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考点1 三角形的三边关系
例1 （2017·淮安）若一个三角形的两边长分别为5和8，则第三边长可能是（ ）.
A.14 B.10 C.3 D.2
【分析】已知三角形的两边求第三边时，依据“已知两边的差（长边减短边）<第三边<已知两边的和”构造不等式组求解.
解：设这个第三边长为a，根据“三角形三边之间的关系”得8-5 【点评】判断给定的三条线段能否组成三角形，只需判断两条较短线段的和是否大于最长线段即可.
考点2 三角形的内角和
例2 （2017·郴州）小明把一副含45°，30°的直角三角板如图1摆放，其中∠C=∠F=90°，∠A=45°，∠D=30°，则∠α ∠β等于（ ）.
A.180° B.210° C.360° D.270°
【分析】题中已知一副三角板六个内角的度数，∠α、∠β是三角形的两个外角，要求∠α ∠β度数，可以考虑利用三角形的外角性质转化为三角板的内角度数来求解.
解：如图2，不妨设AB与DE交于点G，EF与AB交于点H，由三角形的外角性质可知：∠α=∠A ∠AGD，∠β=∠B ∠BHF，由于∠AGD=∠EGH，∠BHF=∠EHG，所以∠AGD ∠BHF=∠EGH ∠EHG=180°-∠E=180°-（90°-∠D）=120°，所以∠α ∠β=∠A ∠B ∠AGD ∠BHF=90° 120°=210°，故应选B.
【点评】在计算与三角形有关的角度时，首先应判断出待求角与已知角之间的关系，再合理选用三角形的内角和定理或外角性质求解.
考点3 全等三角形的性质与判定
例3 （2017·常州）如图3，已知在四边形ABCD中，点E在AD上，∠BCE=∠ACD=90°，∠BAC=∠D，BC=CE.
（1）求证：AC=CD；
（2）若AC=AE，求∠DEC的度数.
【分析】（1）根据同角的余角相等可得到∠ACB=∠DCE，结合已知条件∠BAC=∠D， BC=CE，利用“AAS”可以证明△ABC≌△DEC，根据全等三角形的性质即可得证.
（2）根据∠ACD=90°，AC=CD，得到∠CAD=∠D=45°，又AC=AE，利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可求∠AEC的度数，然后依据平角的定义求∠DEC的度数.
（1）证明：∵∠BCE=∠ACD=90°，
∴∠BCA ∠ACE=∠ECD ∠ACE，
∴∠BCA=∠ECD.
在△BCA和△ECD中，
[∠BCA=∠ECD，∠BAC=∠D，BC=CE，]
∴△BCA≌△ECD，
∴AC=CD.
（2）解：∵∠ACD=90°，AC=CD，
∴△ACD是等腰直角三角形，
∴∠DAC=45°，
∵AC=AE，
∴∠AEC=∠ACE=[12]（180°-∠DAC）
=[12]（180°-45°），
∴∠DEC=180°-∠AEC
=180°-[12]（180°-45°）
=112.5°.
【点评】证明两条线段相等或两个角相等时，通常采用的方法是证明这两条线段或这两个角所在的三角形全等.
考点4 等腰三角形的性质与判定
例4 （2017·连云港）如图4，已知等腰三角形ABC中，AB=AC，点D、E分别在边AB、AC上，且AD=AE，连接BE、CD，交于点F.
（1）判断∠ABE与∠ACD的数量关系，并说明理由；
（2）求证：过点A、F的直线垂直平分线段BC.
【分析】（1）根据全等三角形的判定定理“SAS”可以证明△ABE≌△ACD，然后利用全等三角形的对应角相等即可得证；（2）由AB=AC，得∠ABC=∠ACB，又根据（1）的结论可得∠ABE=∠ACD，则∠FBC=∠FCB，由等角对等边可得FB=FC，依据垂直平分线的判定即可证明结论.
（1）解：∠ABE=∠ACD，理由如下：
在△ABE和△ACD中，
[AB=AC，∠A=∠A，AE=AD，]
∴△ABE≌△ACD，
∴∠ABE=∠ACD.
（2）证明：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
由（1）可知∠ABE=∠ACD，
∴∠FBC=∠FCB，
∴FB=FC，
∵AB=AC，
∴点A、F均在线段BC的垂直平分线上，即直线AF垂直平分线段BC.
【点评】在三角形中，证明两条线段或两个角相等时，如果线段或角在同一个三角形中，则先考虑用“等边对等角”“等角对等边”来证明.
考点5 勾股定理及其逆定理
例5 （2017·安顺）三角形三边长分别为3，4，5，那么最长边上的中线长等于
.
【分析】先根据勾股定理逆定理判断出三角形是直角三角形，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求解
解：∵32 42=25=52，
∴该三角形是直角三角形，
∴最长边上的中线长=[12]×5=2.5.
【点评】勾股定理的逆定理是判断一个三角形是直角三角形的重要方法，应先确定最长边，然后验证两条较短的边的平方和是否等于最长边的平方.
考点6 直角三角形的性质
例6 （2017·龙东）如图6，在△ABC中，AB=BC=8，AO=BO，点M是射线CO上的一个动点，∠AOC=60°.则当△ABM为直角三角形时，AM的长为 .
图6
【分析】注意到点M位置的不确定性，因此考虑分类讨论解决此题，分类的标准是看△ABM中哪个顶点可能是直角顶点.分好类以后，画出草图，根据已知给出的数据逐个计算即可.
解：（1）如图7，当点B为直角三角形ABM的直角顶点时，
∵AB=8，点O为AB中點，∴OB=4，
∵∠AOC=60°，∴∠BOM=60°，
∴∠OMB=30°，∴OM=8，
在Rt△OBM中，由勾股定理得BM=[43]，
在Rt△ABM中，由勾股定理得AM=[AB2 BM2]=[47].
（2）如图8，当点M在△ABC外部且点M为直角三角形ABM的直角顶点时，
∵点O为AB中点，∴OM=OB，
∵∠BOM=∠AOC=60°，
∴△BOM是等边三角形，
∴∠OBM=60°，∴∠BAM=30°，
∴BM=[12]AB=4，在Rt△ABM中，由勾股定理得AM=[43].
（3）如图9，当点M在△ABC内部且点M为直角三角形ABM的直角顶点时，同（2）可得△AOM是等边三角形，∴AM=AO=4.
综上所述，AM的长为[47]或[43]或4.
【点评】在直角三角形中，“30°角所对的直角边等于斜边的一半”揭示的是直角边与斜边的关系，它在求直角三角形中的线段长时能起到关键的作用.
（作者单位：江西省赣县江口中学）
例1 （2017·淮安）若一个三角形的两边长分别为5和8，则第三边长可能是（ ）.
A.14 B.10 C.3 D.2
【分析】已知三角形的两边求第三边时，依据“已知两边的差（长边减短边）<第三边<已知两边的和”构造不等式组求解.
解：设这个第三边长为a，根据“三角形三边之间的关系”得8-5
考点2 三角形的内角和
例2 （2017·郴州）小明把一副含45°，30°的直角三角板如图1摆放，其中∠C=∠F=90°，∠A=45°，∠D=30°，则∠α ∠β等于（ ）.
A.180° B.210° C.360° D.270°
【分析】题中已知一副三角板六个内角的度数，∠α、∠β是三角形的两个外角，要求∠α ∠β度数，可以考虑利用三角形的外角性质转化为三角板的内角度数来求解.
解：如图2，不妨设AB与DE交于点G，EF与AB交于点H，由三角形的外角性质可知：∠α=∠A ∠AGD，∠β=∠B ∠BHF，由于∠AGD=∠EGH，∠BHF=∠EHG，所以∠AGD ∠BHF=∠EGH ∠EHG=180°-∠E=180°-（90°-∠D）=120°，所以∠α ∠β=∠A ∠B ∠AGD ∠BHF=90° 120°=210°，故应选B.
【点评】在计算与三角形有关的角度时，首先应判断出待求角与已知角之间的关系，再合理选用三角形的内角和定理或外角性质求解.
考点3 全等三角形的性质与判定
例3 （2017·常州）如图3，已知在四边形ABCD中，点E在AD上，∠BCE=∠ACD=90°，∠BAC=∠D，BC=CE.
（1）求证：AC=CD；
（2）若AC=AE，求∠DEC的度数.
【分析】（1）根据同角的余角相等可得到∠ACB=∠DCE，结合已知条件∠BAC=∠D， BC=CE，利用“AAS”可以证明△ABC≌△DEC，根据全等三角形的性质即可得证.
（2）根据∠ACD=90°，AC=CD，得到∠CAD=∠D=45°，又AC=AE，利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可求∠AEC的度数，然后依据平角的定义求∠DEC的度数.
（1）证明：∵∠BCE=∠ACD=90°，
∴∠BCA ∠ACE=∠ECD ∠ACE，
∴∠BCA=∠ECD.
在△BCA和△ECD中，
[∠BCA=∠ECD，∠BAC=∠D，BC=CE，]
∴△BCA≌△ECD，
∴AC=CD.
（2）解：∵∠ACD=90°，AC=CD，
∴△ACD是等腰直角三角形，
∴∠DAC=45°，
∵AC=AE，
∴∠AEC=∠ACE=[12]（180°-∠DAC）
=[12]（180°-45°），
∴∠DEC=180°-∠AEC
=180°-[12]（180°-45°）
=112.5°.
【点评】证明两条线段相等或两个角相等时，通常采用的方法是证明这两条线段或这两个角所在的三角形全等.
考点4 等腰三角形的性质与判定
例4 （2017·连云港）如图4，已知等腰三角形ABC中，AB=AC，点D、E分别在边AB、AC上，且AD=AE，连接BE、CD，交于点F.
（1）判断∠ABE与∠ACD的数量关系，并说明理由；
（2）求证：过点A、F的直线垂直平分线段BC.
【分析】（1）根据全等三角形的判定定理“SAS”可以证明△ABE≌△ACD，然后利用全等三角形的对应角相等即可得证；（2）由AB=AC，得∠ABC=∠ACB，又根据（1）的结论可得∠ABE=∠ACD，则∠FBC=∠FCB，由等角对等边可得FB=FC，依据垂直平分线的判定即可证明结论.
（1）解：∠ABE=∠ACD，理由如下：
在△ABE和△ACD中，
[AB=AC，∠A=∠A，AE=AD，]
∴△ABE≌△ACD，
∴∠ABE=∠ACD.
（2）证明：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
由（1）可知∠ABE=∠ACD，
∴∠FBC=∠FCB，
∴FB=FC，
∵AB=AC，
∴点A、F均在线段BC的垂直平分线上，即直线AF垂直平分线段BC.
【点评】在三角形中，证明两条线段或两个角相等时，如果线段或角在同一个三角形中，则先考虑用“等边对等角”“等角对等边”来证明.
考点5 勾股定理及其逆定理
例5 （2017·安顺）三角形三边长分别为3，4，5，那么最长边上的中线长等于
.
【分析】先根据勾股定理逆定理判断出三角形是直角三角形，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求解
解：∵32 42=25=52，
∴该三角形是直角三角形，
∴最长边上的中线长=[12]×5=2.5.
【点评】勾股定理的逆定理是判断一个三角形是直角三角形的重要方法，应先确定最长边，然后验证两条较短的边的平方和是否等于最长边的平方.
考点6 直角三角形的性质
例6 （2017·龙东）如图6，在△ABC中，AB=BC=8，AO=BO，点M是射线CO上的一个动点，∠AOC=60°.则当△ABM为直角三角形时，AM的长为 .
图6
【分析】注意到点M位置的不确定性，因此考虑分类讨论解决此题，分类的标准是看△ABM中哪个顶点可能是直角顶点.分好类以后，画出草图，根据已知给出的数据逐个计算即可.
解：（1）如图7，当点B为直角三角形ABM的直角顶点时，
∵AB=8，点O为AB中點，∴OB=4，
∵∠AOC=60°，∴∠BOM=60°，
∴∠OMB=30°，∴OM=8，
在Rt△OBM中，由勾股定理得BM=[43]，
在Rt△ABM中，由勾股定理得AM=[AB2 BM2]=[47].
（2）如图8，当点M在△ABC外部且点M为直角三角形ABM的直角顶点时，
∵点O为AB中点，∴OM=OB，
∵∠BOM=∠AOC=60°，
∴△BOM是等边三角形，
∴∠OBM=60°，∴∠BAM=30°，
∴BM=[12]AB=4，在Rt△ABM中，由勾股定理得AM=[43].
（3）如图9，当点M在△ABC内部且点M为直角三角形ABM的直角顶点时，同（2）可得△AOM是等边三角形，∴AM=AO=4.
综上所述，AM的长为[47]或[43]或4.
【点评】在直角三角形中，“30°角所对的直角边等于斜边的一半”揭示的是直角边与斜边的关系，它在求直角三角形中的线段长时能起到关键的作用.
（作者单位：江西省赣县江口中学）