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摘要: 本文以组成数学知识的三个知识系统之间的关系为思想基础,遵循人们的思维规律,提出了研究性数学学习模式是科学的学习模式,给出了数学研究性学习的四个步骤。
关键词: 数学思想方法学习过程研究性学习
数学知识是科学知识的重要组成部分,在各个科学领域中具有极其广泛的应用。数学思想方法是学习、发展数学的必要知识。在数学学习过程中,只有在数学思想方法指导下的研究性学习模式,才能使学习者既获得数学理论性知识,又获得分析问题、解决问题的科学思想能力。
一、数学知识系统及关系
数学知识系统可以看作是由以下三个系统组成:数学理论系统、数学实践系统、数学思想方法系统。数学实践系统是指所研究的主要数学对象和数学问题的具体实例的全部,是产生数学理论和数学思想方法的基础。数学理论系统是数学实践系统一般规律的反映,即理论来源于实践。又由于数学研究对象的广泛性、深刻性、科学性,只有建立数学理论并运用数学理论才能更全面、更深刻、更有效地解决实践问题,即理论用于实践。数学思想方法系统是对数学对象本质上的认识,是对具体的数学概念、命题、规律、方法等的认识过程中提炼概括的基本观点和方法。
综上所述,要想真正学好数学知识,就要全面学习三个知识系统。我们既要学习理论与实践,又要学习运用数学的思想方法,从而使学习更深刻、更全面、更有效、更具有研究能力和创新精神。
二、数学研究性学习过程的具体步骤
数学研究性学习过程和研究其它知识一样,是遵循人们认识世界的一般规律的,即从宏观到微观、从感性到理性、从定性到定量、从直观到抽象、从实践到认识的循环往复的认识过程。下面介绍具体数学研究性学习步骤。
(一)数学问题的展现
研究任何问题首先要对问题充分展现,为下面的工作奠定基础。数学是研究数与形的科学,故对主要研究对象和研究问题主要是以几何形式和代数形式展现。所谓主要研究对象是指需要研究的事物,而主要研究问题是指主要研究对象的某方面数学属性、关系或规律。如研究函数极限,其主要研究对象是函数,主要研究问题是极限规律的有关理论。在数学问题中,相同的主要研究对象有不同的主要研究问题。如同以函数为主要研究对象,就可以有函数概念、函数极限、函数连续、函数导数、函数微分、函数积分等不同的主要研究问题。数学问题的几何展现具有形象、直观、定性理解性强的特点。而数学问题的代数展现具有科学、准确、抽象、逻辑性强的特点。两种展现形式共同运用、优势互补、相辅相成,才能更好地对所研究的问题进行完善充分的展现。要特别注意的是在整个数学研究的四个具体步骤中,一定要对实践系统、理论系统、思想方法系统进行全面展现,否则就会形成研究背景不充分,使研究性学习过程受阻而不能顺利进行。如研究函数极限问题,既要有一般形式的函数及图像形式,又必须有具体函数即实践系统的全面展示,要展示基本初等函数及由基本初等函数经过有限次四则运算和复合步骤形成的初等函数,并要展现非初等函数。这样才能有助于在研究极限时进行各种情况的分析。并且,正是函数这个实践体系的结构关系才产生了极限四则运算、反函数和复合函数极限运算法则等理论。
(二)数学问题的分析
我们应对主要数学研究对象和主要数学问题进行深入、细致的分析,研究其属性、关系、规律,并在此基础上发现、提出数学猜想。这个工作是区别于以逻辑路线为主的“填鸭式”教学的重要学习环节,也是培养创新能力的关键环节。数学理论就是揭示事物属性、关系、规律的。在此环节的工作中我们要注意结合三个系统,即以数学思想方法为指导,注意理论从实践中来到实践中去的认识规律。如极限四则运算法则的学习,对于两个函数和、差、积、商的极限问题无论从几何上还是代数上都是极易理解的,也很容易提出极限四则运算的猜想。但对于不同问题数学研究有其多样性特点。如函数导数的四则运算法则,两个函数和、差求导法则就极易理解,而由于两个函数积、商的一般几何图形反映不能很精确,故积、商的求导法则直观、定性理解就要弱化,这是由于数学问题不同产生的正常现象。但我们仍能提出猜想:两个函数积、商的导数和这两个函数的导数是否存在关系?我们依此继续展开研究,用导数定义进行具体试验性运算,对此问题就会圆满解决。
(三)理论化工作
对于上一步分析所得到的直观性和定性的数学猜想,我们只有进行严格的数学论证或数学计算才能形成数学理论。运用数学理论对数学猜想进行科学论证或计算的思想方法是数学思想方法的极为重要部分。但既然是数学思想方法就有其广泛的共性,只要在学习过程中注意对思想方法的分析、总结,就会不断提高运用理论分析解决数学问题的能力。如罗尔、拉格郎日、柯西三个中值定理的证明,其思想方法本质只是一个。问题不同,论证思想方法本质相同或相近现象在数学知识系统中是极其广泛的,可以说无处不在。又如前面提到的函数极限的求导法则,当猜想提出后如何证明呢?这就要联想相关的极限问题理论及论证的思想方法,获得各种论证的可能方案,经过实践,使问题得以论证。值得珍惜的不仅是成功的方案,不成功的方案依然是珍贵的,正确的思路很可能在其它问题上是成功的方案,不完全正确的思路,有助于我们思想方法的积累和分析解决问题的能力的提高。
(四)反思阶段
一些教师在数学问题得到解决之后,往往就结束了对该问题的研究。其实这样有很大的不足。正如前面所述,数学学习既要学习理论和实践知识,又要学习数学思想方法,以利于学生丰富数学思想方法知识,提高分析问题和解决问题的能力。我们经过前三步虽然使问题得到了解决,但由于对新问题解决的思维过程是十分复杂的发散思维过程,对各种可能的解决思路要进行多种试验论证工作,在问题的研究过程中既有理性思维,又有许多感性的、直觉的、经验性的思维,因此问题虽然解决了,但整个思路处于比较混乱状态。所以只有经过对整个研究过程的思维过程进行反思,使思想方法得以化感性为理性、化混乱为清晰简明,才能使思想方法体系得到丰富和提高。只有不断总结、丰富新的思想方法,才能具有持续的掌握新的、更高级的、更复杂知识的能力。所以在学习过程中,对反思阶段我们必须给予高度重视。它是学习过程不可缺少的关键步骤,是学习思想方法的收获环节。
数学思想方法体系是多层次的丰富的知识系统。同一数学课程的不同部分存在着大量相同或相似的思想方法;不同的数学课程也存在着大量的相同或相似的思想方法;对于不同专业,即使是反差极大的文理学科,也存在着大量的相同或相似的思想方法。数学思想方法系统是无限的,需要我们不断地去丰富和完善。综合运用数学的思想方法形成科学的、具体的、可操作的数学学习和研究的方法与步骤对于数学的科学学习、研究、提高数学能力起着至关重要的作用。
参考文献:
[1]华东师范大学.数学分析讲义[M].北京:高等教育出版社,1999.
[2]孙淑娥.数学学习与数学思想方法[J].大学数学,2007.6.
[3]辛兴云,张永春.数学教学中的哲学思考[J].教育理论与实践,2006.7.
[4]郭刘龙,陈宇涛.论数学思想方法的教育价值[J].教育理论与实践,2005.1.
关键词: 数学思想方法学习过程研究性学习
数学知识是科学知识的重要组成部分,在各个科学领域中具有极其广泛的应用。数学思想方法是学习、发展数学的必要知识。在数学学习过程中,只有在数学思想方法指导下的研究性学习模式,才能使学习者既获得数学理论性知识,又获得分析问题、解决问题的科学思想能力。
一、数学知识系统及关系
数学知识系统可以看作是由以下三个系统组成:数学理论系统、数学实践系统、数学思想方法系统。数学实践系统是指所研究的主要数学对象和数学问题的具体实例的全部,是产生数学理论和数学思想方法的基础。数学理论系统是数学实践系统一般规律的反映,即理论来源于实践。又由于数学研究对象的广泛性、深刻性、科学性,只有建立数学理论并运用数学理论才能更全面、更深刻、更有效地解决实践问题,即理论用于实践。数学思想方法系统是对数学对象本质上的认识,是对具体的数学概念、命题、规律、方法等的认识过程中提炼概括的基本观点和方法。
综上所述,要想真正学好数学知识,就要全面学习三个知识系统。我们既要学习理论与实践,又要学习运用数学的思想方法,从而使学习更深刻、更全面、更有效、更具有研究能力和创新精神。
二、数学研究性学习过程的具体步骤
数学研究性学习过程和研究其它知识一样,是遵循人们认识世界的一般规律的,即从宏观到微观、从感性到理性、从定性到定量、从直观到抽象、从实践到认识的循环往复的认识过程。下面介绍具体数学研究性学习步骤。
(一)数学问题的展现
研究任何问题首先要对问题充分展现,为下面的工作奠定基础。数学是研究数与形的科学,故对主要研究对象和研究问题主要是以几何形式和代数形式展现。所谓主要研究对象是指需要研究的事物,而主要研究问题是指主要研究对象的某方面数学属性、关系或规律。如研究函数极限,其主要研究对象是函数,主要研究问题是极限规律的有关理论。在数学问题中,相同的主要研究对象有不同的主要研究问题。如同以函数为主要研究对象,就可以有函数概念、函数极限、函数连续、函数导数、函数微分、函数积分等不同的主要研究问题。数学问题的几何展现具有形象、直观、定性理解性强的特点。而数学问题的代数展现具有科学、准确、抽象、逻辑性强的特点。两种展现形式共同运用、优势互补、相辅相成,才能更好地对所研究的问题进行完善充分的展现。要特别注意的是在整个数学研究的四个具体步骤中,一定要对实践系统、理论系统、思想方法系统进行全面展现,否则就会形成研究背景不充分,使研究性学习过程受阻而不能顺利进行。如研究函数极限问题,既要有一般形式的函数及图像形式,又必须有具体函数即实践系统的全面展示,要展示基本初等函数及由基本初等函数经过有限次四则运算和复合步骤形成的初等函数,并要展现非初等函数。这样才能有助于在研究极限时进行各种情况的分析。并且,正是函数这个实践体系的结构关系才产生了极限四则运算、反函数和复合函数极限运算法则等理论。
(二)数学问题的分析
我们应对主要数学研究对象和主要数学问题进行深入、细致的分析,研究其属性、关系、规律,并在此基础上发现、提出数学猜想。这个工作是区别于以逻辑路线为主的“填鸭式”教学的重要学习环节,也是培养创新能力的关键环节。数学理论就是揭示事物属性、关系、规律的。在此环节的工作中我们要注意结合三个系统,即以数学思想方法为指导,注意理论从实践中来到实践中去的认识规律。如极限四则运算法则的学习,对于两个函数和、差、积、商的极限问题无论从几何上还是代数上都是极易理解的,也很容易提出极限四则运算的猜想。但对于不同问题数学研究有其多样性特点。如函数导数的四则运算法则,两个函数和、差求导法则就极易理解,而由于两个函数积、商的一般几何图形反映不能很精确,故积、商的求导法则直观、定性理解就要弱化,这是由于数学问题不同产生的正常现象。但我们仍能提出猜想:两个函数积、商的导数和这两个函数的导数是否存在关系?我们依此继续展开研究,用导数定义进行具体试验性运算,对此问题就会圆满解决。
(三)理论化工作
对于上一步分析所得到的直观性和定性的数学猜想,我们只有进行严格的数学论证或数学计算才能形成数学理论。运用数学理论对数学猜想进行科学论证或计算的思想方法是数学思想方法的极为重要部分。但既然是数学思想方法就有其广泛的共性,只要在学习过程中注意对思想方法的分析、总结,就会不断提高运用理论分析解决数学问题的能力。如罗尔、拉格郎日、柯西三个中值定理的证明,其思想方法本质只是一个。问题不同,论证思想方法本质相同或相近现象在数学知识系统中是极其广泛的,可以说无处不在。又如前面提到的函数极限的求导法则,当猜想提出后如何证明呢?这就要联想相关的极限问题理论及论证的思想方法,获得各种论证的可能方案,经过实践,使问题得以论证。值得珍惜的不仅是成功的方案,不成功的方案依然是珍贵的,正确的思路很可能在其它问题上是成功的方案,不完全正确的思路,有助于我们思想方法的积累和分析解决问题的能力的提高。
(四)反思阶段
一些教师在数学问题得到解决之后,往往就结束了对该问题的研究。其实这样有很大的不足。正如前面所述,数学学习既要学习理论和实践知识,又要学习数学思想方法,以利于学生丰富数学思想方法知识,提高分析问题和解决问题的能力。我们经过前三步虽然使问题得到了解决,但由于对新问题解决的思维过程是十分复杂的发散思维过程,对各种可能的解决思路要进行多种试验论证工作,在问题的研究过程中既有理性思维,又有许多感性的、直觉的、经验性的思维,因此问题虽然解决了,但整个思路处于比较混乱状态。所以只有经过对整个研究过程的思维过程进行反思,使思想方法得以化感性为理性、化混乱为清晰简明,才能使思想方法体系得到丰富和提高。只有不断总结、丰富新的思想方法,才能具有持续的掌握新的、更高级的、更复杂知识的能力。所以在学习过程中,对反思阶段我们必须给予高度重视。它是学习过程不可缺少的关键步骤,是学习思想方法的收获环节。
数学思想方法体系是多层次的丰富的知识系统。同一数学课程的不同部分存在着大量相同或相似的思想方法;不同的数学课程也存在着大量的相同或相似的思想方法;对于不同专业,即使是反差极大的文理学科,也存在着大量的相同或相似的思想方法。数学思想方法系统是无限的,需要我们不断地去丰富和完善。综合运用数学的思想方法形成科学的、具体的、可操作的数学学习和研究的方法与步骤对于数学的科学学习、研究、提高数学能力起着至关重要的作用。
参考文献:
[1]华东师范大学.数学分析讲义[M].北京:高等教育出版社,1999.
[2]孙淑娥.数学学习与数学思想方法[J].大学数学,2007.6.
[3]辛兴云,张永春.数学教学中的哲学思考[J].教育理论与实践,2006.7.
[4]郭刘龙,陈宇涛.论数学思想方法的教育价值[J].教育理论与实践,2005.1.