透，做一道通一类，以不变应万变，这才是新课程教学的本质要求.
关键词：解题；探源；悟道
真题再现
设a，b>0，a b=5，则√a 1 √b 3的最大值为____.
试题特点与破题思路略析
此题是求双根式和的最大值问题，由试题的参考答案（以下解法1）可知，命题者的本意主要是考查学生对基本不等式2ab≤a? b?进行变形利用的能力.实际上，本题破题的关键就是如何恰当地处理两个根号.联想我们中学阶段已有的知识和方法，不难想到以下一些粗略的破题思路：一是基本不等式及其变形；二是平方法；三是导数法；导数法求函数最值是新课程实验后的一种重要方法，在某种程度上，也是诸多学生的首选方法：四是三角换元法：五是双换元法，转化为线性规划问题求解；六是向量的模，用向量不等式|α·β|≤|a|·|β|；七是二维柯西不等式：（ac bd）?≤（a? b?） （C? d?）.其中的平方项a?，b?，C?，d?可以化简根式：八是复数的模，有复数不等式|z1 z2|≤|z1| |z2|等.
考查目标分析
目标一：考查学生对基本不等式的记忆、识别、变形和应用的能力；
目标二：考查学生对根式的处理方法和能力：
目标三：考查学生用常规换元法、三角换元法化简处理根式的方法和能力：
目标四：考查学生用导数法求函数最值的方法和步骤：
目标五：考查学生用向量不等式和柯西不等式求函数最值的方法、步骤和技巧：
目标六：考查学生的猜想、估算能力.
解法探究
解法1：直接利用公式a b≤求解，其中“=”成立的条件是“a=b”.
由2ab≤a? b?两边同时加上a? b?得（a b）2≤2（a2 b2），两边同时开方得：
评注：此法对基础一般的文科学生来说，公式记不住，更不会对基本不等式进行变形利用是最大的困难.相当多的学生不会用此法求解.
解法2：注意到已知条件和待求式中a，b的系数相同，故可思考平方后转化为二次函数求解.
评注：对形如（其中m、n、a、b、c、d均为正实数）的函数.当m?b=n?C时均可用两边平方的方法，把它转化为二次函数的（区间）最值问题，此法对学生来说，易懂易上手，解题难度较小，一旦想到.这种方法只需用到初中二次函数求最值的方法，化归与转化的思想方法在此法中得到深刻体现.
评注：导数法求最值是绝大多数考生的首选解法.新人教文科高三选修I“导数”的引入.为学生求解最值问题提供了新的解法和思路.也拓宽了求解函数最值问题的类型.但此题在求导时将用到复合函数求导法则，超出了使用A教A版教材的文科学生的知识和方法范畴.
解法4：用三角换元法求解
评注：三角换元也是化简处理带根号的式子的基本方法之一，通过把条件式配凑成与待求式根号中有关的结构.就可能使用三角换元法化简待求式中的根式，进而求得式子的最大值，
解法5：用双换元法转化为线性规划问题求解
评注：此法通过换元思想，把含根号的式子的最大值问题转化为一定条件下的线性规划问题，线性规划也是求最值的常用方法.若能将问题化归为线性规划问题.则问题迎刃而解，如何转化则是破题的关键.稍作观察和分析.发现最值不能直接求得的原因，主要在于解析式含有两个根式，因而，如何去掉两个根式即成为解决本题的关键.换元则是去掉根式的首选，在此思路的指导下.把问题化归为线性规划问题求解也可谓理所当然！
评注：利用向量不等式来求最值，关键是把原函数转化为某两个向量的数量积.且这两个向量的模为定值，恰当、合理地构造向量是求解的关键.解法具有一定的灵活性。当然也有一定的难度.突破它要靠平时多留心、多积累.
评注：柯西不等式是人教A版选修4-5“不等式选讲”的内容.对重庆的文科生未作要求.对理科学生和其他个别省市的学生来说，此题不失为考查用柯西不等式解决问题的好题，柯西不等式是非常重要的不等式.它的应用很广泛.应用过程相当灵活，尤其是中学阶段在求最值和证明不等式时经常用到.真正可以体现“数学是思维的体操”，使用柯西不等式时，关键是将已知条件通过配凑，转化为符合柯西不等式条件的式子.
解法8：用“猜想 估算”的方法求解
评注：“猜想 估算”是处理选择、填空题的一种重要方法.可以实现“小题小做”、“多思少算”的理念，对一些看似稍难的题目.不妨仔细观察题目条件和结论的特点，必要时采用“猜想 估算”的方法进行处理，则可达到“一眼洞穿”，“一望而填”的状态，节省解题力量，利用此法，有效地撇开了繁难的运算.不仅降低了解题难度.优化了解题过程，而且有效地激活了解题者的心智，提高了思维质量，对客观性数学试题的处理，“要会算，也要会少算，更要会不算”，“不算”是数学学习的巅峰状态，是数学思维质量的高层次表现.是学生理性思维的展示.教师在平时，尤其是高三阶段的练习和讲评中，要有意识地针对典型题目.关注对这种方法的渗透.
源4 2015届北京市房山区周口店中学高三上学期期中考试理科数学试卷
函数的最大值是
其中源1和源2主要采用柯西不等式求解，源3、源4与2015年重庆高考文科第14题更密切，以上8种解法均能用于源3和源4.
探究感悟
感悟一：本题粗略一看，平淡无奇，立意浅显，但仔细品味，却会发现它小巧精致，内涵丰富，解题入口较宽，解法多样，可以从许多知识和方法人手.从而得到不同的解法，这些解法有难有易，基本上涵盖了高中数学的诸多主干知识，不失为一道好题.不管采用何种解法.基本上都用到了中学数学的重要思想——化归与转化的思想.个别解法还用到了数形结合法、换元法等重要方法.
感悟二：一个题目有这么多的解法的根源就是在从不同角度地观察这个题目所蕴涵的知识或题目结构特征后形成不同的解题思路的结果，另外.本题所体现的不同解法体现了解答这个题目的通法的多样性，但其中解法8本身有明显的局限性，如果题目不是填空题，而是个解答题，这个解法是不可用的，第8种解法更贴近填空题的特殊性和这个题目的特殊性，是若干解法中最好方法，真切体现了解答高考选择题、填空题的基本指导思想：少算多思，能力立意.
感悟三：高考试题总能在教材中找到其“根”与“源”，因此我们的高考复习要回归教材，不能抛开教材，只做教辅资料，舍本逐末，教材中例题、习题才是精华，我们要对其引申、变式和拓展，提炼解决问题的思想方法.既注重通性通法的练习巩固，又留意个别解法的优先性和局限性，把教材例题、习题的功能用足、用透，做一道通一类，以不变应万变，这才是新课程教学的本质要求.