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摘 要
深度教学缘起于深度学习，立意于改革我国课堂教学中注重教学形式的千变万化而疏于对学科本质的深入理解。深入分析深度教学的重要意义后，提出数学学科中深度教学主要体现为深入数学本质的知识逻辑教学、触及学生心灵深处的思维逻辑教学和促进每个学生发展的差异教学。
关键词
深度教学 知识逻辑 思维逻辑 差异教学
深度教学缘起于深度学习研究，但立意于改革我国课堂教学的形式主义、工具主义和技术主义。深度教学中的“深度”与深度学习中的“深度”含义一致，由此引申，深度教学指的是触及教育教学本质和规律的教学[1]。雅斯贝尔斯指出“教育过程首先是一个精神成长的过程，然后才成为科学获知的一部分”[2]。反映在教学中，首先体现的是个体精神孕育的过程，在这个过程中，知识和技能是精神成长的媒介，只有引起学生情感上的共鸣、思维上的碰撞，才有可能真正走进学生的精神世界，生成智慧、获得新知、习得能力。如此，深度教学是指教师在准确把握学科本质和知识内核的基础上，旨在触动学生情感和思维的深处，引导学生自主发现和真正理解的一种教学样态[3]。深度教学强调的是教师对学科本质的深刻理解，深度融合教学内容与学生已有经验和情感体验，捕捉、微缩学科相关概念、定理和符号的发现或发明的关键环节，激活静态的知识，“视频化”学科发展的历史画面，设计深度参与的活动过程，使学生全身心地体验学科知识本身蕴含的丰富的、立体多维的教育意义。
深度教学虽意在教师理解学科知识的本质和情感因素，但是并非要求教师把学科内容挖得越深越好、越难越好，而是指教师要深入理解教学内容背后的文化意义，理解知识原初发明和发现时人们面临的问题、解决问题的思路，采用的思维方式、思考过程，理解知识发现者可能有的情感，判断评价知识的价值。透过符号去理解符号背后的内容与意义，甚至在“未书出”的无字无句之中去体会内容与意义[4];深入把握知识的内在结构体系（包含符号、逻辑形式、意义）;体现知识依存性，彰显知识与主体发展的意义关系，赋予教学丰富性、回归性、关联性和严密性的特质[5]。实践教学中，中小学教师本体性知识缺失现象严重，深度教学是促进教师本体性知识提升的重要着力点。数学学科中的深度教学是数学教学内容创生的知识逻辑教学，触动学生心灵深处的数学思维逻辑教学以及促进每个学生发展的差异教学。
一、创生数学教学内容的知识逻辑教学
任何概念的提出，都有其历史背景和文化基础。深度教学旨在突破当前中小学课堂教学普遍存在的外在形式表现有余、内在深入研究不足的现象。反映在数学教学中，则是教师对数学学科内容的表面理解、肤浅认知。
由于教学情境的独特性和动态性，教师对教学内容的挖掘贯穿于教学前、教学中和教学后。教与学行为发生之前，作为教育者的教师需要对素材和信息进行学习、理解。在这个过程中，教师长期的教育实践和教育研究积累对教师内化相关的数学知识有很大的促进作用。教师在教学前需要掌握的素材和信息包括代表国家意识形态和价值观的课程指导纲要或者类似作用的咨询报告、代表学校教学方向的学科课程标准、指引教学活动的数学指导书以及数学教材，也包括与教学相关的视听材料。对数学本质认识的主要做法有理清脉络、构建结构，沟通联系、整合单元，聚焦概念、深入解析三个方面。
1.理清脉络，构建结构
（1）秉持什么样的教学观。在课堂教学中让学生掌握结论性的知识内容和掌握知识发生发展的过程是两种不同的教学观。张奠宙先生曾经讲过这样一个事例：一位教师在讲授“一元一次方程”时，在“含有未知数的等式叫做方程”的黑体字上大做文章，反复举例，咬文嚼字地学习，琅琅上口地背诵[6]。典型的照本宣科讲授静态的知识内容，这样的数学学习经历如何培养学生的数学思维和提高数学兴趣？相反的，优秀的教师都会把数学知识的来龙去脉讲授得清清楚楚，为学生呈现知识的发生过程。
（2）厘清数学知识体系。教材是学生学习相关数学知识的重要载体，这些数学知识是按照一定的逻辑关系和学生的身心发展特点分布在不同年级和不同章节。教师需要通过概念的分析，按照一定的逻辑将相关数学知识内在的联结串联，建立知识网络图谱。例如一元一次方程，如果按照“以元为纲”的逻辑联结，则一元一次方程所在知识图谱如图1所示[7]。
图1 一元一次方程知识图谱
如果教师把所教年段的数学知识用某些逻辑线索将其串联起来，把知识点之间的内在关联揭示出来，就可以非常清晰地理解各个知识点在整个小学阶段或者中学阶段的位置，掌握他们之间的内在逻辑性，理顺上下、前后的结构关系。进而了解它在整个学段的数学教学中的重要程度，在清晰的结构中寻找本质的、理性的信息，从而深入理解数学知识内在的本质[8]。
（3）深刻领悟数学思想方法。数学思想相对于数学方法而言更具有统摄的作用，数学思想是数学的灵魂，而数学方法是数学思想的外显和具体化。数学思想作为数学知识的统帅，处于学习中的上位关系，其概括和包容的范围会更广，可以把一系列的下位知識囊括其中。数学方法是在提出问题、分析问题和解决问题过程所运用的具体策略与技巧，是数学思想的具体反映。例如一元一次方程，其所蕴含的思想主要有建模思想和化归思想，一元一次方程可以通过二元一次方程化归而成，而二元一次方程可以通过三元一次方程化归而得到。因此，教师协助学生掌握一定的数学思想和方法对于学生的学习迁移非常有利，一般地，如果学生头脑中的上位观念牢固而清晰，其迁移能力强的话，就可以把新知识的下位学习作为一种练习来完成[9]。
2.沟通联系，整合单元
在将数学知识结构化后，需要搭建结构阶梯。如果把数学知识结构框架比喻为数学的骨架，那么结构阶梯就是内容丰富的血和肉。数学知识结构能够让教师清晰地理顺概念与概念、概念与定理、概念与法则等之间的逻辑关系，结构阶梯则在于沟通前后知识之间的顺序、左右知识之间的平行关系和上下知识之间的递进关系。 在数学教学中，单元是构成教学内容的重要部分，每个单元基本上都是同一主题的教学内容。但是深度教学中的“单元”则完全不等同于教科书中的自然单元，深度教学中的“单元”是以挑战性学习主题为中心，围绕主题开展一系列的教学活动，整合相关的数学教学内容，这些数学内容有可能在教科书中的同一单元内，也有可能是多个自然单元的综合体或者是多个自然课时的整合。这里的“单元”主要是建构主义意义下的“单元”概念，是基于“学科核心素养”整合不同的“教学方略”。不管哪一种教学方略，“学科核心素养”都是共同的追求与最大的优先事项[10]。
3.聚焦概念，深入解析
数学概念是构成数学学科的基本单元，也是反映数量关系和空间形式本质属性和特征的思维形式。数学概念的产生具有不同的途径，有的数学概念是从现实生活存在的模型中抽象概括得出，有的概念是在已有概念的基础上进一步抽象概括而形成，有的概念是人们将客观事物的属性理想化、纯粹化得到，还有的概念是根据现实生产生活的需要而产生的。整体分析和理解每一个概念，既要深入分析概念产生的根源，又要分析这一概念所反映的数学本质特征和数学思想，了解学生学习这一概念的特征与困惑，清晰核心概念在相关数学结构框架中的重要位置和对学生学习的重要意义。
在教学中，理解概念时需要教师清楚概念产生的途径，如果概念是从现实模型中抽象出来的，比如正方体、长方体以及圆等的教学，就需要准备感性的材料作为概念引入的手段。如果概念来源于现实问题的解决，比如负数、无理数等的教学理解时就需要清楚概念产生的历史背景资料或者提出现实问题。
对概念的解析还需要深入理解概念的本质和关注概念间的联系，概念的本质与概念之间的联系反映了相关的数学思想，是教师切实需要掌握的数学的核心。
二、触动学生心灵的数学思维逻辑教学
深度教学实施的前提是深入理解数学内容，并通过设计具有挑战性主题的建构性活动来开展。我们常说数学是思维的体操，教学中如果離开思维，就谈不上真正的数学学习。换言之，没有思维，就没有数学学习。数学教学的实质就是数学思维活动，学习者在教师指导下，围绕一个学习主题，开展数学活动，培养思维的逻辑性。但是，单纯的数学知识并不能达成这样的教学目标，思维逻辑的培养需要教师在深入理解数学知识本质的基础上设计有意义的数学教学活动，即把数学知识的学术形态转化为教育形态。
1.数学概念是培养数学思维逻辑的重要载体
数学概念是数学思维方法的重要载体，思维逻辑来源于教师和学生对数学基本概念的深刻理解，思维逻辑的建立依赖于学生在教师的指导下遵循基本概念所承载的思维特征所进行的思维活动。这种思维活动实际上是一种内化的过程，是通过课堂教学活动将符号化、概念化的数学知识借助思维活动转化为思维逻辑[11]。
2.数学思想方法是培养思维逻辑的教学主线
数学思维是数学思想操练的重要抓手，它的作用就像木偶戏中的提线，知识代表木偶，而表演者通过提线来操练木偶的过程就是数学思维形成的过程。数学思想的点滴渗透关乎学生逻辑的形成，是学生用数学思维思考数学问题，用数学方法解决数学问题必须具备的思维基础。各个单元知识所形成的数学思想也为如何在知识的教学中确立思维逻辑提供路径和发展的主线。
3.问题情境是培养思维逻辑的实践路径
数学教学的目标是为了培养学生的“核心素养”，但是“素养”不是教出来的，而是在不同的问题情境中通过提出问题、分析问题、解决问题的实践过程形成的。也就是说，唯有融入到真正的学习环境中，数学知识内容及其所承载的思想方法、思维逻辑乃至寻求数学领域的本质（真、善、美）态度，才能一体化的培育起来。
因此，教师在设计具有挑战性的、学生全身心投入的问题时，需要有坚实的数学专业知识作为基础，有建构主义理论、最近发展区理论以及学习科学等理论做支撑，有充分了解学生已有知识与新学知识之间的“剪刀差”做底气，与学生一起设置高于学生目前认知能力的问题情境，引起学生的兴趣，制造学生的认知冲突，使之处于一种“心理失衡”的状态，从而促使学生为了达到新的“知识结构平衡”，不得不去寻找新的理论和知识点，以弥补这种不稳定的状态[12]。
三、促进学生发展的数学差异教学
深度教学指向的是建构式的学习、理解性的学习。换言之，学习者需要借助原有的经验，通过自己的独立判断，建立自己对这个世界或者所学习事物的理解，建构具有个体属性的知识结构和问题解决策略，形成自己的理解事物的思维模式和意义系统。教师的责任在于采取怎样的教学策略才能促进每个学生不同程度的发展。
1.详细的差异性诊断助力教师深度了解学生
教师需要深入测查与诊断学生，了解学生的认知准备状态、学习动机和学习态度。在教学中，教师为了提高教学的有效性，需要在课前、课中和课后对学生的差异进行诊断。课前的教育临床诊断，目的是为了诊断学生个体内和个体间差异，掌握学生在学习新知识时是否具备相应的认知准备，学生对所要学习的新知的情绪状态和学习动机。从而根据测查结果进行相应的补救措施，设计相适应的教学方案。课中的即时诊断，目的是为了发现教学目标、教学内容、教学环境是否与学生的真实学习状态相匹配，存在哪些问题，如何改进和调整教学计划。课后的测查，目的除了传统的测试学习效果以外，更关注的是如何根据学生的测查结果进行教学反思，为后续的教学提供借鉴和参考。
2.挑战性的学习目标和教学内容激发学生学习热情
脑科学研究表明，适度的挑战性目标能够激发学习者的学习热情，使他们达到最优的学习状态。对于学习者而言，如果教师设计的数学知识学习过于简单，学习者会在轻松悠然的状态下学习，数学思维受到抑制，没有得到发展，问题解决能力也没有得到提升。如果设计过于艰深的数学知识，学生经过艰苦的探索依然没有解决问题，学生的自信心就会受挫，学生会产生畏难情绪，裹步不前，不敢尝试。但是如果设计适度挑战性的问题，学生就会在适度紧张的精神状态下，高度激发脑细胞的活跃程度，积极地思考，全身心地投入，吸引他们走向探索未知世界的征途，在解决问题中愉悦身心，获得成就感，激发其进一步的思考。综上论述，可以看出过于艰深的学习内容和过于简单的学习内容都会使学习者丧失继续学习下去的欲望。因此，在教学中，要保持学习者持久的学习韧性，就要设计有挑战性的学习目标和学习内容。 学生由于学习基础不同，潜在的智能不同，因此对于教学内容深浅层次的理解也不同。教师在教学过程中，需要根据学生的学习基础和兴趣爱好适当地调整数学教学内容。范·希尔曾说：学习过程是由各层次构成的，用低层次的方法组织活动就成为高层次的分析对象，低层次的运算内容又成为高层次的题材[13]。所以教师在组织教学内容时，需要为班级内极个别学生准备适合他们认知水平的内容菜单。例如为学习优秀者准备略高于全班平均水平的学习内容，而对于数学基础较弱的学生，需要为他们准备低于全班平均水平的教学内容，同时在全班共同学习之外的时间里，为这些学生格外“加餐”，使他们尽快在短时间内达到全班的平均水平。另外，还需要根据学生的多元智能来设计不同类型的学习内容，例如在讲述立体图形的性质时，就需要为视觉学习风格的学生准备图片，为动觉学习者准备实物，为听觉学习者准备有声音的视频等。
3.灵活多样的教学组织形式和教学手段促进学生深度思考
学生的学习风格是有差异的。有的学生倾向于视觉学习，有的学生倾向于动觉学习，有的学生倾向于听觉学习，但是倾向于某种学习方式并没有绝对性，更多的时候，学习者倾向于综合的学习风格，因此，教师在呈现教学内容时以调动多种感官来学习是最适切的。“做中学”“听中学”以及抽象的思辨等都要有所涉及。
不同的学习风格导致学生参与学习的方式不同。倾向于“场依存型”学习者以他人为参照进行认知，更愿意与他人合作学习，注重在团队学习中共享信息，对他人的依赖性强，其行为属于社会定向型的。对于这样的学习者，需要为他们提供小组合作的机会，帮助他们完成学习。而“场独立型”的学习者更倾向于以自我内部为参照进行认知，行事有自己独到的见解，有自主精神，喜欢抽象的概念和理论，不善与人交往，其行为是非社会定向的。对于这样的学习者，教师需要为他们独辟静谧的学习环境，使他们能够沉浸在深入的思考世界，不受干扰。
4.多种评价方式助推教学向纵深发展
每个学生的学习基础不同，学习中的情感态度也千差万别，利用统一的评价标准对学生的深度发展有失公允。需要基于学生的差异，采取差异考试+多元评价的方式，向学生提供适合他们水平的试卷，对不同的学生提出不同的要求，通过相对评价、增值评价和课堂观察评价等多种方式对个体进行综合评价。在上述评价的基础上，深入研究和分析认知诊断理论、比格斯solo分类理论、辛普森的动作技能目标分类法和克拉斯沃尔的情感目标分类法等理论，研究各种理论的优势，如能够对分数背后所隐藏的内部心理加工过程、所采用的技能和策略等进行探测，能够对高阶思维活动进行评定等，从而实现对个体的认知、技能、情感和思维有更细致的诊断，从而有助于评价者（学生、教师、家长以及教育管理者等）对学生各方面素质的全面了解和掌握，进而采取有针对性的补救措施。
参考文献
[1][3] 李松林.深度教学的四个实践着力点-兼论推进课堂教学纵深改革的实质与方向[J].教育理论与实践，2014（31）：53-56.
[2] 雅斯贝尔斯.什么是教育[M].邹进，译.北京：生活·读书·新知三联书店，1991：30.
[4] 郭华.深度学习的及其意义[J].课程·教材·教法，2016（11）：25-32.
[5] 郭元祥.知识的性质、结构与深度教学[J].课程·教材·教法，2009（11）：17-23.
[6] 张奠宙.关于数学知识的教育形态[J].数学通报，2001（05）：2.
[7] 徐建星.“以方程为纲，以元为序”：初中代数知识结构的重建[J].数学通报，2015（01）：4-8.
[8] 张奠宙，王振辉.关于数学的学术形态和教育形态-谈“火热的思考”与“冰冷的美丽”[J].数学教育学报，2002（02）：1-4.
[9] 曹才翰，章建跃.数学教育心理学[M].北京：北京师范大学出版社，2006：58.
[10] 钟启泉.单元设计：撬动课堂转型的一个支点[J].教育发展研究.2015（24）：1-5.
[11] 張鹤.数学教学的逻辑-基于数学本质的分析[M].北京：首都师范大学出版社，2016：78.
[12] 燕学敏.问题意识：数学课堂有效教学的关键[J].数学通报，2010（03）：20-23.
[13] 弗赖登塔尔.作为教育任务的数学[M].陈昌平，唐瑞芬，译.上海：上海教育出版社，1999：114.
[作者：燕学敏（1975-），女，内蒙古赤峰人，中国教育科学研究院教师发展研究所，副研究员，博士。]
【责任编辑 郭振玲】
深度教学缘起于深度学习，立意于改革我国课堂教学中注重教学形式的千变万化而疏于对学科本质的深入理解。深入分析深度教学的重要意义后，提出数学学科中深度教学主要体现为深入数学本质的知识逻辑教学、触及学生心灵深处的思维逻辑教学和促进每个学生发展的差异教学。
关键词
深度教学 知识逻辑 思维逻辑 差异教学
深度教学缘起于深度学习研究，但立意于改革我国课堂教学的形式主义、工具主义和技术主义。深度教学中的“深度”与深度学习中的“深度”含义一致，由此引申，深度教学指的是触及教育教学本质和规律的教学[1]。雅斯贝尔斯指出“教育过程首先是一个精神成长的过程，然后才成为科学获知的一部分”[2]。反映在教学中，首先体现的是个体精神孕育的过程，在这个过程中，知识和技能是精神成长的媒介，只有引起学生情感上的共鸣、思维上的碰撞，才有可能真正走进学生的精神世界，生成智慧、获得新知、习得能力。如此，深度教学是指教师在准确把握学科本质和知识内核的基础上，旨在触动学生情感和思维的深处，引导学生自主发现和真正理解的一种教学样态[3]。深度教学强调的是教师对学科本质的深刻理解，深度融合教学内容与学生已有经验和情感体验，捕捉、微缩学科相关概念、定理和符号的发现或发明的关键环节，激活静态的知识，“视频化”学科发展的历史画面，设计深度参与的活动过程，使学生全身心地体验学科知识本身蕴含的丰富的、立体多维的教育意义。
深度教学虽意在教师理解学科知识的本质和情感因素，但是并非要求教师把学科内容挖得越深越好、越难越好，而是指教师要深入理解教学内容背后的文化意义，理解知识原初发明和发现时人们面临的问题、解决问题的思路，采用的思维方式、思考过程，理解知识发现者可能有的情感，判断评价知识的价值。透过符号去理解符号背后的内容与意义，甚至在“未书出”的无字无句之中去体会内容与意义[4];深入把握知识的内在结构体系（包含符号、逻辑形式、意义）;体现知识依存性，彰显知识与主体发展的意义关系，赋予教学丰富性、回归性、关联性和严密性的特质[5]。实践教学中，中小学教师本体性知识缺失现象严重，深度教学是促进教师本体性知识提升的重要着力点。数学学科中的深度教学是数学教学内容创生的知识逻辑教学，触动学生心灵深处的数学思维逻辑教学以及促进每个学生发展的差异教学。
一、创生数学教学内容的知识逻辑教学
任何概念的提出，都有其历史背景和文化基础。深度教学旨在突破当前中小学课堂教学普遍存在的外在形式表现有余、内在深入研究不足的现象。反映在数学教学中，则是教师对数学学科内容的表面理解、肤浅认知。
由于教学情境的独特性和动态性，教师对教学内容的挖掘贯穿于教学前、教学中和教学后。教与学行为发生之前，作为教育者的教师需要对素材和信息进行学习、理解。在这个过程中，教师长期的教育实践和教育研究积累对教师内化相关的数学知识有很大的促进作用。教师在教学前需要掌握的素材和信息包括代表国家意识形态和价值观的课程指导纲要或者类似作用的咨询报告、代表学校教学方向的学科课程标准、指引教学活动的数学指导书以及数学教材，也包括与教学相关的视听材料。对数学本质认识的主要做法有理清脉络、构建结构，沟通联系、整合单元，聚焦概念、深入解析三个方面。
1.理清脉络，构建结构
（1）秉持什么样的教学观。在课堂教学中让学生掌握结论性的知识内容和掌握知识发生发展的过程是两种不同的教学观。张奠宙先生曾经讲过这样一个事例：一位教师在讲授“一元一次方程”时，在“含有未知数的等式叫做方程”的黑体字上大做文章，反复举例，咬文嚼字地学习，琅琅上口地背诵[6]。典型的照本宣科讲授静态的知识内容，这样的数学学习经历如何培养学生的数学思维和提高数学兴趣？相反的，优秀的教师都会把数学知识的来龙去脉讲授得清清楚楚，为学生呈现知识的发生过程。
（2）厘清数学知识体系。教材是学生学习相关数学知识的重要载体，这些数学知识是按照一定的逻辑关系和学生的身心发展特点分布在不同年级和不同章节。教师需要通过概念的分析，按照一定的逻辑将相关数学知识内在的联结串联，建立知识网络图谱。例如一元一次方程，如果按照“以元为纲”的逻辑联结，则一元一次方程所在知识图谱如图1所示[7]。
图1 一元一次方程知识图谱
如果教师把所教年段的数学知识用某些逻辑线索将其串联起来，把知识点之间的内在关联揭示出来，就可以非常清晰地理解各个知识点在整个小学阶段或者中学阶段的位置，掌握他们之间的内在逻辑性，理顺上下、前后的结构关系。进而了解它在整个学段的数学教学中的重要程度，在清晰的结构中寻找本质的、理性的信息，从而深入理解数学知识内在的本质[8]。
（3）深刻领悟数学思想方法。数学思想相对于数学方法而言更具有统摄的作用，数学思想是数学的灵魂，而数学方法是数学思想的外显和具体化。数学思想作为数学知识的统帅，处于学习中的上位关系，其概括和包容的范围会更广，可以把一系列的下位知識囊括其中。数学方法是在提出问题、分析问题和解决问题过程所运用的具体策略与技巧，是数学思想的具体反映。例如一元一次方程，其所蕴含的思想主要有建模思想和化归思想，一元一次方程可以通过二元一次方程化归而成，而二元一次方程可以通过三元一次方程化归而得到。因此，教师协助学生掌握一定的数学思想和方法对于学生的学习迁移非常有利，一般地，如果学生头脑中的上位观念牢固而清晰，其迁移能力强的话，就可以把新知识的下位学习作为一种练习来完成[9]。
2.沟通联系，整合单元
在将数学知识结构化后，需要搭建结构阶梯。如果把数学知识结构框架比喻为数学的骨架，那么结构阶梯就是内容丰富的血和肉。数学知识结构能够让教师清晰地理顺概念与概念、概念与定理、概念与法则等之间的逻辑关系，结构阶梯则在于沟通前后知识之间的顺序、左右知识之间的平行关系和上下知识之间的递进关系。 在数学教学中，单元是构成教学内容的重要部分，每个单元基本上都是同一主题的教学内容。但是深度教学中的“单元”则完全不等同于教科书中的自然单元，深度教学中的“单元”是以挑战性学习主题为中心，围绕主题开展一系列的教学活动，整合相关的数学教学内容，这些数学内容有可能在教科书中的同一单元内，也有可能是多个自然单元的综合体或者是多个自然课时的整合。这里的“单元”主要是建构主义意义下的“单元”概念，是基于“学科核心素养”整合不同的“教学方略”。不管哪一种教学方略，“学科核心素养”都是共同的追求与最大的优先事项[10]。
3.聚焦概念，深入解析
数学概念是构成数学学科的基本单元，也是反映数量关系和空间形式本质属性和特征的思维形式。数学概念的产生具有不同的途径，有的数学概念是从现实生活存在的模型中抽象概括得出，有的概念是在已有概念的基础上进一步抽象概括而形成，有的概念是人们将客观事物的属性理想化、纯粹化得到，还有的概念是根据现实生产生活的需要而产生的。整体分析和理解每一个概念，既要深入分析概念产生的根源，又要分析这一概念所反映的数学本质特征和数学思想，了解学生学习这一概念的特征与困惑，清晰核心概念在相关数学结构框架中的重要位置和对学生学习的重要意义。
在教学中，理解概念时需要教师清楚概念产生的途径，如果概念是从现实模型中抽象出来的，比如正方体、长方体以及圆等的教学，就需要准备感性的材料作为概念引入的手段。如果概念来源于现实问题的解决，比如负数、无理数等的教学理解时就需要清楚概念产生的历史背景资料或者提出现实问题。
对概念的解析还需要深入理解概念的本质和关注概念间的联系，概念的本质与概念之间的联系反映了相关的数学思想，是教师切实需要掌握的数学的核心。
二、触动学生心灵的数学思维逻辑教学
深度教学实施的前提是深入理解数学内容，并通过设计具有挑战性主题的建构性活动来开展。我们常说数学是思维的体操，教学中如果離开思维，就谈不上真正的数学学习。换言之，没有思维，就没有数学学习。数学教学的实质就是数学思维活动，学习者在教师指导下，围绕一个学习主题，开展数学活动，培养思维的逻辑性。但是，单纯的数学知识并不能达成这样的教学目标，思维逻辑的培养需要教师在深入理解数学知识本质的基础上设计有意义的数学教学活动，即把数学知识的学术形态转化为教育形态。
1.数学概念是培养数学思维逻辑的重要载体
数学概念是数学思维方法的重要载体，思维逻辑来源于教师和学生对数学基本概念的深刻理解，思维逻辑的建立依赖于学生在教师的指导下遵循基本概念所承载的思维特征所进行的思维活动。这种思维活动实际上是一种内化的过程，是通过课堂教学活动将符号化、概念化的数学知识借助思维活动转化为思维逻辑[11]。
2.数学思想方法是培养思维逻辑的教学主线
数学思维是数学思想操练的重要抓手，它的作用就像木偶戏中的提线，知识代表木偶，而表演者通过提线来操练木偶的过程就是数学思维形成的过程。数学思想的点滴渗透关乎学生逻辑的形成，是学生用数学思维思考数学问题，用数学方法解决数学问题必须具备的思维基础。各个单元知识所形成的数学思想也为如何在知识的教学中确立思维逻辑提供路径和发展的主线。
3.问题情境是培养思维逻辑的实践路径
数学教学的目标是为了培养学生的“核心素养”，但是“素养”不是教出来的，而是在不同的问题情境中通过提出问题、分析问题、解决问题的实践过程形成的。也就是说，唯有融入到真正的学习环境中，数学知识内容及其所承载的思想方法、思维逻辑乃至寻求数学领域的本质（真、善、美）态度，才能一体化的培育起来。
因此，教师在设计具有挑战性的、学生全身心投入的问题时，需要有坚实的数学专业知识作为基础，有建构主义理论、最近发展区理论以及学习科学等理论做支撑，有充分了解学生已有知识与新学知识之间的“剪刀差”做底气，与学生一起设置高于学生目前认知能力的问题情境，引起学生的兴趣，制造学生的认知冲突，使之处于一种“心理失衡”的状态，从而促使学生为了达到新的“知识结构平衡”，不得不去寻找新的理论和知识点，以弥补这种不稳定的状态[12]。
三、促进学生发展的数学差异教学
深度教学指向的是建构式的学习、理解性的学习。换言之，学习者需要借助原有的经验，通过自己的独立判断，建立自己对这个世界或者所学习事物的理解，建构具有个体属性的知识结构和问题解决策略，形成自己的理解事物的思维模式和意义系统。教师的责任在于采取怎样的教学策略才能促进每个学生不同程度的发展。
1.详细的差异性诊断助力教师深度了解学生
教师需要深入测查与诊断学生，了解学生的认知准备状态、学习动机和学习态度。在教学中，教师为了提高教学的有效性，需要在课前、课中和课后对学生的差异进行诊断。课前的教育临床诊断，目的是为了诊断学生个体内和个体间差异，掌握学生在学习新知识时是否具备相应的认知准备，学生对所要学习的新知的情绪状态和学习动机。从而根据测查结果进行相应的补救措施，设计相适应的教学方案。课中的即时诊断，目的是为了发现教学目标、教学内容、教学环境是否与学生的真实学习状态相匹配，存在哪些问题，如何改进和调整教学计划。课后的测查，目的除了传统的测试学习效果以外，更关注的是如何根据学生的测查结果进行教学反思，为后续的教学提供借鉴和参考。
2.挑战性的学习目标和教学内容激发学生学习热情
脑科学研究表明，适度的挑战性目标能够激发学习者的学习热情，使他们达到最优的学习状态。对于学习者而言，如果教师设计的数学知识学习过于简单，学习者会在轻松悠然的状态下学习，数学思维受到抑制，没有得到发展，问题解决能力也没有得到提升。如果设计过于艰深的数学知识，学生经过艰苦的探索依然没有解决问题，学生的自信心就会受挫，学生会产生畏难情绪，裹步不前，不敢尝试。但是如果设计适度挑战性的问题，学生就会在适度紧张的精神状态下，高度激发脑细胞的活跃程度，积极地思考，全身心地投入，吸引他们走向探索未知世界的征途，在解决问题中愉悦身心，获得成就感，激发其进一步的思考。综上论述，可以看出过于艰深的学习内容和过于简单的学习内容都会使学习者丧失继续学习下去的欲望。因此，在教学中，要保持学习者持久的学习韧性，就要设计有挑战性的学习目标和学习内容。 学生由于学习基础不同，潜在的智能不同，因此对于教学内容深浅层次的理解也不同。教师在教学过程中，需要根据学生的学习基础和兴趣爱好适当地调整数学教学内容。范·希尔曾说：学习过程是由各层次构成的，用低层次的方法组织活动就成为高层次的分析对象，低层次的运算内容又成为高层次的题材[13]。所以教师在组织教学内容时，需要为班级内极个别学生准备适合他们认知水平的内容菜单。例如为学习优秀者准备略高于全班平均水平的学习内容，而对于数学基础较弱的学生，需要为他们准备低于全班平均水平的教学内容，同时在全班共同学习之外的时间里，为这些学生格外“加餐”，使他们尽快在短时间内达到全班的平均水平。另外，还需要根据学生的多元智能来设计不同类型的学习内容，例如在讲述立体图形的性质时，就需要为视觉学习风格的学生准备图片，为动觉学习者准备实物，为听觉学习者准备有声音的视频等。
3.灵活多样的教学组织形式和教学手段促进学生深度思考
学生的学习风格是有差异的。有的学生倾向于视觉学习，有的学生倾向于动觉学习，有的学生倾向于听觉学习，但是倾向于某种学习方式并没有绝对性，更多的时候，学习者倾向于综合的学习风格，因此，教师在呈现教学内容时以调动多种感官来学习是最适切的。“做中学”“听中学”以及抽象的思辨等都要有所涉及。
不同的学习风格导致学生参与学习的方式不同。倾向于“场依存型”学习者以他人为参照进行认知，更愿意与他人合作学习，注重在团队学习中共享信息，对他人的依赖性强，其行为属于社会定向型的。对于这样的学习者，需要为他们提供小组合作的机会，帮助他们完成学习。而“场独立型”的学习者更倾向于以自我内部为参照进行认知，行事有自己独到的见解，有自主精神，喜欢抽象的概念和理论，不善与人交往，其行为是非社会定向的。对于这样的学习者，教师需要为他们独辟静谧的学习环境，使他们能够沉浸在深入的思考世界，不受干扰。
4.多种评价方式助推教学向纵深发展
每个学生的学习基础不同，学习中的情感态度也千差万别，利用统一的评价标准对学生的深度发展有失公允。需要基于学生的差异，采取差异考试+多元评价的方式，向学生提供适合他们水平的试卷，对不同的学生提出不同的要求，通过相对评价、增值评价和课堂观察评价等多种方式对个体进行综合评价。在上述评价的基础上，深入研究和分析认知诊断理论、比格斯solo分类理论、辛普森的动作技能目标分类法和克拉斯沃尔的情感目标分类法等理论，研究各种理论的优势，如能够对分数背后所隐藏的内部心理加工过程、所采用的技能和策略等进行探测，能够对高阶思维活动进行评定等，从而实现对个体的认知、技能、情感和思维有更细致的诊断，从而有助于评价者（学生、教师、家长以及教育管理者等）对学生各方面素质的全面了解和掌握，进而采取有针对性的补救措施。
参考文献
[1][3] 李松林.深度教学的四个实践着力点-兼论推进课堂教学纵深改革的实质与方向[J].教育理论与实践，2014（31）：53-56.
[2] 雅斯贝尔斯.什么是教育[M].邹进，译.北京：生活·读书·新知三联书店，1991：30.
[4] 郭华.深度学习的及其意义[J].课程·教材·教法，2016（11）：25-32.
[5] 郭元祥.知识的性质、结构与深度教学[J].课程·教材·教法，2009（11）：17-23.
[6] 张奠宙.关于数学知识的教育形态[J].数学通报，2001（05）：2.
[7] 徐建星.“以方程为纲，以元为序”：初中代数知识结构的重建[J].数学通报，2015（01）：4-8.
[8] 张奠宙，王振辉.关于数学的学术形态和教育形态-谈“火热的思考”与“冰冷的美丽”[J].数学教育学报，2002（02）：1-4.
[9] 曹才翰，章建跃.数学教育心理学[M].北京：北京师范大学出版社，2006：58.
[10] 钟启泉.单元设计：撬动课堂转型的一个支点[J].教育发展研究.2015（24）：1-5.
[11] 張鹤.数学教学的逻辑-基于数学本质的分析[M].北京：首都师范大学出版社，2016：78.
[12] 燕学敏.问题意识：数学课堂有效教学的关键[J].数学通报，2010（03）：20-23.
[13] 弗赖登塔尔.作为教育任务的数学[M].陈昌平，唐瑞芬，译.上海：上海教育出版社，1999：114.
[作者：燕学敏（1975-），女，内蒙古赤峰人，中国教育科学研究院教师发展研究所，副研究员，博士。]
【责任编辑 郭振玲】