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[摘 要] 高效的解题教学孕育着高效的复习成效，提升学生的解题能力才能使复习的效率最大化. 研究者通过多个典型例题的剖析来谈优化解题教学，提升复习有效性的根本方法.
[关键词] 解题教学;教材;复习
波利亚曾说：“掌握数学就要善于解题.”数学教学中“问题”和“解”占据着主要地位，从本质上来说，解题才是数学的心脏，善于解题才是真正学好了数学. 而善于解题并不在于解题数量的多少，而在于解题质量的高低. 高三数学复习中，解题教学是一个重要组成部分，可以这样说，高效的解题教学孕育着高效的复习成效，提升学生的解题能力才能使高三复习的效率最大化. 那么如何优化解题教学，提升复习有效性呢？本人在多年的教学实践中，着意对此方面进行研究和反思，并收到了良好的效果. 下面从以下三个方面谈谈自身的一些做法.
[?] 挖掘教材资源，重视思维的发散
“源于教材且高于教材”是历年来高考试题设计的方向，事实上，高考命题往往“万变不离其宗”，命题者在高考命题时也总是遵循依纲扣本的原则. 由于此处的“宗”与“本”自然指向教材，这就要求高三数学解题教学需要回归教材，关注到双基的落实，以发散学生的思维. 当然，这里“回归教材”并非简单地归纳和梳理教材知识，而是要求教师充分挖掘教材资源进行延伸和拓展，引领质的飞跃，让学生对高考试题内容和层次有一个深刻的认识，孕育发散性思维[1].
例1：已知双曲线过点（4，），渐近线方程为y=±x，则該双曲线的标准方程是________.
分析：本题是一道高考试题，其原型是一道教材习题：已知双曲线过点（-5，3），且其离心率e=，试求出该双曲线的标准方程. 由于例1的解法众多，教师在引导学生运用多种手段挖掘知识点的策略后，明晰题目的结构与方法，有效突破思维障碍，形成以下多种多样的解题方法.
解法1：以焦点位置设求方程
首先，作图易判断得出点（4，）位于第一象限，并落于渐近线y=x的下侧，基于此，即可得出双曲线焦点在x轴上;接着，设双曲线的标准方程是-=1，可得其对应的渐近线方程是y=±x，从已知条件出发则有=;然后，将点（4，）的坐标代入得出-=1;最后，解以上两个含有a和b的方程组，得出a=2，b=1，最终得出双曲线的标准方程为-y2=1.
解法2：以渐近线方程设求方程
从渐近线方程y=±x入手，即可设双曲线方程为y2-=k，代入坐标（4，），可得k=-1，得出所求方程为-y2=1.
解法3：直接设求方程
设待求方程为-=1或-=1，代入坐标（4，），并结合渐近线方程易求出a和b，并检验后舍去其一，最后得出双曲线的标准方程为-y2=1.
评析：例1中考查的知识根植于教材，同时在解题策略的选择上也是多样的. 纵观上述解题方法，可以看出并非每个解法都是最优解法，在师生的共同探讨下一致认为解法2的解法彰显了双曲线的本质特征，是三种解法中的最优解法. 这里的解题教学给了我们以下启示：教材具有较强的示范性，它是揭示解题思路和方法的载体，只有利用好教材的教学功能，才能为解题奠定良好的基础. 此处笔者更想阐述的是高三复习中大部分试题都是“类题”，在解题教学中，教师应有意识地引导学生以模块化的思维去总结、归纳和提炼得出“类题”的解题流程，形成解题的基本活动经验.
[?] 变式教材例题、习题，关注知识的拓展
高三复习时，知识密度大且题型多，若时常以题海战术进行教学，在这样的单一形式下，学生极易感到枯燥、乏味，从而丧失学习积极性. 教材中的例题、习题相对固定，倘若利用其潜在的价值进行变式训练，则可以减轻学生的课业负担，实现做“透”习题，而并非做“遍”习题，使学生乐思、乐学、乐研，实现真正意义上的高质量复习.
1. 从特殊到一般
例2：已知等差数列{a}的首项为a，其公差是d;等差数列{b}的首项为b，其公差是e. 若c=a+b（n≥1），且c=4，c=8，试求出数列{c}的通项公式.
分析：本题同样是教材中的一道习题，本题的价值在于等差数列通项公式的熟练掌握. 学生在解题中能体会到编者的意图，并探求得出c=4n. 教学中，教师还可追问学生能否得出什么结论？这种意识下，让学生亲自经历“解题—概括—内化”的过程，从而发现结论：一个等差数列与另一等差数列的和数列是等差数列，即等差数列{a}和{b}的和数列{a+b}同样是等差数列.
变题：已知数列{a}为等差数列，若a+1，a+3，a+5构成公比是q的等比数列，则q的值为________.
分析：对于变题，常规解法是设公差d，将条件化归为公差为d的方程，求得公差d，最后求出公比q. 此变题最显著的特征就是需要猜想，{a}是等差数列，1，3，5也是等差数列，则根据例2所得结论，可得a+1，a+3，a+5不仅是公比为q的等比数列，也是等差数列，即是常数列，经过猜想后，可得q=1. 而这里的猜想真正的源头在于以上的归纳和提炼，由此得出这样的简洁解法，从而以最快的方式触及问题的本质.
2. 一题多变
例3：若x≠0，则ex>1+x.
分析：本题选自教材，编者安排本题的目的是引导学生构造函数f（x）=ex-x-1（x≠0），再通过导数判断函数单调性，进而证明f（x）>f（0），最终得出答案，一旦解题中想清楚以上思路，问题即可迎刃而解. 本题的探究价值丰富，需要教师在更深层次的应用下才能充分发挥其应有的价值. 于是有了如下变式训练.
变题：设函数f（x）=x（ex-x）-ax2.
（1）若a=，试求出f（x）的单调区间;
（2）当x≥0，f（x）≥0时，求a的取值范围. 由以上变题探究，易得出以下结论.
结论1：若x∈R，则ex≥1+x，当且仅当x=0时等号成立;
结论2：若x>-1，则ln（x+1）≤x，當且仅当x=0时等号成立.
评析：充分发挥教材例题、习题的魅力，让学生所学知识和方法“源于课本，审视课本”，从而培养学生思维的变通性，提升高三数学复习的有效性[2].
[?] 确立解题视角，优化解题方法
在一轮复习中，学生已经认识和掌握了多种解题策略和数学规律，而二轮复习中我们同样可以看到不少学生乱用解题方法，甚至是找不到解决问题的方向. 所以，在二轮复习的解题教学中，我们需要适时引导、及时梳理、有效整合，带领学生总结、归纳和提炼典型问题的解题思路，以帮助学生确立正确的解题视角，参悟数学解题的“门道”. 就这样，长久的训练下就会让学生学会主动归纳和提炼，让优化解题方法成为学生的本能，这样考试中就能真正做到心中有数，快速选择最优解题方法.
例4：如图1，已知过村庄A有AB和AC两条公路，且其夹角为60°，规划要求这两条公路间的区域中建立一个工厂P，在公路AB边建仓库M，公路AC边建仓库N（两个仓库均异于村庄A），并要求PM=PN=MN=2千米. 那么该如何设计，才能使得工厂的噪音对村庄的影响最小呢？
解题视角：①三角函数法;②基本不等式法;③坐标法;④平面几何法（详解略）.
评析：以上视角各有优劣：三角函数法是一种很好的通性通法，通过正弦、余弦定理探寻边角关系，这里的解题关键在于设角建立已知与未知关系间的桥梁，从而找寻到简单科学的思考角度，完成解题;基本不等式法也是高中数学中的一种重要方法，就是借助三角关系建立二元等式，并利用基本不等式探求最值，本题中关键点是如何得出二元关系;坐标法可以计算化思维，从而有效降低思维难度，而在本题的解决中效果并不明显，因此，如何运用，何时运用坐标法是需要深入思考和总结的问题;平面几何法可以强化图形观念，通过读、思、辩来接近问题本质，从而提升能力，然这一方法的获取有赖于直觉思维，很多学生在解题时不易想到，由此可见，“恰当”的直觉思维是使用良好解题方法的关键所在.
总之，在高三备考复习的解题教学应遵循解决问题的根本大法，也就是精心选择典型问题，善于把握解题过程，不放过任何一个“有价值”的机会，引导学生在积极尝试、深入探究和反复琢磨中积累更多、更有效的经验，获得更多优化的解题路径，这才是数学教与学的本质特征[3]. 在这样有效的思维训练中，打开学生的思维，实现数学能力的生长，提升复习效能，最终提高学生的高考成绩.
参考文献：
[1] 高建国，唐玉琴. 新课程理念下高三数学复习中的几点做法[J]. 中学数学杂志，2009（9）.
[2] 孙莹. 让数学课堂在“变式”中生成精彩——从习题的“变身”浅谈变式教学[J]. 数学教学研究，2015（8）.
[3] 赵玉辉. 高三数学概念复习的有效性策略浅析[J]. 数学学习与研究，2015（17）.
[关键词] 解题教学;教材;复习
波利亚曾说：“掌握数学就要善于解题.”数学教学中“问题”和“解”占据着主要地位，从本质上来说，解题才是数学的心脏，善于解题才是真正学好了数学. 而善于解题并不在于解题数量的多少，而在于解题质量的高低. 高三数学复习中，解题教学是一个重要组成部分，可以这样说，高效的解题教学孕育着高效的复习成效，提升学生的解题能力才能使高三复习的效率最大化. 那么如何优化解题教学，提升复习有效性呢？本人在多年的教学实践中，着意对此方面进行研究和反思，并收到了良好的效果. 下面从以下三个方面谈谈自身的一些做法.
[?] 挖掘教材资源，重视思维的发散
“源于教材且高于教材”是历年来高考试题设计的方向，事实上，高考命题往往“万变不离其宗”，命题者在高考命题时也总是遵循依纲扣本的原则. 由于此处的“宗”与“本”自然指向教材，这就要求高三数学解题教学需要回归教材，关注到双基的落实，以发散学生的思维. 当然，这里“回归教材”并非简单地归纳和梳理教材知识，而是要求教师充分挖掘教材资源进行延伸和拓展，引领质的飞跃，让学生对高考试题内容和层次有一个深刻的认识，孕育发散性思维[1].
例1：已知双曲线过点（4，），渐近线方程为y=±x，则該双曲线的标准方程是________.
分析：本题是一道高考试题，其原型是一道教材习题：已知双曲线过点（-5，3），且其离心率e=，试求出该双曲线的标准方程. 由于例1的解法众多，教师在引导学生运用多种手段挖掘知识点的策略后，明晰题目的结构与方法，有效突破思维障碍，形成以下多种多样的解题方法.
解法1：以焦点位置设求方程
首先，作图易判断得出点（4，）位于第一象限，并落于渐近线y=x的下侧，基于此，即可得出双曲线焦点在x轴上;接着，设双曲线的标准方程是-=1，可得其对应的渐近线方程是y=±x，从已知条件出发则有=;然后，将点（4，）的坐标代入得出-=1;最后，解以上两个含有a和b的方程组，得出a=2，b=1，最终得出双曲线的标准方程为-y2=1.
解法2：以渐近线方程设求方程
从渐近线方程y=±x入手，即可设双曲线方程为y2-=k，代入坐标（4，），可得k=-1，得出所求方程为-y2=1.
解法3：直接设求方程
设待求方程为-=1或-=1，代入坐标（4，），并结合渐近线方程易求出a和b，并检验后舍去其一，最后得出双曲线的标准方程为-y2=1.
评析：例1中考查的知识根植于教材，同时在解题策略的选择上也是多样的. 纵观上述解题方法，可以看出并非每个解法都是最优解法，在师生的共同探讨下一致认为解法2的解法彰显了双曲线的本质特征，是三种解法中的最优解法. 这里的解题教学给了我们以下启示：教材具有较强的示范性，它是揭示解题思路和方法的载体，只有利用好教材的教学功能，才能为解题奠定良好的基础. 此处笔者更想阐述的是高三复习中大部分试题都是“类题”，在解题教学中，教师应有意识地引导学生以模块化的思维去总结、归纳和提炼得出“类题”的解题流程，形成解题的基本活动经验.
[?] 变式教材例题、习题，关注知识的拓展
高三复习时，知识密度大且题型多，若时常以题海战术进行教学，在这样的单一形式下，学生极易感到枯燥、乏味，从而丧失学习积极性. 教材中的例题、习题相对固定，倘若利用其潜在的价值进行变式训练，则可以减轻学生的课业负担，实现做“透”习题，而并非做“遍”习题，使学生乐思、乐学、乐研，实现真正意义上的高质量复习.
1. 从特殊到一般
例2：已知等差数列{a}的首项为a，其公差是d;等差数列{b}的首项为b，其公差是e. 若c=a+b（n≥1），且c=4，c=8，试求出数列{c}的通项公式.
分析：本题同样是教材中的一道习题，本题的价值在于等差数列通项公式的熟练掌握. 学生在解题中能体会到编者的意图，并探求得出c=4n. 教学中，教师还可追问学生能否得出什么结论？这种意识下，让学生亲自经历“解题—概括—内化”的过程，从而发现结论：一个等差数列与另一等差数列的和数列是等差数列，即等差数列{a}和{b}的和数列{a+b}同样是等差数列.
变题：已知数列{a}为等差数列，若a+1，a+3，a+5构成公比是q的等比数列，则q的值为________.
分析：对于变题，常规解法是设公差d，将条件化归为公差为d的方程，求得公差d，最后求出公比q. 此变题最显著的特征就是需要猜想，{a}是等差数列，1，3，5也是等差数列，则根据例2所得结论，可得a+1，a+3，a+5不仅是公比为q的等比数列，也是等差数列，即是常数列，经过猜想后，可得q=1. 而这里的猜想真正的源头在于以上的归纳和提炼，由此得出这样的简洁解法，从而以最快的方式触及问题的本质.
2. 一题多变
例3：若x≠0，则ex>1+x.
分析：本题选自教材，编者安排本题的目的是引导学生构造函数f（x）=ex-x-1（x≠0），再通过导数判断函数单调性，进而证明f（x）>f（0），最终得出答案，一旦解题中想清楚以上思路，问题即可迎刃而解. 本题的探究价值丰富，需要教师在更深层次的应用下才能充分发挥其应有的价值. 于是有了如下变式训练.
变题：设函数f（x）=x（ex-x）-ax2.
（1）若a=，试求出f（x）的单调区间;
（2）当x≥0，f（x）≥0时，求a的取值范围. 由以上变题探究，易得出以下结论.
结论1：若x∈R，则ex≥1+x，当且仅当x=0时等号成立;
结论2：若x>-1，则ln（x+1）≤x，當且仅当x=0时等号成立.
评析：充分发挥教材例题、习题的魅力，让学生所学知识和方法“源于课本，审视课本”，从而培养学生思维的变通性，提升高三数学复习的有效性[2].
[?] 确立解题视角，优化解题方法
在一轮复习中，学生已经认识和掌握了多种解题策略和数学规律，而二轮复习中我们同样可以看到不少学生乱用解题方法，甚至是找不到解决问题的方向. 所以，在二轮复习的解题教学中，我们需要适时引导、及时梳理、有效整合，带领学生总结、归纳和提炼典型问题的解题思路，以帮助学生确立正确的解题视角，参悟数学解题的“门道”. 就这样，长久的训练下就会让学生学会主动归纳和提炼，让优化解题方法成为学生的本能，这样考试中就能真正做到心中有数，快速选择最优解题方法.
例4：如图1，已知过村庄A有AB和AC两条公路，且其夹角为60°，规划要求这两条公路间的区域中建立一个工厂P，在公路AB边建仓库M，公路AC边建仓库N（两个仓库均异于村庄A），并要求PM=PN=MN=2千米. 那么该如何设计，才能使得工厂的噪音对村庄的影响最小呢？
解题视角：①三角函数法;②基本不等式法;③坐标法;④平面几何法（详解略）.
评析：以上视角各有优劣：三角函数法是一种很好的通性通法，通过正弦、余弦定理探寻边角关系，这里的解题关键在于设角建立已知与未知关系间的桥梁，从而找寻到简单科学的思考角度，完成解题;基本不等式法也是高中数学中的一种重要方法，就是借助三角关系建立二元等式，并利用基本不等式探求最值，本题中关键点是如何得出二元关系;坐标法可以计算化思维，从而有效降低思维难度，而在本题的解决中效果并不明显，因此，如何运用，何时运用坐标法是需要深入思考和总结的问题;平面几何法可以强化图形观念，通过读、思、辩来接近问题本质，从而提升能力，然这一方法的获取有赖于直觉思维，很多学生在解题时不易想到，由此可见，“恰当”的直觉思维是使用良好解题方法的关键所在.
总之，在高三备考复习的解题教学应遵循解决问题的根本大法，也就是精心选择典型问题，善于把握解题过程，不放过任何一个“有价值”的机会，引导学生在积极尝试、深入探究和反复琢磨中积累更多、更有效的经验，获得更多优化的解题路径，这才是数学教与学的本质特征[3]. 在这样有效的思维训练中，打开学生的思维，实现数学能力的生长，提升复习效能，最终提高学生的高考成绩.
参考文献：
[1] 高建国，唐玉琴. 新课程理念下高三数学复习中的几点做法[J]. 中学数学杂志，2009（9）.
[2] 孙莹. 让数学课堂在“变式”中生成精彩——从习题的“变身”浅谈变式教学[J]. 数学教学研究，2015（8）.
[3] 赵玉辉. 高三数学概念复习的有效性策略浅析[J]. 数学学习与研究，2015（17）.