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摘 要：目前，VaR（value-at-risk）和CVaR（conditional value-at-risk）方法是各领域进行风险管理的主要度量工具。本文将VaR、CVaR与传统方差方法进行比较，从是否符合一致性公理来体现VaR和CVaR方法的优越性。并介绍了该两种方法在保险领域的应用，给出了再保险方面的基于VaR和CVaR风险度量的最优再保险模型。
关键词：风险度量；VaR；CVaR；一致性公理；最优再保险
1.引言
投资专家学者曾提出了很多不同的风险度量模型。传统的方差度量方法也曾被Markowitz提出并作为风险度量指标。由于该模型需要假设投资组合的各项资产的收益率的联合分布为正态分布，其实用性受到众多的批评和质疑。
20世纪90年代初，VaR风险度量方法一经提出，便受到了各界的欢迎。但随着其在金融领域的应用，缺陷也逐渐暴露。尤其是在1999年Artzner等人提出了一致性风险度量公理后，VaR的缺陷更加明显。而CVaR风险度量的提出在一定程度上解决了VaR方法遇到的问题。它比VaR方法求解效果更好，并满足一致性公理，得到了学术界的一致认可。
2.VaR、CVaR的定义
VaR的基本含义是在某一特定的持有期内，在给定的置信水平下，给定的資产或资产组合可能遭受的最大损失值，体现了VaR度量模型技术的综合性。定义为如下：
定义1在置信水平为β（0<β<1）下，一组非负的随机变量X的VaR值定义为：
VaRβ（X）Δinf{x≥0|P（X>x）≤1-β}
对某资产或资产组合，在给定的持有期和给定的置信水平下，VaR给出了其最大可能的预期损失值。此外，由于风险的度量更多的是在对金融风险的研究时所提出的，所以学者对VaR有更为具体的定义，其中J.P.Morgan将VaR定义为：VaR是在既定资金被冲销或重估前可能发生的市场价值最大损失的估计值；而Jorion则把VaR定义为：“给定置信区间的一个持有期内的最坏的预期损失”。
其实，计算VaR的主要涉及两个因素：目标时段和置信水平。目标时段是指计算的未来多长时间内的VaR，它的确定主要取决于投资组合中资产的流动性，一般取为1天，1周，10天或1月；置信水平的确定主要取决于该投资组合中风险管理者的风险要求，一般取90%～99.9%。从VaR的定义中，我们不难发现，VaR仅仅给出了在一定的置信水平的条件下，投资收益分布的最大可接受值，但丝毫未提对于超出这个值之外的可能性，这也正是VaR模型的主要缺陷之一。
CVaR最早由Rockafellar和Uryasev 2000年引入，即条件在险价值，定义如下：
定义2 在置信水平为β（0<β<1）下，一组非负的随机变量X的CVaR值定义为：CVaRβ（X）=E[X|X≥VaRβ（X）]这也说明，CVaR方法能弥补VaR方法尾部风险不可测的缺陷问题。
根据上述定义，可知CVaR代数式为CVaRβ（X）=11-β∫1-β0VaRs（X）ds
随着进一步的研究，Pflug在此定义的基础上通过一个最优化问题定义CVaR为：
CVaRβ（X）=infC{C+11-βE[X-C]+}这里E[X-C]+=max{X-C，0}
在投资组合中，可用如下表达式表示：CVaRβ（X）=E[f（x，r）|f（x，r）≥VaRβ（X）]
其中，x=（x1，x2，…，xn）T：投资组合中某种资产占总资产的比率；r=（r1，r2，…，rn）T：投资组合中某种资产收益率的随机向量；f（x，r）：投资组合的预期损失函数。
根据E（x+C）=E（x）+C，C为常数，可知
CVaRβ（X）=VaRβ（X）+E[f（x，r）-VaRβ（X）|f（x，r）≥VaRβ（X）]由此可以知CVaRβ（X）≥VaRβ（X）
下面是度量CVaR的另一个数学公式，该公式更为精确，也可以称为过量损失的预期值的分布函数：Ψ（x，a）=∫f（x，r）≤ap（r）dr它是关于a的非增、右连续函数。
则对于任意置信度的β∈（0，1），VaRβ（X）=min{a∈R：Ψ（x，a）≥β}
于是：CVaRβ（X）=11-β∫f（x，r）≥VaRβ（X）f（x，r）p（r）dr
3.VaR、CVaR及方差模型的优缺点比较
根据方差模型、VaR模型以及CVaR模型的定义可证明得出，传统方差方法完全不满足一致性公理，这说明某种程度上来说，利用方差方法来度量风险在是极不可靠的。而VaR方法虽然满足一致性公理的正其次性、单调性以及平移不变性，但是其不满足次可加性。这说明VaR方法与投资上要求的分散化可以降低风险的性质不符。并且由于VaR不满足次可加性，易证其不满足凸性，表示作为投资组合的函数存在多个局部极值，无法通过优化技术来有效的寻找基于VaR风险度量的最优投资组合。
CVaR方法完全符合一致性公理，该方法具有良好的数学性质，满足次可加性，即该方法符合投资上要求的分化可降低风险的性质。而且CVaR模型是凸性的，可以求得全局最优解，这意味着不论投资者的回报是否为正态分布，它的优化问题计算简单，能够便于处理大样本事件，并且存在有效的最优解。这满足了风险度量方法的直观且易操作的有效性，很好的达到了应用到风险管理的实践中的要求。
4.VaR和CVaR的最优再保险模型
改革开放以来，我国经济飞速发展，保险业自入市之后保费与日俱增。能够合理而有效地运用巨额保险资金，找出科学的风险度量方法管理并控制保险资金投资的风险已成为当前的首要任务。在再保险的模型的研究中，可以应用VaR和CVaR风险度量方法，从而得出优化的再保险模型。 如果X表示由保险公司承担的最初的损失（即在没有再保险）。假设X是一个非负的随机变量的累积分布函数FX（x）=P（X≤x）和E[X]<∞。最优再保险问题涉及到在X=f（X）+Rf（X）時，X在f（X）和Rf（X）中的最优分割。该f（X），满足0≤f（X）≤X的亏损部分被分出给再保险公司，而Rf（x）是保险公司（保人）所自留的剩余损失。因此，f（x）被称为分出损失函数，而Rf（x）表示作为自留损失函数。
根据再保险安排，保险公司的风险敞口不再由X所引起。事实上，保险公司总风险敞口是自留损失和再保险保费的总和。使用Tf（X）代表保险公司的再保险的存在时的总风险，有：TfX=RfX+∏fX。
一个合理的标准，确定最优分出损失函数可以表示为一个适当选择的风险最小化测量Tf（X）。
基于这两个风险度量方法的定义，以风险度量为基础的最优再保险模型如下 VaR-优化：VaRβTf*X=minf∈CVaRβTfX
CVaR-优化： CVaRβTf*X=minf∈CCVaRβTfX
这里C是可容许的分出损失函数的集合，f*∈C是生成的最优分出损失函数。
从上述两种基于风险度量的最优再保险模型的进一步分析，可以求出最优的分出损失函数，从而选择一个风险最小的测量Tf（X）。
根据上述最优再保险模型，求出的最优分出损失函数的结论为：
对于VaR-最优再保险模型有（i）在分出损失函数为增凸函数时，赔付率超赔再保险是最优的；（ii）当分出及自留的损失函数的限制放宽，为增函数时，有上限的赔付率超赔再保险是最优的；（iii）在一般的递增和左连续的自留损失函数下，截断的赔付率超赔再保险是最优的。然而，CVaR-最优再保险模型，赔付率超赔再保险总是最优的。
5.结论
目前，对于风险度量方法来说，VaR和CVaR方法在各个性质上均优于传统方差方法，已成为各个领域中非常流行的度量风险的方法。在数学意义上，CVaR体现的是一个条件期望，是大于VaR的极端损失的平均值，即当损失超过VaR值时，可能遭受的平均潜在损失的大小，体现了更好的数学性质，更直观的对潜在的风险价值做出了估计。（作者单位：沈阳航空航天大学安全工程学院）
参考文献：
[1] 李大鹏，古艳玲.风险度量研究综述.上海：上海期货交易所，2002
[2] Yichun Chi and Ken Shen Tan.Optimal Reinsurance under VaR and CVaR Risk Measures：A Simplied Approach，2010
[3] 田新民，黄海平.基于条件VaR（CVaR）的投资组合优化模型及比较研究.数学的实践与认识，2004，34（7）：39-49
关键词：风险度量；VaR；CVaR；一致性公理；最优再保险
1.引言
投资专家学者曾提出了很多不同的风险度量模型。传统的方差度量方法也曾被Markowitz提出并作为风险度量指标。由于该模型需要假设投资组合的各项资产的收益率的联合分布为正态分布，其实用性受到众多的批评和质疑。
20世纪90年代初，VaR风险度量方法一经提出，便受到了各界的欢迎。但随着其在金融领域的应用，缺陷也逐渐暴露。尤其是在1999年Artzner等人提出了一致性风险度量公理后，VaR的缺陷更加明显。而CVaR风险度量的提出在一定程度上解决了VaR方法遇到的问题。它比VaR方法求解效果更好，并满足一致性公理，得到了学术界的一致认可。
2.VaR、CVaR的定义
VaR的基本含义是在某一特定的持有期内，在给定的置信水平下，给定的資产或资产组合可能遭受的最大损失值，体现了VaR度量模型技术的综合性。定义为如下：
定义1在置信水平为β（0<β<1）下，一组非负的随机变量X的VaR值定义为：
VaRβ（X）Δinf{x≥0|P（X>x）≤1-β}
对某资产或资产组合，在给定的持有期和给定的置信水平下，VaR给出了其最大可能的预期损失值。此外，由于风险的度量更多的是在对金融风险的研究时所提出的，所以学者对VaR有更为具体的定义，其中J.P.Morgan将VaR定义为：VaR是在既定资金被冲销或重估前可能发生的市场价值最大损失的估计值；而Jorion则把VaR定义为：“给定置信区间的一个持有期内的最坏的预期损失”。
其实，计算VaR的主要涉及两个因素：目标时段和置信水平。目标时段是指计算的未来多长时间内的VaR，它的确定主要取决于投资组合中资产的流动性，一般取为1天，1周，10天或1月；置信水平的确定主要取决于该投资组合中风险管理者的风险要求，一般取90%～99.9%。从VaR的定义中，我们不难发现，VaR仅仅给出了在一定的置信水平的条件下，投资收益分布的最大可接受值，但丝毫未提对于超出这个值之外的可能性，这也正是VaR模型的主要缺陷之一。
CVaR最早由Rockafellar和Uryasev 2000年引入，即条件在险价值，定义如下：
定义2 在置信水平为β（0<β<1）下，一组非负的随机变量X的CVaR值定义为：CVaRβ（X）=E[X|X≥VaRβ（X）]这也说明，CVaR方法能弥补VaR方法尾部风险不可测的缺陷问题。
根据上述定义，可知CVaR代数式为CVaRβ（X）=11-β∫1-β0VaRs（X）ds
随着进一步的研究，Pflug在此定义的基础上通过一个最优化问题定义CVaR为：
CVaRβ（X）=infC{C+11-βE[X-C]+}这里E[X-C]+=max{X-C，0}
在投资组合中，可用如下表达式表示：CVaRβ（X）=E[f（x，r）|f（x，r）≥VaRβ（X）]
其中，x=（x1，x2，…，xn）T：投资组合中某种资产占总资产的比率；r=（r1，r2，…，rn）T：投资组合中某种资产收益率的随机向量；f（x，r）：投资组合的预期损失函数。
根据E（x+C）=E（x）+C，C为常数，可知
CVaRβ（X）=VaRβ（X）+E[f（x，r）-VaRβ（X）|f（x，r）≥VaRβ（X）]由此可以知CVaRβ（X）≥VaRβ（X）
下面是度量CVaR的另一个数学公式，该公式更为精确，也可以称为过量损失的预期值的分布函数：Ψ（x，a）=∫f（x，r）≤ap（r）dr它是关于a的非增、右连续函数。
则对于任意置信度的β∈（0，1），VaRβ（X）=min{a∈R：Ψ（x，a）≥β}
于是：CVaRβ（X）=11-β∫f（x，r）≥VaRβ（X）f（x，r）p（r）dr
3.VaR、CVaR及方差模型的优缺点比较
根据方差模型、VaR模型以及CVaR模型的定义可证明得出，传统方差方法完全不满足一致性公理，这说明某种程度上来说，利用方差方法来度量风险在是极不可靠的。而VaR方法虽然满足一致性公理的正其次性、单调性以及平移不变性，但是其不满足次可加性。这说明VaR方法与投资上要求的分散化可以降低风险的性质不符。并且由于VaR不满足次可加性，易证其不满足凸性，表示作为投资组合的函数存在多个局部极值，无法通过优化技术来有效的寻找基于VaR风险度量的最优投资组合。
CVaR方法完全符合一致性公理，该方法具有良好的数学性质，满足次可加性，即该方法符合投资上要求的分化可降低风险的性质。而且CVaR模型是凸性的，可以求得全局最优解，这意味着不论投资者的回报是否为正态分布，它的优化问题计算简单，能够便于处理大样本事件，并且存在有效的最优解。这满足了风险度量方法的直观且易操作的有效性，很好的达到了应用到风险管理的实践中的要求。
4.VaR和CVaR的最优再保险模型
改革开放以来，我国经济飞速发展，保险业自入市之后保费与日俱增。能够合理而有效地运用巨额保险资金，找出科学的风险度量方法管理并控制保险资金投资的风险已成为当前的首要任务。在再保险的模型的研究中，可以应用VaR和CVaR风险度量方法，从而得出优化的再保险模型。 如果X表示由保险公司承担的最初的损失（即在没有再保险）。假设X是一个非负的随机变量的累积分布函数FX（x）=P（X≤x）和E[X]<∞。最优再保险问题涉及到在X=f（X）+Rf（X）時，X在f（X）和Rf（X）中的最优分割。该f（X），满足0≤f（X）≤X的亏损部分被分出给再保险公司，而Rf（x）是保险公司（保人）所自留的剩余损失。因此，f（x）被称为分出损失函数，而Rf（x）表示作为自留损失函数。
根据再保险安排，保险公司的风险敞口不再由X所引起。事实上，保险公司总风险敞口是自留损失和再保险保费的总和。使用Tf（X）代表保险公司的再保险的存在时的总风险，有：TfX=RfX+∏fX。
一个合理的标准，确定最优分出损失函数可以表示为一个适当选择的风险最小化测量Tf（X）。
基于这两个风险度量方法的定义，以风险度量为基础的最优再保险模型如下 VaR-优化：VaRβTf*X=minf∈CVaRβTfX
CVaR-优化： CVaRβTf*X=minf∈CCVaRβTfX
这里C是可容许的分出损失函数的集合，f*∈C是生成的最优分出损失函数。
从上述两种基于风险度量的最优再保险模型的进一步分析，可以求出最优的分出损失函数，从而选择一个风险最小的测量Tf（X）。
根据上述最优再保险模型，求出的最优分出损失函数的结论为：
对于VaR-最优再保险模型有（i）在分出损失函数为增凸函数时，赔付率超赔再保险是最优的；（ii）当分出及自留的损失函数的限制放宽，为增函数时，有上限的赔付率超赔再保险是最优的；（iii）在一般的递增和左连续的自留损失函数下，截断的赔付率超赔再保险是最优的。然而，CVaR-最优再保险模型，赔付率超赔再保险总是最优的。
5.结论
目前，对于风险度量方法来说，VaR和CVaR方法在各个性质上均优于传统方差方法，已成为各个领域中非常流行的度量风险的方法。在数学意义上，CVaR体现的是一个条件期望，是大于VaR的极端损失的平均值，即当损失超过VaR值时，可能遭受的平均潜在损失的大小，体现了更好的数学性质，更直观的对潜在的风险价值做出了估计。（作者单位：沈阳航空航天大学安全工程学院）
参考文献：
[1] 李大鹏，古艳玲.风险度量研究综述.上海：上海期货交易所，2002
[2] Yichun Chi and Ken Shen Tan.Optimal Reinsurance under VaR and CVaR Risk Measures：A Simplied Approach，2010
[3] 田新民，黄海平.基于条件VaR（CVaR）的投资组合优化模型及比较研究.数学的实践与认识，2004，34（7）：39-49