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二项展开式中的特定项、特定项的系数、二项式系数等是高考的热点.
1. 求二项展开式中的特定项或特定项的系数
例1 已知在[(x3-12x3)n]的展开式中笫6项为常数项. （1）求[n]；（2）求含[x2]项的系数；（3）求展开式中所有的有理项.
分析 以“第6项系数为常数项”为突破口，先求[n]，再求含[x2]的项的系数，对于有理项是指[x]的指数为整数的项.
解 （1）通项公式为
[Tr+1=Crnxn-r3(-12)rx-r3=Crn(-12)rxn-2r3].
因为第6项为常数项，
所以[r=5]时，[n-103=0]，即[n=10].
（2）令[10-2r3=2]，得[r=2]，
故含[x2]项的系数是[C210(-12)2=454.]
（3）根据通项公式，由题意知[10-2r3∈Z,0≤r≤10,r∈n.]
令[10-2r3=k(k∈Z),]
则[10-2r=3k,][r=5-32k]，
[∴k]应为偶数，可取2、0、-2，
即[r]可取2、5、8.
所以第3项、第6项与第9项为有理项，它们分别为[C210(-12)2x2]、[C210(-12)2]、[C810(-12)8][x-2].
点拨 要区分展开式中项的系数与二项式系数，二者有本质的区别，二项式系数具有组合数的性质，如[(a+b)n]展开式中，系数最大的项是中间项，但当[a、b]的系数不是1时，项的系数与它们的二项式系数就不等.
2. 二项式系数的性质
例2 已知[(x-2x2)n(x∈N*)]的展开式中第五项的系数与第三项的系数的比是10∶1.
（1）求展开式中各项系数的和；
（2）求展开式中含[x32]的项；
（3）求展开式中系数最大的项和二项式系数最大的项.
解 （1）由题意知，第五项系数为[C4n(-2)4,]笫三项系数为[C2n(-2)2]，则有[C4n(-2)4C2n(-2)2=10]，
化简得 [n2-5n-24=0]，
解得[n=8]或[n=-3]（舍）.
令[x=1]得各项系数的和为（1－2）8＝1.
（2）[Tr+1=Cr8(x)8-r(-2x2)r=][Cr8(-2)rx8-r2-2r]，
令[8-r2-2r=32]，则[r=1]，
故展开式中含[x32] 的项为[T2=-16x32].
（3）设展开式中的第[r]项、第[r+1]项、第[r+2]项的系数绝对值分别为[Cr-182r-1、Cr82r、Cr+182r+1].
若第[r+1]项的系数绝对值最大，
则[Cr-182r-1≤Cr82r,Cr+182r+1≤Cr82r,]解得[r=5]，
又[T6]的系数为负，
故系数最大的项为[T7=1792.]
由[n=8]知，笫5项二项式系数最大，[T5=1120x-6.]
点拨 1. 根据二项式系数的性质，[n]为奇数时，中间两项的二项式系数最大；[n]为偶数时，中间一项的二项式系数最大.
2. 求展开式中系数最大项与求二项式系数最大项不同，求展开式中系数最大项的步骤是：先假定第[r+1]项系数最大，则它比相邻两项的系数都不小，列出不等式组并解此不等式组求得.
3. 二项式系数和或各项的系数和
例3 [(2-x)8]展开式中不含[x4]项的系数和为（ ）
A. -1 B. 0 C. 1 D. 2
分析 不含[x4]项的系数有8个，故可用间接法先求各项系数和及[x4]项的系数，则可求得答案.
解 选B. 展开式的通项公式[Tr+1=Cr828-r(-x)r][=(-1)rCr828-rxr2]，由[r2=4]得[r=8]，则含[x4]项的系数为1. 令[x=1]得展开式所有项系数和为[(2-1)8=1]. 故展开式中不含[x4]项的系数和为1－1＝0.
点拨 1. “赋值法”普遍适用于恒等式，对形如[(ax+b)n、][(ax2+bx+c)m(a,b∈R)]的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令[x=1]即可；对形如[(ax+by)n,(a,b∈R)]的式子求其展开式各项系数之和，只需令[x=y=1]即可.
2. 若[f(x)=a0+a1x+a2x2+…+anxn]，则 [f(x)]展开式中各项系数之和为[f(1)]，奇数项系数之和为[a0+a2+a4+…=f(1)+f(-1)2]，偶数项系数之和为[a1+a3+a5+…=f(1)-f(-1)2.]
4. 整除或求余问题
例4 （1）求证：[4×6n+5n+1-9]是20的倍数[(n∈N)]；
（2）今天是星期一，再过3100天是星期几？
分析 （1） 将[6n]化为[(5+1)n,5n+1]化为[5(4+1)n]利用二项式定理展开，提取公因数20. （2）3100 被7除余几，关键是如何产生7.可考虑[3100=950=(7+2)50;][250=4×816=4×(7+1)16].
[∴3100]被7除余数是4，故再过3100天是星期五.
点拨 用二项式定理处理整除问题，通常把底数写成除数（或与除数密切关联的数）与某数的和或差的形式，再用二项式定理展开，只考虑后面（或者前面）一、二项就可以了，同时，要注意余数的范围，[a=cr+b],其中余数[b∈[0,r),r]是除数，利用二项式定理展开变形后，若剩余部分是负数，要注意转换.
5. 综合问题
例5 [(1+x+x2)1(x-1x)6]的展开式中的常数项为 .
分析 应重点考虑多项式[1+x+x2]中的每一项与[(x-1x)6]的展开式中的哪些项之积为常数.
解 [(x-1x)6]的展开式中的通项为
[Tr+1=Cr6x6-r(-1x)r=(1-)rCr6x6-2r].
令[6-2r=0], 得[r=3],[T4=(-1)3C36]；
令[6-2r=-1], 得[r=72]（舍）.
令[6-2r=－2], 得[r=4],[T5=(-1)4C46x-2.]
[(1+x+x2)1(x-1x)6]的展开式中的常数项为[1×(-C36)+C46=-5].
点拨 解答本题时易犯的错误有：一是误以为所求的常数项为1与[(x-1x)6] 的展开式中的常数项之积，从而造成错解，出现错误的原因是对两个多项式之积出现常数的情况估计不足. 二是把[(x-1x)6]全部展开，运算繁琐，浪费时间，造成潜在丢分，出现这种现象的原因是不能灵活运用所学知识来解决问题.
【专题训练十三】
1. [(x+ax)5(x∈R)]展开式中[x3]的系数为10，则系数[a]等于（ ）
A. [-1] B. [12] C. 1 D. 2
2. 已知[(x2+1x)n]的二项展开式的各项系数和为32，则二项展开式中[x]的系数为（ ）
A. 5 B. 10 C. 20 D. 40
3. [(1-3x+2y)n]的展开式中不含[y]的项的系数和为（ ）
A. [2n] B. [-2n] C. [(-2)n] D. 1
4. 已知[(1+x)+(1+x)2+⋯+(1+x)n=a0+a1x][+a2x2+⋯+anxn]，若[a1+a2+⋯+an-1=29-n]，则[n=]（ ）
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
5. 已知[(1+x)+(1+x)2+(1+x)3+⋯+(1+x)8][=a0+a1x+a2x2+⋯+a8x8],则[a0+a1+a2+⋯][+a8]= .
6. 在[(x+34y)20]的展开式中，系数为有理数的项共有 项.
7. 在[(1-2x)6]的展开式中，含[x2]项的系数为 ；所有项系数的和为 .
8. 在[(x2-1x3)n]的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中常数项是 .
9. 已知[{an}]是首项为1，公比为2的等比数列，则[a1C0n+a2C1n+a3C2n+⋯+an+1Cnn]等于 . （用含[n]的代数式表示）
10. 在[(2x-1)5]的展开式中，设各项系数之和为[a]，偶数项的二项式系数之和为[b]，各项系数的绝对值之和为[c]，则[a+b+c]= .
11. 已知数列[{an}(n∈N*)]是首项为[a1]，公比为[q]的等比数列.
（1）求和：[a1C02-a2C12+a3C22;][a1C03-a2C13-][a3C23-a4C33.]
（2）由（1）的结果归纳概括出关于正整数[n]的一个结论，并加以证明.
12. 若[(x+12x4)n]展开式中前三项系数成等差数列.
（1）求展开式中含[x]的一次幂的项；
（2）求展开式中所有含[x]的有理项；
（3）求展开式中系数最大的项.
【参考答案】
1. D 2. B 3. C 4. A 5. 502 6. 6 7. 60；1 8. 7 9. [3n] 10. 260
11. （1）[a1(1-q)2],[a1(1-q)3] （2）[a1C0n-a2C1n+][a3C2n+⋯+(-1)nan+1Cnn][=a1(1-q)n]
12. （1）[358x]
（2）[x4]，[358x,1256x2]
（3）[7x52],[7x74].
1. 求二项展开式中的特定项或特定项的系数
例1 已知在[(x3-12x3)n]的展开式中笫6项为常数项. （1）求[n]；（2）求含[x2]项的系数；（3）求展开式中所有的有理项.
分析 以“第6项系数为常数项”为突破口，先求[n]，再求含[x2]的项的系数，对于有理项是指[x]的指数为整数的项.
解 （1）通项公式为
[Tr+1=Crnxn-r3(-12)rx-r3=Crn(-12)rxn-2r3].
因为第6项为常数项，
所以[r=5]时，[n-103=0]，即[n=10].
（2）令[10-2r3=2]，得[r=2]，
故含[x2]项的系数是[C210(-12)2=454.]
（3）根据通项公式，由题意知[10-2r3∈Z,0≤r≤10,r∈n.]
令[10-2r3=k(k∈Z),]
则[10-2r=3k,][r=5-32k]，
[∴k]应为偶数，可取2、0、-2，
即[r]可取2、5、8.
所以第3项、第6项与第9项为有理项，它们分别为[C210(-12)2x2]、[C210(-12)2]、[C810(-12)8][x-2].
点拨 要区分展开式中项的系数与二项式系数，二者有本质的区别，二项式系数具有组合数的性质，如[(a+b)n]展开式中，系数最大的项是中间项，但当[a、b]的系数不是1时，项的系数与它们的二项式系数就不等.
2. 二项式系数的性质
例2 已知[(x-2x2)n(x∈N*)]的展开式中第五项的系数与第三项的系数的比是10∶1.
（1）求展开式中各项系数的和；
（2）求展开式中含[x32]的项；
（3）求展开式中系数最大的项和二项式系数最大的项.
解 （1）由题意知，第五项系数为[C4n(-2)4,]笫三项系数为[C2n(-2)2]，则有[C4n(-2)4C2n(-2)2=10]，
化简得 [n2-5n-24=0]，
解得[n=8]或[n=-3]（舍）.
令[x=1]得各项系数的和为（1－2）8＝1.
（2）[Tr+1=Cr8(x)8-r(-2x2)r=][Cr8(-2)rx8-r2-2r]，
令[8-r2-2r=32]，则[r=1]，
故展开式中含[x32] 的项为[T2=-16x32].
（3）设展开式中的第[r]项、第[r+1]项、第[r+2]项的系数绝对值分别为[Cr-182r-1、Cr82r、Cr+182r+1].
若第[r+1]项的系数绝对值最大，
则[Cr-182r-1≤Cr82r,Cr+182r+1≤Cr82r,]解得[r=5]，
又[T6]的系数为负，
故系数最大的项为[T7=1792.]
由[n=8]知，笫5项二项式系数最大，[T5=1120x-6.]
点拨 1. 根据二项式系数的性质，[n]为奇数时，中间两项的二项式系数最大；[n]为偶数时，中间一项的二项式系数最大.
2. 求展开式中系数最大项与求二项式系数最大项不同，求展开式中系数最大项的步骤是：先假定第[r+1]项系数最大，则它比相邻两项的系数都不小，列出不等式组并解此不等式组求得.
3. 二项式系数和或各项的系数和
例3 [(2-x)8]展开式中不含[x4]项的系数和为（ ）
A. -1 B. 0 C. 1 D. 2
分析 不含[x4]项的系数有8个，故可用间接法先求各项系数和及[x4]项的系数，则可求得答案.
解 选B. 展开式的通项公式[Tr+1=Cr828-r(-x)r][=(-1)rCr828-rxr2]，由[r2=4]得[r=8]，则含[x4]项的系数为1. 令[x=1]得展开式所有项系数和为[(2-1)8=1]. 故展开式中不含[x4]项的系数和为1－1＝0.
点拨 1. “赋值法”普遍适用于恒等式，对形如[(ax+b)n、][(ax2+bx+c)m(a,b∈R)]的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令[x=1]即可；对形如[(ax+by)n,(a,b∈R)]的式子求其展开式各项系数之和，只需令[x=y=1]即可.
2. 若[f(x)=a0+a1x+a2x2+…+anxn]，则 [f(x)]展开式中各项系数之和为[f(1)]，奇数项系数之和为[a0+a2+a4+…=f(1)+f(-1)2]，偶数项系数之和为[a1+a3+a5+…=f(1)-f(-1)2.]
4. 整除或求余问题
例4 （1）求证：[4×6n+5n+1-9]是20的倍数[(n∈N)]；
（2）今天是星期一，再过3100天是星期几？
分析 （1） 将[6n]化为[(5+1)n,5n+1]化为[5(4+1)n]利用二项式定理展开，提取公因数20. （2）3100 被7除余几，关键是如何产生7.可考虑[3100=950=(7+2)50;][250=4×816=4×(7+1)16].
[∴3100]被7除余数是4，故再过3100天是星期五.
点拨 用二项式定理处理整除问题，通常把底数写成除数（或与除数密切关联的数）与某数的和或差的形式，再用二项式定理展开，只考虑后面（或者前面）一、二项就可以了，同时，要注意余数的范围，[a=cr+b],其中余数[b∈[0,r),r]是除数，利用二项式定理展开变形后，若剩余部分是负数，要注意转换.
5. 综合问题
例5 [(1+x+x2)1(x-1x)6]的展开式中的常数项为 .
分析 应重点考虑多项式[1+x+x2]中的每一项与[(x-1x)6]的展开式中的哪些项之积为常数.
解 [(x-1x)6]的展开式中的通项为
[Tr+1=Cr6x6-r(-1x)r=(1-)rCr6x6-2r].
令[6-2r=0], 得[r=3],[T4=(-1)3C36]；
令[6-2r=-1], 得[r=72]（舍）.
令[6-2r=－2], 得[r=4],[T5=(-1)4C46x-2.]
[(1+x+x2)1(x-1x)6]的展开式中的常数项为[1×(-C36)+C46=-5].
点拨 解答本题时易犯的错误有：一是误以为所求的常数项为1与[(x-1x)6] 的展开式中的常数项之积，从而造成错解，出现错误的原因是对两个多项式之积出现常数的情况估计不足. 二是把[(x-1x)6]全部展开，运算繁琐，浪费时间，造成潜在丢分，出现这种现象的原因是不能灵活运用所学知识来解决问题.
【专题训练十三】
1. [(x+ax)5(x∈R)]展开式中[x3]的系数为10，则系数[a]等于（ ）
A. [-1] B. [12] C. 1 D. 2
2. 已知[(x2+1x)n]的二项展开式的各项系数和为32，则二项展开式中[x]的系数为（ ）
A. 5 B. 10 C. 20 D. 40
3. [(1-3x+2y)n]的展开式中不含[y]的项的系数和为（ ）
A. [2n] B. [-2n] C. [(-2)n] D. 1
4. 已知[(1+x)+(1+x)2+⋯+(1+x)n=a0+a1x][+a2x2+⋯+anxn]，若[a1+a2+⋯+an-1=29-n]，则[n=]（ ）
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
5. 已知[(1+x)+(1+x)2+(1+x)3+⋯+(1+x)8][=a0+a1x+a2x2+⋯+a8x8],则[a0+a1+a2+⋯][+a8]= .
6. 在[(x+34y)20]的展开式中，系数为有理数的项共有 项.
7. 在[(1-2x)6]的展开式中，含[x2]项的系数为 ；所有项系数的和为 .
8. 在[(x2-1x3)n]的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中常数项是 .
9. 已知[{an}]是首项为1，公比为2的等比数列，则[a1C0n+a2C1n+a3C2n+⋯+an+1Cnn]等于 . （用含[n]的代数式表示）
10. 在[(2x-1)5]的展开式中，设各项系数之和为[a]，偶数项的二项式系数之和为[b]，各项系数的绝对值之和为[c]，则[a+b+c]= .
11. 已知数列[{an}(n∈N*)]是首项为[a1]，公比为[q]的等比数列.
（1）求和：[a1C02-a2C12+a3C22;][a1C03-a2C13-][a3C23-a4C33.]
（2）由（1）的结果归纳概括出关于正整数[n]的一个结论，并加以证明.
12. 若[(x+12x4)n]展开式中前三项系数成等差数列.
（1）求展开式中含[x]的一次幂的项；
（2）求展开式中所有含[x]的有理项；
（3）求展开式中系数最大的项.
【参考答案】
1. D 2. B 3. C 4. A 5. 502 6. 6 7. 60；1 8. 7 9. [3n] 10. 260
11. （1）[a1(1-q)2],[a1(1-q)3] （2）[a1C0n-a2C1n+][a3C2n+⋯+(-1)nan+1Cnn][=a1(1-q)n]
12. （1）[358x]
（2）[x4]，[358x,1256x2]
（3）[7x52],[7x74].