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【摘要】
通过对北师大版必修4教材中一个三点共线例题的研究得到三点共线的充要条件，再加以应用.通过向量与其他数学知识的综合，揭示数学知识之间的内在联系，发挥向量的工具性作用.
【关键词】向量；三点共线；充要条件；应用
一、课本例题的再认识（北师大版必修4例题）
如图，A，B，C 是平面内三个点，且A与B不重合，P是平面内任意一点，若点C在直线AB上，则存在实数λ，使得
PC=λPA 1-λPB.
证明：如图，因为向量BC与向量BA共线，根据向量共线定理可知
BC=λBA.
即PC-PB=λPA-PB，
PC=λPA PB-λPB，
PC=λPA 1-λPB.
（该例题的结论非常重要，是判断三点共线的重要依据，它的逆命题依然成立，由此可得出三点共线的充要条件.）
二、三点共线的充要条件
A，B，C是平面内不重合的三个点，O是此平面上任意一点，则A，B，C三点共线的充要条件是存在实数λ，μ，使得
OC=λOA μOB，λ μ=1.
说明1：OA，OB，OC这三个向量中的任何一个向量均可以用另外两个向量表示，且其系数之和为1.
说明2：特别地，在△OAC中，若B为边AC的中点，则OB=12OA 12OC.
（这是三点共线的向量表示，有了这个重要结论，我们就能用向量的方法解决有关三点共线的问题.）
三、例题分析
例1 如图所示，在△ABC中，H为BC上异于B，C的任一点，M为AH的中点，若AM=λAB μAC，则λ μ=.
解析 因为B，H，C三点共线，故AH=mAB nAC，m n=1.而M为AH的中点，故2AM=mAB nAC，即AM=m2AB n2AC，m n=1.又已知AM=λAB μAC，所以λ μ=m2 n2=12.
（例1是对三点共线充要条件的直接应用.）
【变式练习】已知△ABC中，AN=13AC，P为BN上一点，若AP=mAB 211AC，则实数m的值为.
解析 因为AN=13AC， 故AP=mAB 211AC=mAB 611AN，而B，P，N 三点共线，故m 611=1，m=511.
例2 已知D是△ABC边BC的中点，过点D的直线分别交AB、AC于M、N，若AM=mAB，AN=nAC，则1m 1n=.
解析 因为D是△ABC边BC的中点，所以AD=12AB 12AC，又AM=mAB，AN=nAC，故AD=12mAM 12nAN，而M，D，N 三点共线，所以12m 12n=1，1m 1n=2.
（例2比例1稍难，但学生通过思考不难发现其本质依然是三点共线的向量表示.）
【变式练习】如图，给定两个长度为1的平面向量OA，OB，它们的夹角为120°，点C在以O为圆心的圆弧AB上运动，OC与AB交于点D.若OC=xOA yOB，x，y∈R，则x y的取值范围为.
解析 因为向量OD与向量OC共线，所以OD=λOC，λ∈12，1，又由A，D，B 三点共线知OD=mOA nOB，m n=1.所以λOC=mOA nOB，即OC=mλOA nλOB，m n=1.又已知OC=xOA yOB，所以x y=mλ nλ=1λ∈1，2.
通过向量与其他数学知识的综合，揭示数学知识之间的内在联系，发挥向量的工具性作用.实际上，我们可以进一步由平面内三点共线的充要条件，类比得到空间中四点共面的充要条件：A，B，C，D是平面内不重合的四个点，O是空间内任意一点，则A，B，C，D四点共面的充要条件是存在实数λ，μ，t，使得
通过对北师大版必修4教材中一个三点共线例题的研究得到三点共线的充要条件，再加以应用.通过向量与其他数学知识的综合，揭示数学知识之间的内在联系，发挥向量的工具性作用.
【关键词】向量；三点共线；充要条件；应用
一、课本例题的再认识（北师大版必修4例题）
如图，A，B，C 是平面内三个点，且A与B不重合，P是平面内任意一点，若点C在直线AB上，则存在实数λ，使得
PC=λPA 1-λPB.
证明：如图，因为向量BC与向量BA共线，根据向量共线定理可知
BC=λBA.
即PC-PB=λPA-PB，
PC=λPA PB-λPB，
PC=λPA 1-λPB.
（该例题的结论非常重要，是判断三点共线的重要依据，它的逆命题依然成立，由此可得出三点共线的充要条件.）
二、三点共线的充要条件
A，B，C是平面内不重合的三个点，O是此平面上任意一点，则A，B，C三点共线的充要条件是存在实数λ，μ，使得
OC=λOA μOB，λ μ=1.
说明1：OA，OB，OC这三个向量中的任何一个向量均可以用另外两个向量表示，且其系数之和为1.
说明2：特别地，在△OAC中，若B为边AC的中点，则OB=12OA 12OC.
（这是三点共线的向量表示，有了这个重要结论，我们就能用向量的方法解决有关三点共线的问题.）
三、例题分析
例1 如图所示，在△ABC中，H为BC上异于B，C的任一点，M为AH的中点，若AM=λAB μAC，则λ μ=.
解析 因为B，H，C三点共线，故AH=mAB nAC，m n=1.而M为AH的中点，故2AM=mAB nAC，即AM=m2AB n2AC，m n=1.又已知AM=λAB μAC，所以λ μ=m2 n2=12.
（例1是对三点共线充要条件的直接应用.）
【变式练习】已知△ABC中，AN=13AC，P为BN上一点，若AP=mAB 211AC，则实数m的值为.
解析 因为AN=13AC， 故AP=mAB 211AC=mAB 611AN，而B，P，N 三点共线，故m 611=1，m=511.
例2 已知D是△ABC边BC的中点，过点D的直线分别交AB、AC于M、N，若AM=mAB，AN=nAC，则1m 1n=.
解析 因为D是△ABC边BC的中点，所以AD=12AB 12AC，又AM=mAB，AN=nAC，故AD=12mAM 12nAN，而M，D，N 三点共线，所以12m 12n=1，1m 1n=2.
（例2比例1稍难，但学生通过思考不难发现其本质依然是三点共线的向量表示.）
【变式练习】如图，给定两个长度为1的平面向量OA，OB，它们的夹角为120°，点C在以O为圆心的圆弧AB上运动，OC与AB交于点D.若OC=xOA yOB，x，y∈R，则x y的取值范围为.
解析 因为向量OD与向量OC共线，所以OD=λOC，λ∈12，1，又由A，D，B 三点共线知OD=mOA nOB，m n=1.所以λOC=mOA nOB，即OC=mλOA nλOB，m n=1.又已知OC=xOA yOB，所以x y=mλ nλ=1λ∈1，2.
通过向量与其他数学知识的综合，揭示数学知识之间的内在联系，发挥向量的工具性作用.实际上，我们可以进一步由平面内三点共线的充要条件，类比得到空间中四点共面的充要条件：A，B，C，D是平面内不重合的四个点，O是空间内任意一点，则A，B，C，D四点共面的充要条件是存在实数λ，μ，t，使得