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摘要：直观想象能力是数学六大核心素养之一，本文通过范希尔理论框架，利用编制的问卷，对七年级学生直观想象能力的现状进行研究，并利用得出的数据对教学给出建议。
关键词：直观想象；七年级；范希尔理论
中图分类号：G642.0 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2019）01-0100-02
一、引言
《普通高中数学课程标准（实验）》修订稿提出了数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算、直观想象和数据分析这六大数学核心素养，引起教育界的广泛关注。同时基于核心素养为导向的数学课堂也应该进行改变，作为可以不断丰富、发展的概念或理论，课标给出了基本框架和发展方向，作为一线教师要在具体教学中融入自己的一些思考。如何在数学教学中提高学生的核心素养水平，实现新课程的要求？如何评价学生的核心素养水平？还需要我们的不断思考和探索。直观想象是学生理解分析问题，进行推理一种重要方法。故本文选取“直观想象”这一数学核心素养，通过范希尔理论框架，利用自制的直观想象能力调查问卷，对七年级学生的直观想象能力现状进行研究，以为学生直观想象能力的培养提供建议。
“图形的全等”是之前学习过的“图形的变化”的基础，本节内容学习主要是让学生对全等图形有一个直观的认识。在此之前学生只是简单的学习了线段、角等零碎的几何知识，本节是学生开始接触完整的几何图形，并為后续学习三角形相关知识打下基础，是培养学生直观想象能力的关键时期。所以本文选择图形的全等为载体。
范希尔几何思维水平理论是用于分析研究对象的几何思维水平的一个理论，主要包括5个水平，简单概括如下。
0水平：视觉（visually）。可以知道并描述几何图形，对图形进行简单的分类。
1水平：分析（analysis）。根据几何图形的概念，对几何图形进行简单的划分，能够根据图形的特点进行简单的猜想，具备简单的逻辑推理能力。
2水平：非形式化的演绎（informal deduction）。对图形概念有深刻的理解，能够根据图形的性质推出一些结论，具备一定的推理能力。
3水平：形式化的演绎（formal deduction）。具有较强的推理能力，理解定理、公理的意义，对一个结论能用不同的方法证明。
4水平：严密性（rigor）。处于这个层次的学生能够进行严格的几何推理，能够理解不同几何系统的差异 [1]。
二、研究方法
为了了解当前初一学生数学直观想象能力现状以及数学直观想象运用能力方面的主要问题，找到培养学生直观想象能力的策略，笔者编制了一份关于初一学生数学直观想象能力的数学调查测试卷（见附录一）。从山东省青岛市某初中初一年级进行分层抽样，选择十位学生，进行访谈调查。
三、研究结果及分析
问题1呈现出三组几何图形，这三组图形分别对应三种情况：全等图形、大小不同的图形和形状不同的图形。然后让学生找其中完全一样的图形，也就是叠在一起能够完全重合的图形。
结果显示，8位同学可以准确找出其中的全等图形，有两位学生，认为形状相同或者大小相同也算是图形全等。说明学生在0水平的基础上得到全等图形的定义后，即能够完全重合的图形称为全等图形，并不能据此分析出全等图形的性质，即“全等图形形状和大小都相同”，仍然达不到1水平。
问题2呈现经过平移或旋转后的三角形，找出其中的对应元素。
结果显示，只有5位同学可以准确无误地找出三组三角形中的对应顶点、对应角和对应边。有两位同学可以找到经平移变化后的三角形的对应元素，对于旋转、翻折过的三角形的对应元素只能靠猜的方式得到一部分。说明学生无法在头脑中想象图像变换的轨迹，不能进行非形式化的演绎，达不到2水平。有1位同学提出可以剪下图形直接操作找到对应元素，能通过具体操作但还是达不到想象的水平。剩下的两位同学对于找对应元素完全没有思路，甚至不会考虑图形的旋转、平移。这部分学生对直观想象几乎没有概念。
问题3请学生归纳总结找出对应元素的方法，进行方法提炼。
访谈结果显示，只有两位同学可以根据问题2以及书上的题目归纳出找到全等图形的对应元素的五种方法。有3位同学可以找出有公共边、有公共角、有对顶角的图形中的对应元素，剩下的两种可以用语言说出最大的边是对应边、最大的角是对应角等初步的思路。有1位同学可以就题论题的找出对应元素，零碎地找到方法，无法进行全面的归纳。剩下的4位同学，无法进行归纳。说明只有少部分的学生可以达到3水平，大部分的学生不能进行严密的推理及形式化的演绎。
这整个问卷的设计在几何思维水平上以0水平为起点，并逐步的向上延伸最后达到3水平。在几何思维水平的设计上符合学生几何思维发展的次序性。
四、结论与教学建议
根据对访谈结果的分析，有如下教学建议。
（一）充分了解学生所处的思维水平
根据范希尔理论，几何部分的学习要注意不同水平之间的连贯性，不断积累反思，达到质变。建构主义学习观认为，有效的教学必须以学生现有的知识经验为基准，生长出新的知识。因此在实际的教学之前，应该了解学生现有的思维水平，以此为基础进行适当的回顾复习，做好两个思维水平之间的过渡。同时尽可能地采用因人而异的方法，使每个学生都能获得思维水平的发展。例如，图形的全等是后续学习三角形全等判定的基础，教师可以在学习三角形全等判定之前了解学生的思维水平，教学中所呈现的问题及教学方法不超过所处的思维水平，又能有一些提高，实现有意义的教学。
（二）引导学生以多种形式进行探究
学生在课堂上通过动手操作、直观感知形成的直接经验是培养空间想象能力的必要基础，同时也是感受、理解几何直观的有力支撑。在图形与几何部分的教学中，教师应关注学生数学活动经验的积累，使学生的感性操作上升到理性的认识。例如，问题2中有一位同学提出可以通过剪出图形再找对应元素的方法，教师可以抓住时机，与学生一起动手操作后，引导学生将这种操作在头脑中形成过程，进行形式化的演绎，从而逐渐唤醒、培养学生的想象能力。同时，这种动手操作参与课堂的方式也符合初一学生活泼好动的性格特点，使课堂富有生机。
（三）重视现代信息技术在培养学生直观想象能力中的应用
美国学者Clements和Battista声称对于四年级学生，使用LOGO软件的几何教学，可以显著提高学生的几何思维水平；同时，学者Tutak在研究中指出，使用教学材料和动态几何软件教学对学生的几何思维都有影响，但动态几何软件相对更好一些[2]；几何教学的目的是发展学生的逻辑思维能力和空间直觉能力，并且强调，几何学习应通过教学活动来实现用实物模型、绘画和软件为工具设计相应的活动，发展学生的数学创造思维[3]。
例如，在问题2中翻折、平移都可以通过几何画板进行展示，引导学生分析图形变化的轨迹，锻炼空间思维能力，把握图形的性质和特征。因此，应充分挖掘动态软件对直观想象能力培养的有利因素，让学生通过对生动、直观的视觉化数学素材的观察和理解，发展直观想象能力。
以核心素养为导向的教学是目前教育界普遍关注的话题，在中学教学中，如何培养学生的直观想象能力，仍需要数学教育工作者和一线教师的共同努力。
参考文献：
[1]祁明衡.范希尔理论下的初中生几何思维现状研究[D].首都师范大学，2013.
[2]Clements D，Battista M.The effects of logo on children' sconceptualizations of angle and polygons[J].Journal for Research in Mathematics Education，1990，（5）：356-371.
[3]曾友良，贠朝栋.范希尔理论的几何思维水平研究综述及启示[J].当代教育理论与实践，2017，9（5）：14.
关键词：直观想象；七年级；范希尔理论
中图分类号：G642.0 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2019）01-0100-02
一、引言
《普通高中数学课程标准（实验）》修订稿提出了数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算、直观想象和数据分析这六大数学核心素养，引起教育界的广泛关注。同时基于核心素养为导向的数学课堂也应该进行改变，作为可以不断丰富、发展的概念或理论，课标给出了基本框架和发展方向，作为一线教师要在具体教学中融入自己的一些思考。如何在数学教学中提高学生的核心素养水平，实现新课程的要求？如何评价学生的核心素养水平？还需要我们的不断思考和探索。直观想象是学生理解分析问题，进行推理一种重要方法。故本文选取“直观想象”这一数学核心素养，通过范希尔理论框架，利用自制的直观想象能力调查问卷，对七年级学生的直观想象能力现状进行研究，以为学生直观想象能力的培养提供建议。
“图形的全等”是之前学习过的“图形的变化”的基础，本节内容学习主要是让学生对全等图形有一个直观的认识。在此之前学生只是简单的学习了线段、角等零碎的几何知识，本节是学生开始接触完整的几何图形，并為后续学习三角形相关知识打下基础，是培养学生直观想象能力的关键时期。所以本文选择图形的全等为载体。
范希尔几何思维水平理论是用于分析研究对象的几何思维水平的一个理论，主要包括5个水平，简单概括如下。
0水平：视觉（visually）。可以知道并描述几何图形，对图形进行简单的分类。
1水平：分析（analysis）。根据几何图形的概念，对几何图形进行简单的划分，能够根据图形的特点进行简单的猜想，具备简单的逻辑推理能力。
2水平：非形式化的演绎（informal deduction）。对图形概念有深刻的理解，能够根据图形的性质推出一些结论，具备一定的推理能力。
3水平：形式化的演绎（formal deduction）。具有较强的推理能力，理解定理、公理的意义，对一个结论能用不同的方法证明。
4水平：严密性（rigor）。处于这个层次的学生能够进行严格的几何推理，能够理解不同几何系统的差异 [1]。
二、研究方法
为了了解当前初一学生数学直观想象能力现状以及数学直观想象运用能力方面的主要问题，找到培养学生直观想象能力的策略，笔者编制了一份关于初一学生数学直观想象能力的数学调查测试卷（见附录一）。从山东省青岛市某初中初一年级进行分层抽样，选择十位学生，进行访谈调查。
三、研究结果及分析
问题1呈现出三组几何图形，这三组图形分别对应三种情况：全等图形、大小不同的图形和形状不同的图形。然后让学生找其中完全一样的图形，也就是叠在一起能够完全重合的图形。
结果显示，8位同学可以准确找出其中的全等图形，有两位学生，认为形状相同或者大小相同也算是图形全等。说明学生在0水平的基础上得到全等图形的定义后，即能够完全重合的图形称为全等图形，并不能据此分析出全等图形的性质，即“全等图形形状和大小都相同”，仍然达不到1水平。
问题2呈现经过平移或旋转后的三角形，找出其中的对应元素。
结果显示，只有5位同学可以准确无误地找出三组三角形中的对应顶点、对应角和对应边。有两位同学可以找到经平移变化后的三角形的对应元素，对于旋转、翻折过的三角形的对应元素只能靠猜的方式得到一部分。说明学生无法在头脑中想象图像变换的轨迹，不能进行非形式化的演绎，达不到2水平。有1位同学提出可以剪下图形直接操作找到对应元素，能通过具体操作但还是达不到想象的水平。剩下的两位同学对于找对应元素完全没有思路，甚至不会考虑图形的旋转、平移。这部分学生对直观想象几乎没有概念。
问题3请学生归纳总结找出对应元素的方法，进行方法提炼。
访谈结果显示，只有两位同学可以根据问题2以及书上的题目归纳出找到全等图形的对应元素的五种方法。有3位同学可以找出有公共边、有公共角、有对顶角的图形中的对应元素，剩下的两种可以用语言说出最大的边是对应边、最大的角是对应角等初步的思路。有1位同学可以就题论题的找出对应元素，零碎地找到方法，无法进行全面的归纳。剩下的4位同学，无法进行归纳。说明只有少部分的学生可以达到3水平，大部分的学生不能进行严密的推理及形式化的演绎。
这整个问卷的设计在几何思维水平上以0水平为起点，并逐步的向上延伸最后达到3水平。在几何思维水平的设计上符合学生几何思维发展的次序性。
四、结论与教学建议
根据对访谈结果的分析，有如下教学建议。
（一）充分了解学生所处的思维水平
根据范希尔理论，几何部分的学习要注意不同水平之间的连贯性，不断积累反思，达到质变。建构主义学习观认为，有效的教学必须以学生现有的知识经验为基准，生长出新的知识。因此在实际的教学之前，应该了解学生现有的思维水平，以此为基础进行适当的回顾复习，做好两个思维水平之间的过渡。同时尽可能地采用因人而异的方法，使每个学生都能获得思维水平的发展。例如，图形的全等是后续学习三角形全等判定的基础，教师可以在学习三角形全等判定之前了解学生的思维水平，教学中所呈现的问题及教学方法不超过所处的思维水平，又能有一些提高，实现有意义的教学。
（二）引导学生以多种形式进行探究
学生在课堂上通过动手操作、直观感知形成的直接经验是培养空间想象能力的必要基础，同时也是感受、理解几何直观的有力支撑。在图形与几何部分的教学中，教师应关注学生数学活动经验的积累，使学生的感性操作上升到理性的认识。例如，问题2中有一位同学提出可以通过剪出图形再找对应元素的方法，教师可以抓住时机，与学生一起动手操作后，引导学生将这种操作在头脑中形成过程，进行形式化的演绎，从而逐渐唤醒、培养学生的想象能力。同时，这种动手操作参与课堂的方式也符合初一学生活泼好动的性格特点，使课堂富有生机。
（三）重视现代信息技术在培养学生直观想象能力中的应用
美国学者Clements和Battista声称对于四年级学生，使用LOGO软件的几何教学，可以显著提高学生的几何思维水平；同时，学者Tutak在研究中指出，使用教学材料和动态几何软件教学对学生的几何思维都有影响，但动态几何软件相对更好一些[2]；几何教学的目的是发展学生的逻辑思维能力和空间直觉能力，并且强调，几何学习应通过教学活动来实现用实物模型、绘画和软件为工具设计相应的活动，发展学生的数学创造思维[3]。
例如，在问题2中翻折、平移都可以通过几何画板进行展示，引导学生分析图形变化的轨迹，锻炼空间思维能力，把握图形的性质和特征。因此，应充分挖掘动态软件对直观想象能力培养的有利因素，让学生通过对生动、直观的视觉化数学素材的观察和理解，发展直观想象能力。
以核心素养为导向的教学是目前教育界普遍关注的话题，在中学教学中，如何培养学生的直观想象能力，仍需要数学教育工作者和一线教师的共同努力。
参考文献：
[1]祁明衡.范希尔理论下的初中生几何思维现状研究[D].首都师范大学，2013.
[2]Clements D，Battista M.The effects of logo on children' sconceptualizations of angle and polygons[J].Journal for Research in Mathematics Education，1990，（5）：356-371.
[3]曾友良，贠朝栋.范希尔理论的几何思维水平研究综述及启示[J].当代教育理论与实践，2017，9（5）：14.